5.3（第4课时）实际问题与一元一次方程（电话计费问题）（同步课件）-【大单元教学】2024-2025学年七年级数学上册同步备课系列（人教版2024）

数学 人教版 七年级上册 一元一次方程 第五章 1 5.3（第4课时） 实际问题与一元一次方程 （电话计费问题） 第5章 一元一次方程 2 情境引入 现在手机非常普及，你有手机吗？ 你的手机是如何收费的？ 你家里有几台手机？ 你知道手机的收费标准吗？ 老师这几天又高兴又发愁，高兴的是手机话费大降价，发愁的是不知如何选择手机套餐，请同学们帮忙出主意. 新知探究 老师手中的手机卡有两种计费方式,请你帮老师计算一下哪种方式更省钱. 思考：阅读表格，用自己的话说明两种方式如何计费； 从表格中的数据，你会把主叫时间分为几个部分？为什么这样分？ 月使用费/元 主叫限定时间/分 主叫超时费/(元/分) 被叫 方式一 58 150 0.25 免费 方式二 88 350 0.19 免费 新知探究 填填下面的表格，你有什么发现？ 主叫时间(分) 100 150 250 300 350 450 方式一计费(元) 方式二计费(元) 58 58 83 95.5 108 133 88 88 88 88 88 107 计费方式一 0 加超时费0.19元/分 基本费88元 基本费58元 加超时费0.25元/分 150分 350分 计费方式二 结论：哪种计费方式更省钱与“主叫时间有关”. 思考：你觉得老师用哪种计费方式更省钱？ 新知探究 考虑 t 的取值时，两个主叫限定时间 150 min和 350 min是不同时间范围的划分点. 计费时首先要看主叫是否超过限定时间，主叫不超过限定时间，月使用费一定； 主叫超过限定时间，超时部分加收超时费. 设一个月内移动电话主叫为 t min (t是正整数)，列表说明：当 t 在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费. 新知探究 当 t 在不同时间范围内取值时，方式一和方式二的计费如下表： 主叫时间t /分 方式一计费/元 方式二计费/元 t 小于150 t 等于150 t 大于150且小于 350 t 等于350 t 大于350 58 88 58 88 58+0.25(t－150) 88 88 108 58+0.25(t－150) 88＋0.19(t－350) 思考：观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法. 新知探究 ①当t ≤150时，方式一计费少(58元)； (1) 比较下列表格的第2、3行，你能得出什么结论？ 主叫时间t /分 方式一计费/元 方式二计费/元 t 小于150 t 等于150 t 大于150且小于 350 t 等于350 t 大于350 < < 58 88 58 88 58+0.25(t－150) 88 88 108 58+0.25(t－150) 88＋0.19(t－350) 新知探究 (2) 比较下列表格的第2、4行，你能得出什么结论？ 当t 大于150且小于 350时，存在某一个值，使得两种方式计费相等. 依题意 ，得58＋0.25(t－150) = 88，解得t =270. > < 主叫时间t /分 方式一计费/元 方式二计费/元 t 小于150 t 等于150 t 大于150且小于 350 t 等于350 t 大于350 < < 58 88 58 88 58+0.25(t－150) 88 88 108 58+0.25(t－150) 88＋0.19(t－350) 新知探究 思考：你从数轴获取了哪些信息？你认为主叫时间t 可以分成哪些范围？ 思考：由数轴图示发现0~150和0~350有重复的时间段，这时又如何划分主叫时间？ 通过计算和讨论发现计费与主叫时间有关，计费时首先要看主叫是否超过限定时间．得出方式一的计费分段： （我们借助之前学习过的数轴的形式来直观表示） 58　　　　　　58+0.25（t-150） 150 t / min 0 88　　　　　　88+0.19（t-350） t / min 350 0 方式一： 方式二： 新知探究 加超时费0.19元/分 基本费88元 加超时费0.25元/分 基本费58元 350 0 150 计费方式一 计费方式二 108 88 58 88 t /分 88 88 270 综合以上的分析，可以发现： 时，选择方式一省钱； 时，选择方式二省钱； 时，方式一、方式二均可． t 小于 270 t 大于 270 t 等于 270 新知探究 思考： (1)回顾问题的解决过程，谈谈你的收获. (2)解决本题的过程中你觉得最难突破的步骤是哪些？本题中运用了哪些方法突破这些难点？ (3)电话计费问题的解决过程中运用一元一次方程解决了什么问题？ 01 审题 借助数轴 02 设未知数 03 用未知数表示费用 列表分析 04 列方程 05 费用相同 分类讨论 06 更优惠 找不等关系 比较大小 典例精析 例1 某班将买一些乒乓球和乒乓球拍,现了解情况如下：甲、乙两家商店出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍．乒乓球拍每副定价40元,乒乓球每盒10元,经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球,乙店全部按定价的9折优惠．该班需买球拍6副,乒乓球若干盒（不小于6盒）. （1）当购买多少盒乒乓球时，两种优惠办法付款一样？ 解:（1）设当购买乒乓球x盒时,两种优惠办法付款一样.根据题意，得 解得x=36. 答：当购买36盒乒乓球时，两种优惠办法付款一样. 40 × 6+10(x -6)=(40×6+10x)×90%. 典例精析 例1 某班将买一些乒乓球和乒乓球拍,现了解情况如下：甲、乙两家商店出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍．乒乓球拍每副定价40元,乒乓球每盒10元,经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球,乙店全部按定价的9折优惠．该班需买球拍6副,乒乓球若干盒（不小于6盒）. （2）当购买20盒乒乓球时,请你去办这件事，你打算去哪家商店购买？为什么？ （2）当购买20盒乒乓球时， 去甲商店需付款：40×6+10×(20-6)=380（元） 去乙商店需付款：(40×6+10×20)×90%=396（元) 因为380元<396元，所以当购买20盒乒乓球时, 去甲商店购买划算. 典例精析 例1 某班将买一些乒乓球和乒乓球拍,现了解情况如下：甲、乙两家商店出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍．乒乓球拍每副定价40元,乒乓球每盒10元,经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球,乙店全部按定价的9折优惠．该班需买球拍6副,乒乓球若干盒（不小于6盒）. （3）当购买40盒乒乓球时,请你去办这件事, 你打算去哪家商店购买？为什么? （3）当购买40盒乒乓球时， 去甲商店需付款：40×6+10(40-6)= 580（元) 因为576元<580元，所以当购买40盒乒乓球时, 去乙商店购买划算. 去乙商店需付款：(40×6+10×40)×90%=576(元) 归纳总结 典例精析 （1）解决这种问题的关键是什么？ （2）解决这种问题的步骤是什么？ 找分界点，确定相等关系 观察，分析，判断，解答，验证 典例精析 例2 某市生活拨号上网有两种收费方式，用户可以任选 其一. A计时制：0.05 元/分钟；B包月制：60 元/月(限一部个人住宅电话上网). 此外，两种上网方式都得加收通信费 0.02 元/分钟． (1) 某用户某月上网时间为x小时，请分别写出两种收费方式下该用户应该支付的费用； (2) 你认为采用哪种方式比较合算？ 解：(1) 采用计时制：(0.05＋0.02)×60x＝4.2x， 采用包月制：60＋0.02×60x＝60＋1.2x； (2) 由 4.2x ＝ 60＋1.2x，得 x＝20. 又由题意可知，上 网时间越长，采用包月制越合算．所以， 当 0 < x < 20 时，采用计时制合算； 当 x＝20 时，采用两种方式费用相同； 当 x > 20 时，采用包月制合算． 实际问题与一元一次方程（4） 核心因素 解决电话计费问题需要明确“哪种计费方式更省钱”与“主叫时间”有关. 解决方法 此类问题的关键是能够根据已知条件找到合适的分段点，然后建立方程模型分类讨论，从而得出整体选择方案. 随堂演练 1.庆华和果果为了买同一款运动鞋，决定从春节开始攒钱，庆华原有 200 元，以后每月存 50 元；果果原有 150 元，以后每月存 60 元．设两人攒钱的月数为 x （x 为整数）． （1）根据题意，填写下表： 攒钱的月数 3 6 … x 庆华攒钱的总数/元 350 … 果果攒钱的总数/元 510 … 330 500 200 + 50x 150 + 60x 随堂演练 (2) 在几个月后庆华与果果攒钱的总数相同？此时他们各有多少钱？ 解：根据题意，得 200 + 50x = 150 + 60x， 解得 x = 5． 所以 200 + 50x = 450． 答：在 5 个月后庆华与果果攒钱的总数相同，此时他们各有 450 元钱． 攒钱的月数 3 6 … x 庆华攒钱的总数/元 350 … 果果攒钱的总数/元 510 … 330 500 200 + 50x 150 + 60x 随堂演练 （3）若这款运动鞋的价格为 780 元，他们谁能够先买到该鞋？ 解：根据题意，由 200 + 50x = 780，解得 x = 11.6， 故庆华在 12 个月后攒钱的总数超过 780 元. 由 150 + 60x = 780，解得 x = 10.5. 故果果在 11 个月后攒的钱总数超过 780 元. 所以果果能够先买到该鞋． 随堂演练 2.用 A4 纸在某复印社复印文件，复印页数不超过 20 时每页收费 0.12 元；复印页数超过 20 时，超过部分每页收费 0.09 元. 在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费0.1元. 问：如何根据复印的页数选择复印的地点使总价格比较 便宜 (复印的页数不为零)？ 复印页数 x 复印社复印费用/元 图书馆复印费用/元 x 小于 20 0.12x 0.1x x 等于 20 0.12×20＝2.4 0.1×20＝2 x 大于 20 2.4＋0.09(x－20) 0.1x 解：设复印页数为 x，依题意，列表得： 随堂演练 解：(1) 当 x＜20 时，0.12x 大于 0.1x 恒成立，图书馆价格便宜； (2) 当 x = 20 时，图书馆价格便宜； (3) 当 x 大于 20 时，令 2.4 + 0.09(x－20)＝0.1x， 解得 x＝60. 所以，当 x 大于 20 且小于 60 时，图书馆价格便宜； 当 x 等于 60 时，两者价格相同； 当 x 大于 60 时，复印社价格便宜. 综上所述：当 x 小于 60 页时，图书馆价格便宜； 当 x 等于 60 时，两者价格相同； 当 x 大于 60 时，复印社价格便宜. $$