专题01 空间向量与立体几何（8大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（广西专用）

专题01 空间向量与立体几何 一、题型归纳 二、经典基础题 题型一：线性运算 1．（23-24高二上·广西百色·期末）如图,在四面体中,是中点,是中点,则等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广西玉林市·期末）如图，在四面体中，是的中点．设，，，用，，表示，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·广西桂林市·期末）如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二上·广西贵港·期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥是阳马，平面，且，若 ，则（    ）   A． B． C． D． 5．（22-23高二上·广西防城港·期末）如图，设为平行四边形所在平面外任意一点，为的中点，若，则的值是（    ） A． B．0 C． D． 题型二：运算的坐标表示 1．（23-24高二上·广西玉林市·期末）（多选）已知空间向量，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·广西玉林·期末）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·广西南宁市三新联考·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 . 4．（22-23高二上·广西贵港市·期末）向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·广西南宁市三新联考·期末）如图所示空间直角坐标系A﹣xyz中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线PA和底面ABC所成的角为，则P点的坐标满足（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·广西百色市·期末）已知空间向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 7．（22-23高二上·广西防城港·期末）（多选）已知空间向量，则（    ） A． B．是共面向量 C． D． 题型三：共线共面判定 1．（23-24高二上·广西桂林市·期末）已知，分别为直线，的一个方向向量，且 ，则（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（23-24高二上·广西南宁市三新联考·期末）已知向量，，若，则z＝（    ） A． B．4 C． D． 3．（22-23高二上·广西桂林市·期末）对于空间向量，，若，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 4．（23-24高二上·广西平果市铝城中学·期末）已知，，，若，，共面，则实数的值为（    ） A．60 B．14 C．12 D．62 5．（23-24高二上·广西北海市·期末）已知点，且四边形是平行四边形，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二上·广西河池·期末）已知三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点共面的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·广西南宁市·期末）（多选）在正方体中，能作为空间的一个基底的一组向量有（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型四：距离问题 1．（23-24高二上·广西桂林市·期末）在空间直角坐标系中，点到坐标原点的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·广西桂林市·期末）空间直角坐标系中两点坐标分别为则两点间距离为（    ） A．2 B． C． D．6 3．（22-23高二上·广西河池市·期末）已知点关于轴对称的点为点，则（    ） A． B． C． D．4 4．（22-23高二上·广西防城港·期末）边长为2的正方体中，的体是的中点，则到平面的距离是 ． 5．（23-24高二上·广西南宁市三新联考·期末）如图，棱长为1的正方体上有两个动点分别从顶点A、C同时出发并做匀速直线运动，最后同时到达顶点B、D，则在运动的过程中，两个动点间的最小距离为 . 题型五：求角问题 1．（22-23高二上·广西北海·期末）在直三棱柱中，，，，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·广西防城港·期末）如图所示的多面体，底面为长方形，平面，，则与平面所成角正弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·广西平果·期末）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成角的正弦值为(    ) A． B． C． D． 三、优选能力题 题型一：几何体中的轨迹问题 1．（22-23高二上·广西贵港市·期末）（多选）已知棱长为2的正方体的中心为，用过点的平面去截正方体，则（    ） A．所得的截面可以是五边形 B．所得的截面可以是六边形 C．该截面的面积可以为 D．所得的截面可以是菱形 2．（22-23高二上·广西河池·期末）已知直三棱柱，，，点为此直三棱柱表面上一动点，且，当取最小值时，的值为 . 题型二：立体几何综合 1．（22-23高二上·广西玉林·期末）（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．已知任意非零向量，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若空间四个点，则三点共线 2．（23-24高二上·广西平果·期末）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．点到平面的距离为 3．（22-23高二上·广西河池·期末）（多选）如图，在四棱柱中，，，则下列说法正确的是（    ）   A． B． C． D．直线与所成角的余弦值为 4．（23-24高二上·广西桂林市·期末）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（    ） A．直线与直线平行 B．直线与底面所成的角为 C．直线与直线的距离为 D．直线到平面的距离为 5．（23-24高二上·广西平果·期末）（多选）已知正方体的棱长为1，若，，则（    ） A．至多与，之一垂直 B．若，则 C．异面直线与所成角的正弦值为 D． 6．（23-24高二上·广西百色市·期末）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，为内的任意一点（含边界），则下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．点到直线的距离的最小值为 C．向量与夹角的取值范围是 D．若线段的中点为，当时，点的轨迹为线段 7．（22-23高二上·广西北海·期末）（多选）如图，在直三棱柱中，为上一点，为上一点，，则（    ）   A．直线和为异面直线 B．异面直线与的夹角为 C． D． 8．（23-24高二上·广西南宁市三新联考·期末）如图，在长方体中，是底面内的动点，，，，分别为，，，的中点，若，则下列说法正确的是（    ）   A．的最大值为2 B．三棱锥的体积不变，表面积改变 C．若平面，则 D．的最小值为 题型三：解答题 1．（23-24高二上·广西玉林市·期末如图，在正方体中，为平面的中心. (1)求证：平面；(2)求点到平面的距离. 2．（23-24高二上·广西桂林市·期末）如图，在直三棱柱中，，，，点、分别为、的中点. (1)求二面角的余弦值；(2)若点满足，求直线与直线所成角的正弦值. 3．（22-23高二上·广西贵港市·期末）如图，在三棱柱中，平面，，是等边三角形，D，E，F分别是棱，AC，BC的中点. (1)证明：平面.(2)求平面ADE与平面夹角的余弦值. 4．（22-23高二上·广西防城港市·期末）如图，四棱锥中，底面是正方形，底面，且分别为的中点. (1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值. 5．（23-24高二上·广西北海市·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，，，为的中点. （1）求证：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值. 6．（22-23高二上·广西桂林市·期末）如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点.(1)求证：；(2)若直线与平面所成角为，求点到平面的距离. 7．（23-24高二上·广西百色市·期末）如图，直三棱柱中，，，，点P在线段上．(1)若P为的中点．证明：平面；(2)是否存在点P，使得平面与平面ABC所成的二面角为？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由. 8．（23-24高二上·广西南宁市·期末）如图，在直角梯形中，，，．以直线为轴，将直角梯形旋转得到直角梯形，且．  (1)求证：平面；(2)在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 9．（23-24高二上·广西南宁市三新联考·期末）如图，O是圆柱下底面的圆心，该圆柱的轴截面是边长为4的正方形ABCD，P为线段AD上的动点，E，F为下底面上的两点，且，，EF交AB于点G. (1)当时，证明：平面CEF；(2)当为等边三角形时，求二面角的余弦值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 空间向量与立体几何 一、题型归纳 二、经典基础题 题型一：线性运算 1．（23-24高二上·广西百色市·期末）如图,在四面体中,是中点,是中点,则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在四面体中,是中点,是中点， .故选:C. 2．（23-24高二上·广西玉林市·期末）如图，在四面体中，是的中点．设，，，用，，表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由是的中点，可知，所以，故选：D. 3．（22-23高二上·广西桂林市·期末）如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由点在上，且，知；由为的中点，知.所以.故选：C. 4．（22-23高二上·广西贵港·期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥是阳马，平面，且，若 ，则（    ）   A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以.因为，所以.因为，所以.选：D. 5．（22-23高二上·广西防城港·期末）如图，设为平行四边形所在平面外任意一点，为的中点，若，则的值是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【详解】为的中点，，四边形为平行四边形，，.，，，，故选：B. 题型二：运算的坐标表示 1．（23-24高二上·广西玉林市·期末）（多选）已知空间向量，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由，得，故A错误； ，故B错误；又，故C正确； ，所以与不垂直，故D错误.故选：ABD. 2．（22-23高二上·广西玉林·期末）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】一个点关于轴对称的点的坐标是只有横坐标不变，纵坐标和竖坐标改变成原来的相反数，点关于轴对称的点的坐标为.故选：C. 3．（23-24高二上·广西南宁市三新联考·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 . 【答案】 【详解】空间向量，，则向量在向量上的投影向量是： .故答案为：. 4．（22-23高二上·广西贵港市·期末）向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】向量在向量上的投影向量为.故选：C. 5．（23-24高二上·广西南宁市三新联考·期末）如图所示空间直角坐标系A﹣xyz中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线PA和底面ABC所成的角为，则P点的坐标满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正三棱柱，且，根据坐标系可得：，，又是正三棱柱的底面内一动点，则，所以，又平面ABC，所以是平面ABC的一个法向量，因为直线PA和底面ABC所成的角为，所以，整理得，又z＝2，所以.故选:A. 6．（23-24高二上·广西百色市·期末）已知空间向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】D 【详解】对于选项A:因为,所以，故选项A错误； 对于选项B:因为,,所以，故选项B错误； 对于选项C: 因为,,所以，故选项C错误； 对于选项D: 因为,,所以，，， 在上的投影向量为，故选项D正确. 故选：D. 7．（22-23高二上·广西防城港·期末）（多选）已知空间向量，则（    ） A． B．是共面向量 C． D． 【答案】ABC 【详解】，A项正确；设，即，解得，，即，所以，，共面，B项正确；，所以，C项正确； ，D项错误.故选：ABC. 题型三：共线共面判定 1．（23-24高二上·广西桂林市·期末）已知，分别为直线，的一个方向向量，且 ，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】因为，所以，解得.故选：B 2．（23-24高二上·广西南宁市三新联考·期末）已知向量，，若，则z＝（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以.故选:A. 3．（22-23高二上·广西桂林市·期末）对于空间向量，，若，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为，所以，即，所以.故选：D. 4．（23-24高二上·广西平果市铝城中学·期末）已知，，，若，，共面，则实数的值为（    ） A．60 B．14 C．12 D．62 【答案】B 【详解】因为，，，若，，共面，则，即，所以，解得.故选：B 5．（23-24高二上·广西北海市·期末）已知点，且四边形是平行四边形，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设设点D的坐标为，由题意得，，因为四边形是平行四边形，所以， 所以，解得，故选：A 6．（22-23高二上·广西河池·期末）已知三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当共面时，不妨设， 变形得到，则， 设，若点与点共面，则， 只有选项中符合题意.故选：. 7．（23-24高二上·广西南宁市·期末）（多选）在正方体中，能作为空间的一个基底的一组向量有（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AC 【详解】由题意得：如下图所示，对于A项：，，不共面，能作为空间的一个基底,故A项正确； 对于B项：，所以：，，共面，不能作为空间的一个基底,故B项错误； 对于C项：，，不共面，能作为空间的一个基底,故C项正确； 对于D项：， 所以：，，共面，不能作为空间的一个基底,故D项错误. 故选：AC. 题型四：距离问题 1．（23-24高二上·广西桂林市·期末）在空间直角坐标系中，点到坐标原点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在空间直角坐标系中，点到坐标原点的距离为. 故选：C. 2．（22-23高二上·广西桂林市·期末）空间直角坐标系中两点坐标分别为则两点间距离为（    ） A．2 B． C． D．6 【答案】C 【详解】∵A，B两点的坐标分别是A（2，3，5），B（3，1，4），∴|AB|， 故选：C． 3．（22-23高二上·广西河池市·期末）已知点关于轴对称的点为点，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【详解】关于轴对称的点为点，则.故选：. 4．（22-23高二上·广西防城港·期末）边长为2的正方体中，的体是的中点，则到平面的距离是 ． 【答案】 【详解】解法一：空间向量法：如图，以为原点，以，，方向为轴建立空间直角坐标系，各点坐标为：，，，，，，设平面的法向量为，于是，取，则，，到平面的距离：. 解法二：等体积法：如图，易知，，，平面， 到平面的距离是，设到平面的距离是，且， ，解得，故答案为：． 5．（23-24高二上·广西南宁市三新联考·期末）如图，棱长为1的正方体上有两个动点分别从顶点A、C同时出发并做匀速直线运动，最后同时到达顶点B、D，则在运动的过程中，两个动点间的最小距离为 . 【答案】 【详解】如图，建立空间直角坐标系，根据题意可得：两动点间距离最小值坐标分别为，，，由空间两点间距离公式可得， 因为，所以当时，取最小值，故答案为：. 题型五：求角问题 1．（22-23高二上·广西北海·期末）在直三棱柱中，，，，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为三棱柱是直三棱柱，且，所以以B为原点、AB所在直线为x轴、BC所在直线为y轴、所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示,因为，所以，故．设为平面的一个法向量，则，令，得．设直线与平面，所成的角为，则，则．故选D． 2．（22-23高二上·广西防城港市·期末）如图所示的多面体，底面为长方形，平面，，则与平面所成角正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为平面平面，所以，又为长方形，所以，所以两两垂直，以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系因为，则 ，，设平面的一个法向量为，由，得，令，即，设，则，又，故.故.设与平面所成角为，于是，.故选：B. 3．（23-24高二上·平果市·期末）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成角的正弦值为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则，，，∴，,设平面A1ED的法向量为，则有 令得：，,∴.∵平面ABCD的法向量为，∴，则，故平面A1ED与平面ABCD所成角的正弦值为.故选：B. 三、优选能力题 题型一：几何体中的轨迹问题 1．（22-23高二上·广西贵港市·期末）（多选）已知棱长为2的正方体的中心为，用过点的平面去截正方体，则（    ） A．所得的截面可以是五边形 B．所得的截面可以是六边形 C．该截面的面积可以为 D．所得的截面可以是菱形 【答案】BCD 【详解】一个平面去截正方体，考虑从正方体的上底面开始截入，不妨设上底面与截面的交线为线段，截取有两种情况， 第一种情况是两点分别在两对边上或两相邻边上，如图， 直线与相交于点，直线与相交于点，由正方体性质及面面平行性质定理知截面为平行四边形. 第二种情况，如图，直线与相交于点，直线与相交于点，直线与相交于点，与相交于点，直线与相交于点与相交于点，易知所得截面为六边形，A错误，B正确.当截面为正六边形时，正六边形的边长为，它的面积为，C正确. 当截面为平行四边形时，由对称性可知，若四边形为菱形，则，可得，可得，可得或，可得或，D正确. 故选：BCD. 2．（22-23高二上·广西河池·期末）已知直三棱柱，，，点为此直三棱柱表面上一动点，且，当取最小值时，的值为 . 【答案】 【详解】由可得是在以为球心半径为4的球面上，由于，，取值最小时，其在平面内，其在平面的交线为如图所示的圆弧. 故取值最小时，，，三点共线，通过点往作垂线，垂足为，则， 则，故，代入解得，从而，因此. 故答案为：. 题型二：立体几何综合 1．（22-23高二上·广西玉林·期末）（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．已知任意非零向量，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若空间四个点，则三点共线 【答案】BD 【详解】对于：若，则，且，故错误；对于，若对空间中任意一点，有，，四点共面，故B正确；对于，是空间中的一组基底，且，共面，不可以构成空间的一组基底，故C错误；对于，若空间四个点，，，三点共线，故D正确. 故选：BD 2．（23-24高二上·平果市·期末）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．点到平面的距离为 【答案】ABD 【详解】以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，正确． ，所以平面，直线与直线不垂直，正确，错误．点到平面的距离为正确．故选：ABD. 3．（22-23高二上·广西河池·期末）（多选）如图，在四棱柱中，，，则下列说法正确的是（    ）   A． B． C． D．直线与所成角的余弦值为 【答案】AD 【详解】，故正确； 因为，所以，即，解得或舍，故错误 因为，所以， 所以，故错误； 因为，所以， ，所以 ，所以直线与所成角的余弦值为，故D正确. 故选:AD. 4．（23-24高二上·广西桂林市·期末）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（    ） A．直线与直线平行 B．直线与底面所成的角为 C．直线与直线的距离为 D．直线到平面的距离为 【答案】ACD 【详解】以D为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则 对于选项A：且不是同一条直线，，正确； 对于选项B：底面的一个法向量为， 设直线与底面所成的角为，则，故直线与底面所成的角不为，错误； 对于选项C：，在中，， 所以到的距离为，即直线与直线的距离为，正确； 对于选项D：由A得面，面，所以面，到平面的距离即为直线到平面的距离，设为．则三棱锥的体积等于三棱锥的体积，在正方体中，又到平面的距离即为棱长2，所以：，在中， ，所以, ．即．即直线到平面的距离为．正确．故选：ACD． 5．（23-24高二上·平果市·期末）（多选）已知正方体的棱长为1，若，，则（    ） A．至多与，之一垂直 B．若，则 C．异面直线与所成角的正弦值为 D． 【答案】BC 【详解】如图建立空间直角坐标系，则 ，,则A错误. 又,不垂直，D错误. 又,,，C正确. 又，则，，到面的距离即为到面的距离,面,到面的距离为,,则B正确， 故选：BC 6．（23-24高二上·广西百色市·期末）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，为内的任意一点（含边界），则下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．点到直线的距离的最小值为 C．向量与夹角的取值范围是 D．若线段的中点为，当时，点的轨迹为线段 【答案】AD 【详解】正方体中，，，四边形是平行四边形，则， 平面，平面，所以平面，同理平面，，平面，所以平面平面，平面，点到平面的距离等于点平面的距离，即，正方体中的面积为定值，点平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，A选项正确；平面，点到直线的距离的最小值，等于点到的距离，由，得，是边长为的等边三角形，，，解得，B选项错误；由，C选项错误；正方体中，平面，平面，则，连接，则线段的中点为，正方形中，，，平面，所以平面，平面，当时，有平面，连接，与相交于点，连接，又平面，所以点的轨迹为与平面的交线段，D选项正确.故选：AD 7．（22-23高二上·广西北海·期末）（多选）如图，在直三棱柱中，为上一点，为上一点，，则（    ）   A．直线和为异面直线 B．异面直线与的夹角为 C． D． 【答案】BD 【详解】因为，由已知得，所以在内，，所以，所以四点共面，故A不正确； 因为，所以为异面直线与所成的角.因为，所以为等腰直角三角形，故B正确； 因为，所以与相似，因为，所以. ，故C不正确； 因为，故D正确. 故选：BD 8．（23-24高二上·广西南宁市三新联考·期末）如图，在长方体中，是底面内的动点，，，，分别为，，，的中点，若，则下列说法正确的是（    ）   A．的最大值为2 B．三棱锥的体积不变，表面积改变 C．若平面，则 D．的最小值为 【答案】BC 【详解】对于A，是底面内的动点，则存在实数使得， 则，所以，当点在线段上时，的最大值为1，故A错误； 对于B，因为点到底面的距离为，底面面积为，所以三棱锥的体积为，是定值；三棱锥与三棱锥表面积不同，故B正确； 对于C，以为原点，，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，于是，，，，设，则，，，所以，，解得，，于是，故C正确； 对于D，由上述坐标系知，则 ，于是当，时，取最小值，故D错误. 故选：BC.    题型三：解答题 1．（23-24高二上·广西玉林市·期末如图，在正方体中，为平面的中心. (1)求证：平面；(2)求点到平面的距离. 【详解】（1）解法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的坐标系.   ，， 设面的法向量为，，令，则， 且平面， 平面； 解法二：如图，连接，   且，平行四边形中，平面平面， 同理，，则平面且，平面平面， 又为的中点，平面平面； 解法三：连接交交于点，连接，   为平面的中心是的中点，四边形是平行四边形， ，是的中点，是的中点， ，，四边形是平行四边形，， 平面平面平面. （2）解法一：设到面的距离为，. 解法二：设到面的距离为，， 由，得，解得. 2．（23-24高二上·广西桂林市·期末）如图，在直三棱柱中，，，，点、分别为、的中点. (1)求二面角的余弦值；(2)若点满足，求直线与直线所成角的正弦值. 【详解】（1）解：在直三棱柱中，平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 由题意，、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 易知平面的一个法向量为，则， 由图可知，二面角的平面角为钝角，故二面角的余弦值为. （2）解：易知、、、 点满足，则， 则，且， 所以，， 则， 因此，直线与直线所成角的正弦值为. 3．（22-23高二上·广西贵港市·期末）如图，在三棱柱中，平面，，是等边三角形，D，E，F分别是棱，AC，BC的中点. (1)证明：平面.(2)求平面ADE与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）证明：连接BD. 因为E，F分别是棱AC，BC的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 因为D，F分别是棱，BC的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，则. 因为平面，平面，所以平面. 因为平面ABD，且，所以平面平面. 因为平面ABD，所以平面. （2）解：取的中点，连接，，易证，，OE两两垂直，则以O为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，，，，， 从而，，，. 设平面ADE的法向量为，则令，得， 设平面的法向量为，则令，得. 设平面与平面的夹角为，则. 4．（22-23高二上·广西防城港市·期末）如图，四棱锥中，底面是正方形，底面，且分别为的中点. (1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值. 【详解】（1）方法一：取的中点，连接，如图（1）所示： 因为分别是的中点，在中，,, 因为底面是正方形，为的中点，所以， 所以且，四边形是平行四边形， 所以，又因为平面平面； 所以平面. 方法二：因为底面是正方形，底面，所以两两垂直， 以为原点，方向分别为轴建立空间直角坐标系，如图（2）所示： 由条件可知； 平面的一个法向量是；，所以； 因为平面，所以平面 （2）因为底面是正方形，底面，所以两两垂直， 以为原点，方向分别为轴建立空间直角坐标系，如图（2）所示： 设二面角的平面角为，平面的法向量为， 由条件可知； ，取，则，平面的法向量为； 平面的一个法向量为；； 因为为锐角，故，所以二面角的余弦值为. 5．（23-24高二上·广西北海市·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，，，为的中点. （1）求证：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值. 【详解】（1）证明：连 ∵底面为菱形，∴ ∵，，∴,∵平面，平面，∴ ∵，，，平面，,∴平面 （2）由（1）知，又由，可得，可得、、两两垂直 令，可得，，，以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立如图所示空间直角坐标系 可得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为,，，,由（1）可知为平面的法向量, 设平面的法向量为，有，取，， 可得，由，，，有 故平面与平面所成二面角的正弦值为. 6．（22-23高二上·广西桂林市·期末）如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点.(1)求证：；(2)若直线与平面所成角为，求点到平面的距离. 【详解】（1）因为平面，平面，所以，而， 因此建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，因为，所以，即， （2）设平面的法向量为，， 所以有， 因为直线与平面所成角为，所以， 解得，即，因为，所以点到平面的距离为：.    7．（23-24高二上·广西百色市·期末）如图，直三棱柱中，，，，点P在线段上．(1)若P为的中点．证明：平面；(2)是否存在点P，使得平面与平面ABC所成的二面角为？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）以点为坐标原点，以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系 如图所示,则可得：,则 可得,即有： 且 故平面； （2）由（1）所建坐标系，不妨设，其中，，则 故，设平面的法向量为，则有 ，即，令，则，，故， 平面的一个法向量为，因为平面与平面所成的二面角为， 所以，解得, 故在线段上不存在点，使得平面与平面所成的二面角为. 8．（23-24高二上·广西南宁市·期末）如图，在直角梯形中，，，．以直线为轴，将直角梯形旋转得到直角梯形，且．  (1)求证：平面；(2)在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【详解】（1）将直角梯形绕着旋转得到直角梯形，则，且， 因此四边形为平行四边形，则，又平面，平面， 所以平面. （2）由，，，得两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 令，有，则，   假定在线段上存在点满足条件，设，则 ，， 当时，此时与重合，直线和平面垂直，不满足所成角的正弦值为，舍去； 当时，设平面的法向量为，， 则，令，得，而， 设直线和平面所成的角为，则， 而，解得，即点为线段的中点， 所以在线段上存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为，此时. 9．（23-24高二上·广西南宁市三新联考·期末）如图，O是圆柱下底面的圆心，该圆柱的轴截面是边长为4的正方形ABCD，P为线段AD上的动点，E，F为下底面上的两点，且，，EF交AB于点G. (1)当时，证明：平面CEF；(2)当为等边三角形时，求二面角的余弦值. 【详解】（1）解法一：连接OP，CG，由题意可知，且，因此， 易知，点G为OA中点，考虑与，，，且， 因此，故，因此， 在圆柱中，平面AEF，平面AEF，因此， 又因为，，平面ABCD，因此平面ABCD， 由于平面ABCD，因此， 由于，，，EF，平面CEF，因此平面CEF； 解法二：以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，此时，，， 由于，，可求出，， 因此，，， 设平面CEF的法向量，则 不妨令，则，，则， 由于，因此平面CEF； （2）以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系， 则有，，，，设， 若为等边三角形，则， ，，于是或(舍去)， 由（1）知平面的法向量为，，， 设平面PEF的法向量为，则 取，则，，， 设二面角为，由图知为锐角，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$