8.2.1一元线性回归模型课件 -2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

8.2.1一元线性回归模型 通过前面的学习我们已经了解到，根据成对样本数据 的散点图和样本相关系数，可以推断两个变量是否存 在相关关系、是正相关还是负相关，以及线性相关程 度的强弱等. 进一步地，如果能像建立函数模型刻画 两个变量之间的确定性关系那样，通过建立适当的统 计模型刻画两个随机变量的相关关系，那么我们就可 以利用这个模型研究两个变量之间的随机关系，并通 过模型进行预测. 下面我们研究当两个变量线性相关时，如何利用成对 样本数据建立统计模型，并利用模型进行预测的问题. 创设情境 问题1：生活经验告诉我们，儿子的身高与父亲的身高 不仅线性相关，而且还是正相关，即父亲的身高较高 时，儿子的身高通常也较高. 为了进一步研究两者之间 的关系，有人调查了14名男大学生的身高及其父亲的 身高，得到的数据如下表所示. 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 探究：一元线性回归模型 思考1：根据表中的数据，儿子身高和父亲身高这两个变量之间的关系可以用函数模型刻画吗？ … 172 … 父亲身高 … 176 174 … 儿子身高 儿子身高不是父亲身高的函数 6 172 176 8 172 174 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 思考1：根据表中的数据，儿子身高和父亲身高这两个变量之间的关系可以用函数模型刻画吗？ 6 172 176 8 172 174 … 170 … 儿子身高 … 173 169 … 父亲身高 父亲身高不是儿子身高的函数 3 173 170 9 169 170 利用前面表示数据的方法，以横轴表示父亲身高、纵轴 表示儿子身高建立直角坐标系，再将表中的成对样本数 据表示为散点图，如右图所示. 思考2：经过刚才的分析，你觉得儿子身高与父亲身高的关系是怎样的？ 儿子身高与父亲身高不是函数关系，而是相关关系. 儿子身高与父亲身高不是函数关系，而是相关关系. 追问：儿子身高与父亲身高的关系是正相关还是负相关？是线性相关还是曲线相关？ 随着父亲身高的增加，儿子身高呈增加的趋势，所以是正相关. 儿子身高与父亲身高呈正线性相关关系. 思考3：你能否进一步验证刚才的结论？ 样本相关系数为： 表明儿子身高和父亲身高正线性相关，且相关程度较高. 思考4：除父亲身高外，还有哪些因素影响儿子的身高？ 随机误差e 母亲身高 生活环境 饮食习惯 体育锻炼 …… 追问：如何理解随机误差e对儿子身高的影响？ 假设没有随机误差，则儿子身高Y只受父亲身高x影响，则 事实上，相关系数 ，故 也可以记作 8 思考5：随机误差e有哪些特征？ 随机误差e是一个随机变量 ①可取正或取负 ②有些无法测量 ③不可事先设定 因为误差是随机的，即取各种正负误差的可能性一样，所以它们均值的理想状态应该为0. 追问：为什么要假设E(e)=0，而不假设其为某个不为0的常数？ 思考6：你能否考虑到上述随机因素的作用，用类似于函数的表达式，表达儿子身高与父亲身高的关系吗？ 若用x表示父亲身高，Y表示儿子身高，e表示随机误差. 假定随机误差e的均值为0，方差为与父亲身高无关的定 值σ2，则它们之间的关系可以表示为 我们称(1)式为Y关于x的一元线性回归模型. 其中，Y称为因 变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的 未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx+a之 间的随机误差. 模型中的Y也是随机变量，其值虽不能由变 量x的值确定，但却能表示为bx+a与e的和，前一部分由x所 确定，后一部分是随机的. 如果e=0，那么Y与x之间的关系就 可用一元线性函数模型来描述. 函数模型与回归模型有什么区别？ 追问1：你能结合父亲与儿子身高的实例，说明回 归模型(1)的意义？   追问2：对于父亲身高为xi的某一名男大学生，他的身高yi一定是bxi+a吗？   思考7：你能结合具体实例解释产生模型(1)中随机误差项的原因吗？ 在研究儿子身高与父亲身高的关系时，产生随机误差 e的原因有: (1) 除父亲身高外，其他可能影响儿子身高的因素，比 如母亲身高、生活环境、饮食习惯和锻炼时间等； (2)在测量儿子身高时，由于测量工具、测量精度所产 生的测量误差； (3)实际问题中，我们不知道儿子身高和父亲身高的相 关关系是什么，可以利用一元线性回归模型来近似这 种关系，这种近似也是产生随机误差e的原因. 在一元线性回归模型y＝bx＋a＋e中，随机误差e产生 的原因有： （1）所用的确定性函数不恰当引起的误差； （2）忽略了某些因素的影响； （3）存在观测误差． 归纳总结 课本107页 说明函数模型与回归模型的区别，并分别举出两个应用函数模型和回归模型的例子. 解：函数模型刻画的是变量之间具有的函数关系，是一种确定性的关系.回归模型刻画的是变量之间具有的相关关系，不是一种确定性的关系，即回归模型刻画的是两个变量之间的随机关系. 例如，路程与速度的关系、正方体体积与边长的关系可以应用函数模型刻画；体重与身高的关系、冷饮销量与气温的关系可以应用回归模型刻画. 练习 2. 在一元线性回归模型(1) 中，参数b的含义是什么? 解：参数b的含义可以解释为解释变量x对响应变量Y 的均值的影响，变量x每增加1个单位，响应变量Y的 均值将增加b个单位. 例如，教科书中父亲身高为175 cm的儿子身高的均 值比父亲身高为174cm的儿子身高的均值高出0.839 cm. 注意：因为响应变量Y最终取值，除了受变量x的影 响，还要受随机误差e的影响，所以不能解释成解释 变量x每增加一个单位，响应变量Y增加b个单位. 课本107页 例： 若某地财政收入x与支出y满足一元线性回归模型y＝bx＋a＋e(单元：亿元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过多少？ 解：因为财政收入x与支出y满足一元线性回归模型 y＝bx＋a＋e， 其中b＝0.7，a＝3，所以得到 y＝0.7 x＋3＋e， 当x＝10时，得y＝0.7×10＋3＋e＝10＋e， 而|e|≤0.5，即－0.5≤e≤0.5，所以9.5≤y≤10.5， 所以年支出预计不会超过10.5亿元． 例题 随堂检测 1.在线性回归模型y＝bx＋a＋e中，下列说法正确的是（ ） A.y＝bx＋a＋e是一次函数 B.因变量y是由自变量x唯一确定的 C.因变量y除了受自变量x的影响外，可能还受到其它因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生 D.随机误差e是由于计算不准确造成的，可通过精确计算避免随机误差e的产生 解析：选项A，在线性回归模型y＝bx＋a＋e中，方程表示的不是函数关系，因此不是一次函数，故A错误； 选项B，因变量y不是由自变量x唯一确定的，故B错误； 选项D，随机误差是不能避免的，只能将误差缩小，但是不能没有误差，故D错误，只有选项C成立. 2.判断下列变量间哪些能用函数模型刻画，哪些能用回归模型刻画？ (1)某公司的销售收入和广告支出； (2)某城市写字楼的出租率和每平米月租金； (3)航空公司的顾客投诉次数和航班正点率； (4)某地区的人均消费水平和人均国内生产总值(GDP)； (5)学生期末考试成绩和考前用于复习的时间； (6)一辆汽车在某段路程中的行驶速度和行驶时间； (7)正方形的面积与周长. 解：(1)(2)(3)(4)(5)回归模型，(6)(7)函数模型. 时间x(s) 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120 深度Y(μm) 5 8 10 13 16 17 19 23 25 29 46 21 22 2.建立一元线性回归模型的步骤 1.一元线性回归模型 （1）与函数模型的区别 （2）随机误差产生的原因及分布 定性分析 定量分析 函数关系或相关关系或没有关系 课堂小结 其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量； a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数； e是Y与bx+a之间的随机误差. 课外作业 解：不能. 一是父亲的身高与儿子的身高之间是随机关系，不是函数关系； 二是这组数据仅是总体的一个样本，不一定能很好地描述两个变量之间的关系. 课本107页 3. 将图8.2-1中的点按父亲身高的大小次序用折线连起来，所得到的图象是一个折线图，可以用这条折线表示儿子身高和父亲身高之间的关系吗？ 3.某种新产品表面需要腐蚀刻线，腐蚀深度Y(μm)与腐蚀时间 x(s)有关，测得结果如下： （1）请根据以上数据判断，腐蚀深度Y(μm)与腐蚀时间x(s)之间 的关系能否用一元线性回归模型 来刻画？ 并请说明理由. （2）请说明模型中 与e分别表示什么？本题中e的具体 含义是什么？ 综上，可以用一元线性回归模型进行刻画. （2） 表示腐蚀时间对腐蚀深度的主要影响； 表示其它因素对腐蚀深度的次要影响. 解：（1）①用散点图定性分析 ——散点落在一条直线附近，随着腐蚀时间的增加，腐蚀深度呈线性增加的趋势，所以，腐蚀深度与腐蚀时间具有正线性相关关系. ②用线性相关系数 进行定量分析 ——用excel可算出 所以，进一步说明腐蚀深度与腐蚀时间具有正线性相关关系. （1）整理数据：散点图 （3）如果线性相关，建立一元线性回归模型（否则就是其 它曲线回归模型） （2）分析数据 《选择性必修第三册》 “练习”3. $$