第八单元数学广角——数与形·思维素养篇【从课内到奥数】-2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力，老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”，苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年11月23日 目 录 【课内精选一】数列规律 3 【课内精选二】图形规律 3 【奥数拓展一】数形结合解决问题（一） 5 【奥数拓展二】数形结合解决问题（二） 6 【奥数拓展三】数形结合解决问题（三） 7 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 第八单元数学广角——数与形·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】数列规律。 按规律填数：，0.1，15%，，( )，( )。 【专项训练】 1．找规律填数。 (1)，，，( )，。 (2)，，，，，，( )，( )。 2．找规律填数。 (1)，，( )，( )，，。 (2)0.2，0.7，( )，( )，2.2，2.7。 3．，，，，，…观察这列数的规律，其中第四个分数是( )；如果这列数中的某个分数的分母是a，那么分子是( )。 【课内精选二】图形规律。 观察下面的图形，按照这样的规律摆下去，第5组有( )个，第10组有( )个。 【专项训练】 1．请你仔细观察，先找到图案的排列规律，再填空。 第6个图案有( )个四边形，由70个四边形组成的是第( )个图案。 2．如图，用边长为1cm的正方形拼图形，第2个图形的周长是( )cm，第4个图形的周长是( )cm，照这样拼下去，第n个图形的周长是( )cm。 3．古希腊著名的毕达哥拉斯学派经常把“形”和“数”联系在一起。如图用“形”来表示“数”，照这样画下去，第8幅图的点子数为 ( )，第n幅图的点子数为( )。 【奥数拓展一】数形结合解决问题（一）。 写出各多边形数的第七项。 (1)三角形数1 3 6 10 15 21 ( )。 (2)正方形数1 4 9 16 25 36 ( )。 (3)五边形数1 5 12 22 35 51 ( )。 (4)六边形数1 6 15 28 45 66 ( )。 【专项训练】 1. 下面的这个数字三角形是我国古代数学家杨辉首先发现的，被誉为“杨辉三角”，你知道括号内该填多少吗? 2. 如图所示，古希腊数学家毕达哥拉斯发现数量为1，3，6，10，…的石子，都可以排成三角形，他把这样的数称为三角形数，你能找到规律，写出后面的3个三角形数吗? 3. 如图1所示，科技楼有4层，正面每层的三个圆形窗户从左往右表示一个三位数，这些三位数是571、439、837、206，但是不知道这四个数和哪一层的窗户相对应，请你观察一下，然后在图2中画出表示“20459”的五个窗户。 【奥数拓展二】数形结合解决问题（二）。 已知甲数的是甲、乙两数的和的，那么，乙数是甲、乙两数和的几分之几? 【专项训练】 1. 有甲、乙两袋面粉，甲袋的和乙袋的一样多，那么两袋面粉哪袋比较多? 2. 已知甲数的是甲、乙两数的和的，那么乙数是甲、乙两数和的几分之几? 3. 简便计算：2019×2018－2020×2017。 【奥数拓展三】数形结合解决问题（三）。 一组割草人去两块草地割草，大的一块比小的一块大1倍，上午全组人都在大的一块草地割草，下午一半人留在大块草地上，到傍晚时把草割完，另一半人去割小块草地的草，到傍晚时还剩下一块，这一块由1个人去割，再用一天时间恰好割完。这组割草人共有多少个? 【专项训练】 1. 墙角O点处有一木桩上拴着一只羊，如图所示，拴羊的绳子长4米，墙角两边的墙长2米，这只羊能吃到草的面积最多是多少平方米? 2. 数学家柳卡曾提出下面的著名问题：某轮船公司较长时间以来，每天中午有一只轮船从哈佛开往纽约，并且在每一天中午同一时间有一只轮船从纽约开往哈佛.轮船在途中所花的时间来去都是七昼夜，问今天中午从哈佛开往纽约的轮船，在整个航运途中将会遇到几只同一公司的轮船从对面开来? 3. 小明、大宝两名运动员在长是30米的游泳池里来回游泳，小明的速度是每秒1米，大宝的速度是每秒60厘米，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了5分钟，如果不计转向时间，在这段时间内他们一共相遇了多少次? 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 7 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让 学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力， 老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”， 苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节 编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点 进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的 奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》 主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到 核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝 贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024年 11 月 23 日 2 / 7 目 录 【课内精选一】数列规律 ........................................................................................................ 3 【课内精选二】图形规律 ........................................................................................................ 3 【奥数拓展一】数形结合解决问题（一） ............................................................................ 5 【奥数拓展二】数形结合解决问题（二） ............................................................................ 6 【奥数拓展三】数形结合解决问题（三） ............................................................................ 7 3 / 7 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 第八单元数学广角——数与形·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】数列规律。 按规律填数： 1 20 ，0.1，15%， 15，( )，( )。 【专项训练】 1．找规律填数。 (1) 47 ， 2 7， 1 7，( )， 1 28。 (2) 116， 1 8， 3 16， 1 4， 5 16， 1 2，( )，( )。 2．找规律填数。 (1) 1 2， 2 3 ，( )，( )， 5 6 ， 6 7 。 (2)0.2，0.7，( )，( )，2.2，2.7。 3．25 ， 4 7 ， 6 9，    ， 10 13，…观察这列数的规律，其中第四个分数是( )； 如果这列数中的某个分数的分母是 a，那么分子是( )。 【课内精选二】图形规律。 观察下面的图形，按照这样的规律摆下去，第 5组有( )个，第 10组有 ( )个。 4 / 7 【专项训练】 1．请你仔细观察，先找到图案的排列规律，再填空。 第 6个图案有( )个四边形，由 70个四边形组成的是第( )个图案。 2．如图，用边长为 1cm的正方形拼图形，第 2个图形的周长是( )cm， 第 4个图形的周长是( )cm，照这样拼下去，第 n个图形的周长是 ( )cm。 3．古希腊著名的毕达哥拉斯学派经常把“形”和“数”联系在一起。如图用“形”来 表示“数”，照这样画下去，第 8幅图的点子数为 ( )，第 n幅图的点子数 为( )。 5 / 7 【奥数拓展一】数形结合解决问题（一）。 写出各多边形数的第七项。 (1)三角形数 1 3 6 10 15 21 ( )。 (2)正方形数 1 4 9 16 25 36 ( )。 (3)五边形数 1 5 12 22 35 51 ( )。 (4)六边形数 1 6 15 28 45 66 ( )。 【专项训练】 1. 下面的这个数字三角形是我国古代数学家杨辉首先发现的，被誉为“杨辉三 角”，你知道括号内该填多少吗? 2. 如图所示，古希腊数学家毕达哥拉斯发现数量为 1，3，6，10，…的石子，都 可以排成三角形，他把这样的数称为三角形数，你能找到规律，写出后面的 3 个三角形数吗? 6 / 7 3. 如图 1所示，科技楼有 4层，正面每层的三个圆形窗户从左往右表示一个三 位数，这些三位数是 571、439、837、206，但是不知道这四个数和哪一层的窗 户相对应，请你观察一下，然后在图 2中画出表示“20459”的五个窗户。 【奥数拓展二】数形结合解决问题（二）。 已知甲数的 5 3 是甲、乙两数的和的 3 1 ，那么，乙数是甲、乙两数和的几分之几? 【专项训练】 1. 有甲、乙两袋面粉，甲袋的 5 1 和乙袋的 9 1 一样多，那么两袋面粉哪袋比较多? 2. 已知甲数的 7 4 是甲、乙两数的和的 4 1 ，那么乙数是甲、乙两数和的几分之几? 3. 简便计算：2019×2018－2020×2017。 7 / 7 【奥数拓展三】数形结合解决问题（三）。 一组割草人去两块草地割草，大的一块比小的一块大 1倍，上午全组人都在大的 一块草地割草，下午一半人留在大块草地上，到傍晚时把草割完，另一半人去割 小块草地的草，到傍晚时还剩下一块，这一块由 1个人去割，再用一天时间恰好 割完。这组割草人共有多少个? 【专项训练】 1. 墙角 O点处有一木桩上拴着一只羊，如图所示，拴羊的绳子长 4米，墙角两 边的墙长 2米，这只羊能吃到草的面积最多是多少平方米? 2. 数学家柳卡曾提出下面的著名问题：某轮船公司较长时间以来，每天中午有 一只轮船从哈佛开往纽约，并且在每一天中午同一时间有一只轮船从纽约开往哈 佛.轮船在途中所花的时间来去都是七昼夜，问今天中午从哈佛开往纽约的轮船， 在整个航运途中将会遇到几只同一公司的轮船从对面开来? 3. 小明、大宝两名运动员在长是 30米的游泳池里来回游泳，小明的速度是每秒 1米，大宝的速度是每秒 60厘米，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共 游了 5分钟，如果不计转向时间，在这段时间内他们一共相遇了多少次? 1 / 11 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让 学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力， 老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”， 苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节 编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点 进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的 奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》 主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到 核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝 贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024年 11 月 23 日 2 / 11 目 录 【课内精选一】数列规律 ........................................................................................................ 3 【课内精选二】图形规律 ........................................................................................................ 5 【奥数拓展一】数形结合解决问题（一） ............................................................................ 8 【奥数拓展二】数形结合解决问题（二） ............................................................................ 9 【奥数拓展三】数形结合解决问题（三） .......................................................................... 10 3 / 11 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 第八单元数学广角——数与形·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】数列规律。 按规律填数： 1 20 ，0.1，15%， 15，( )，( )。 【答案】 0.25 30% 【分析】观察数字的排列规律可知，数字的排列是分数、小数、百分数、分数、 小数、百分数…，将分数和百分数都化成小数，分别是 0.05，0.1，0.15，0.2…， 第一个数 0.05＝0.05×1、0.1＝0.05×2、0.15＝0.05×3、0.2＝0.05×4，由此可知， 第几个数就是 0.05×几，据此分析。 【详解】 1 20 ＝1÷20＝0.05 15%＝0.15 1 5＝1÷5＝0.2 0.05×1＝0.05 0.05×2＝0.1 0.05×3＝0.15 0.05×4＝0.2 0.05×5＝0.25 0.05×6＝0.3＝30% 1 20 ，0.1，15%， 15，0.25，30%。 【专项训练】 1．找规律填数。 (1) 47 ， 2 7， 1 7，( )， 1 28。 4 / 11 (2) 116， 1 8， 3 16， 1 4， 5 16， 1 2，( )，( )。 【答案】(1) 1 14 (2) 7 16 1 【分析】（1）观察前面的数字， 47 到 2 7是除以 2， 2 7 到 1 7是除以 2，由此可以知 道括号的数是用 1 7除以 2得到，据此解答； （2）先分别观察奇数项和偶数项。 奇数项： 1 16， 3 16， 5 16，分母都是 16，分子依次增加 2。 偶数项： 1 8， 1 4 ， 1 2，可以发现后一个数是前一个数的 2倍。 因此这组数字的规律：奇数项分子依次增加 2，偶数项依次乘 2。 【详解】（1） 1 2 7   1 1 7 2   1 14 即 4 7 ， 2 7， 1 7， 1 14， 1 28。 （2） 5 2 16  ＝ 7 16 1 2 1 2   即 1 16， 1 8， 3 16， 1 4， 5 16， 1 2， 7 16，1。 2．找规律填数。 (1) 1 2， 2 3 ，( )，( )， 5 6 ， 6 7 。 (2)0.2，0.7，( )，( )，2.2，2.7。 【答案】(1) 3 4 4 5 (2) 1.2 1.7 【分析】（1）分子和分母依次加 1，所以第一个空是 3 4 ，第二个空是 4 5 。 （2）0.7－0.2＝0.5，2.7－2.2＝0.5，因此每相邻的两个数相差 0.5，那么用前面 一个数加 0.5，即可得到后面一个数，依此计算并填空即可。 【详解】（1） 1 2， 2 3 ， 3 4 ， 4 5 ， 5 6 ， 6 7 （2）0.7＋0.5＝1.2，1.2＋0.5＝1.7 5 / 11 0.2，0.7，1.2，1.7，2.2，2.7。 3．25 ， 4 7 ， 6 9，    ， 10 13，…观察这列数的规律，其中第四个分数是( )； 如果这列数中的某个分数的分母是 a，那么分子是( )。 【答案】 8 11 a－3 【分析】观察这列分数可知，前一个分数的分母＋2＝后一个分数的分母，前一 个分数的分子＋2＝后一个分数的分子，且同一个分数的分子＝这个分数的分母 －3，据此分析。 【详解】9＋2＝11、6＋2＝8 2 5 ， 4 7 ， 6 9，    ， 10 13，…观察这列数的规律，其中第四个分数是 8 11；如果这 列数中的某个分数的分母是 a，那么分子是（a－3）。 【课内精选二】图形规律。 观察下面的图形，按照这样的规律摆下去，第 5组有( )个，第 10组有 ( )个。 【答案】 15 55 【分析】观察图形可知，第 1组有 1个星星，第 2组有 1＋2＝3（个）星星，第 3组有 1＋2＋3＝6（个）星星。可知每组星星个数由从 1开始依次增加的几个自 然数相加得到的，最后 1个自然数等于组数。那么第 5组有（1＋2＋3＋4＋5） 个星星，第 10组有（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）个星星。 【详解】1＋2＋3＋4＋5＝15（个） 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝55（个） 按照这样的规律摆下去，第 5组有 15个，第 10组有 55个。 【专项训练】 6 / 11 1．请你仔细观察，先找到图案的排列规律，再填空。 第 6个图案有( )个四边形，由 70个四边形组成的是第( )个图案。 【答案】 19 23 【分析】观察可知，第 1个图案有 4个四边形，4＝1×3＋1；第 2个图案有 7个 四边形，7＝2×3＋1；第 3个图案有 10个四边形，10＝3×3＋1…由此可知，第 n 个图形用四边形个数＝n×3＋1；（四边形个数－1）÷3＝第几个图案。 【详解】6×3＋1 ＝18＋1 ＝19（个） （70－1）÷3 ＝69÷3 ＝23（个） 第 6个图案有 19个四边形，由 70个四边形组成的是第 23个图案。 2．如图，用边长为 1cm的正方形拼图形，第 2个图形的周长是( )cm， 第 4个图形的周长是( )cm，照这样拼下去，第 n个图形的周长是 ( )cm。 【答案】 8 16 4n 【分析】 正方形的周长＝边长×4，第 2个图形通过平移可以看作一个边长为 2cm的正方 形，如图： ；第 4个图形通过平移可以看作一个边长为 4cm的正方形，如 图： ；那么第 n个图形通过平移可以看作一个边长为 n（cm）的正方 7 / 11 形；据此解答。 【详解】根据分析：2×4＝8（cm），所以第 2个图形的周长是 8cm；4×4＝16（cm）， 所以第 4个图形的周长是 16cm；n×4＝4n（cm），照这样拼下去，第 n个图形 的周长是 4ncm。 3．古希腊著名的毕达哥拉斯学派经常把“形”和“数”联系在一起。如图用“形”来 表示“数”，照这样画下去，第 8幅图的点子数为 ( )，第 n幅图的点子数 为( )。 【答案】 29 4n－3 【分析】根据题意，第 1幅图的点数为 1＋4×0，第 2幅图的点数为 1＋4×1，第 3幅图的点数为 1＋4×2；第 4幅图的点数为 1＋4×3，那么第 n幅图的点数应为： 1＋4（n－1）＝4n－3；将 n＝8，代入计算出第 8幅图的点数即可；据此解答。 【详解】第 8幅图的点子数是： 4×8－3 ＝32－3 ＝29 第 8幅图的点子数为 29。 第 n幅图的点子数是：4n－3。 8 / 11 【奥数拓展一】数形结合解决问题（一）。 写出各多边形数的第七项。 (1)三角形数 1 3 6 10 15 21 ( )。 (2)正方形数 1 4 9 16 25 36 ( )。 (3)五边形数 1 5 12 22 35 51 ( )。 (4)六边形数 1 6 15 28 45 66 ( )。 解析： (1)三角形数依次加整数 2，3，4，5，…，第七项是 28； (2)正方形数依次加整数 3，5，7，9，…，第七项是 49； (3)五边形数依次加整数 4，7，10，13，…，第七项是 70； (4)六边形数依次加整数 5，9，13，17，…，第七项是 91。 【专项训练】 1. 下面的这个数字三角形是我国古代数学家杨辉首先发现的，被誉为“杨辉三 角”，你知道括号内该填多少吗? 解析： 每个数等于它“肩膀”上的两个数之和.第一个括号中填 5+10=15；第二个括号中 填 20+15=35。 2. 如图所示，古希腊数学家毕达哥拉斯发现数量为 1，3，6，10，…的石子，都 可以排成三角形，他把这样的数称为三角形数，你能找到规律，写出后面的 3 9 / 11 个三角形数吗? 解析： 1+2+3+4+5=15； 1+2+3+4+5+6=21； 1+2+3+4+5+6+7=28。 3. 如图 1所示，科技楼有 4层，正面每层的三个圆形窗户从左往右表示一个三 位数，这些三位数是 571、439、837、206，但是不知道这四个数和哪一层的窗 户相对应，请你观察一下，然后在图 2中画出表示“20459”的五个窗户。 解析：如图所示： 【奥数拓展二】数形结合解决问题（二）。 已知甲数的 5 3 是甲、乙两数的和的 3 1 ，那么，乙数是甲、乙两数和的几分之几? 解析： 9 4 【专项训练】 10 / 11 1. 有甲、乙两袋面粉，甲袋的 5 1 和乙袋的 9 1 一样多，那么两袋面粉哪袋比较多? 解析：如图所示，乙袋比较多。 2. 已知甲数的 7 4 是甲、乙两数的和的 4 1 ，那么乙数是甲、乙两数和的几分之几? 解析： 16 9 3. 简便计算：2019×2018－2020×2017。 解析： 两个积相减，其中没有相同因数，但几个数都非常接近，我们可以借助示意图思 考，要求两个乘积的差就是求两个长方形的面积差，去掉公共部分的面积，剩下 的两个小长方形的面积差就是原来两个长方形的面积差，所以， 2019×2018－2020×2017=2019×1－2017×1=2 【奥数拓展三】数形结合解决问题（三）。 一组割草人去两块草地割草，大的一块比小的一块大 1倍，上午全组人都在大的 一块草地割草，下午一半人留在大块草地上，到傍晚时把草割完，另一半人去割 小块草地的草，到傍晚时还剩下一块，这一块由 1个人去割，再用一天时间恰好 割完。这组割草人共有多少个? 解析：8人。 【专项训练】 1. 墙角 O点处有一木桩上拴着一只羊，如图所示，拴羊的绳子长 4米，墙角两 边的墙长 2米，这只羊能吃到草的面积最多是多少平方米? 11 / 11 解析： 要求羊吃草的面积，不好直接用面积公式计算，怎么办?我们不妨画出示意图， 看看羊吃草的范围是个什么形状的，如图所示，不难看出，羊吃草的面积由 三部分组成：一部分是半径为 4米的圆的 4 1 ；另两部 分是半径为 2米的圆的 4 1 ，这两部分合起来正好是半径为 2米的半圆，所以，这 只羊能吃到草的面积最多是 3.14×4²÷4+3.14×2²÷2=12.56+6.28=18.84(平方米) 2. 数学家柳卡曾提出下面的著名问题：某轮船公司较长时间以来，每天中午有 一只轮船从哈佛开往纽约，并且在每一天中午同一时间有一只轮船从纽约开往哈 佛.轮船在途中所花的时间来去都是七昼夜，问今天中午从哈佛开往纽约的轮船， 在整个航运途中将会遇到几只同一公司的轮船从对面开来? 解析：13只。 3. 小明、大宝两名运动员在长是 30米的游泳池里来回游泳，小明的速度是每秒 1米，大宝的速度是每秒 60厘米，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共 游了 5分钟，如果不计转向时间，在这段时间内他们一共相遇了多少次? 解析：10次 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力，老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”，苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年11月23日 目 录 【课内精选一】数列规律 3 【课内精选二】图形规律 5 【奥数拓展一】数形结合解决问题（一） 8 【奥数拓展二】数形结合解决问题（二） 9 【奥数拓展三】数形结合解决问题（三） 10 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 第八单元数学广角——数与形·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】数列规律。 按规律填数：，0.1，15%，，( )，( )。 【答案】 0.25 30% 【分析】观察数字的排列规律可知，数字的排列是分数、小数、百分数、分数、小数、百分数…，将分数和百分数都化成小数，分别是0.05，0.1，0.15，0.2…，第一个数0.05＝0.05×1、0.1＝0.05×2、0.15＝0.05×3、0.2＝0.05×4，由此可知，第几个数就是0.05×几，据此分析。 【详解】＝1÷20＝0.05 15%＝0.15 ＝1÷5＝0.2 0.05×1＝0.05 0.05×2＝0.1 0.05×3＝0.15 0.05×4＝0.2 0.05×5＝0.25 0.05×6＝0.3＝30% ，0.1，15%，，0.25，30%。 【专项训练】 1．找规律填数。 (1)，，，( )，。 (2)，，，，，，( )，( )。 【答案】(1) (2) 1 【分析】（1）观察前面的数字，到是除以2，到是除以2，由此可以知道括号的数是用除以2得到，据此解答； （2）先分别观察奇数项和偶数项。 奇数项：，，，分母都是16，分子依次增加2。 偶数项：，，，可以发现后一个数是前一个数的2倍。 因此这组数字的规律：奇数项分子依次增加2，偶数项依次乘2。 【详解】（1） 即，，，，。 （2）＝ 即，，，，，，，1。 2．找规律填数。 (1)，，( )，( )，，。 (2)0.2，0.7，( )，( )，2.2，2.7。 【答案】(1) (2) 1.2 1.7 【分析】（1）分子和分母依次加1，所以第一个空是，第二个空是。 （2）0.7－0.2＝0.5，2.7－2.2＝0.5，因此每相邻的两个数相差0.5，那么用前面一个数加0.5，即可得到后面一个数，依此计算并填空即可。 【详解】（1），，，，， （2）0.7＋0.5＝1.2，1.2＋0.5＝1.7 0.2，0.7，1.2，1.7，2.2，2.7。 3．，，，，，…观察这列数的规律，其中第四个分数是( )；如果这列数中的某个分数的分母是a，那么分子是( )。 【答案】 a－3 【分析】观察这列分数可知，前一个分数的分母＋2＝后一个分数的分母，前一个分数的分子＋2＝后一个分数的分子，且同一个分数的分子＝这个分数的分母－3，据此分析。 【详解】9＋2＝11、6＋2＝8 ，，，，，…观察这列数的规律，其中第四个分数是；如果这列数中的某个分数的分母是a，那么分子是（a－3）。 【课内精选二】图形规律。 观察下面的图形，按照这样的规律摆下去，第5组有( )个，第10组有( )个。 【答案】 15 55 【分析】观察图形可知，第1组有1个星星，第2组有1＋2＝3（个）星星，第3组有1＋2＋3＝6（个）星星。可知每组星星个数由从1开始依次增加的几个自然数相加得到的，最后1个自然数等于组数。那么第5组有（1＋2＋3＋4＋5）个星星，第10组有（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）个星星。 【详解】1＋2＋3＋4＋5＝15（个） 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝55（个） 按照这样的规律摆下去，第5组有15个，第10组有55个。 【专项训练】 1．请你仔细观察，先找到图案的排列规律，再填空。 第6个图案有( )个四边形，由70个四边形组成的是第( )个图案。 【答案】 19 23 【分析】观察可知，第1个图案有4个四边形，4＝1×3＋1；第2个图案有7个四边形，7＝2×3＋1；第3个图案有10个四边形，10＝3×3＋1…由此可知，第n个图形用四边形个数＝n×3＋1；（四边形个数－1）÷3＝第几个图案。 【详解】6×3＋1 ＝18＋1 ＝19（个） （70－1）÷3 ＝69÷3 ＝23（个） 第6个图案有19个四边形，由70个四边形组成的是第23个图案。 2．如图，用边长为1cm的正方形拼图形，第2个图形的周长是( )cm，第4个图形的周长是( )cm，照这样拼下去，第n个图形的周长是( )cm。 【答案】 8 16 4n 【分析】 正方形的周长＝边长×4，第2个图形通过平移可以看作一个边长为2cm的正方形，如图：；第4个图形通过平移可以看作一个边长为4cm的正方形，如图：；那么第n个图形通过平移可以看作一个边长为n（cm）的正方形；据此解答。 【详解】根据分析：2×4＝8（cm），所以第2个图形的周长是8cm；4×4＝16（cm），所以第4个图形的周长是16cm；n×4＝4n（cm），照这样拼下去，第n个图形的周长是4ncm。 3．古希腊著名的毕达哥拉斯学派经常把“形”和“数”联系在一起。如图用“形”来表示“数”，照这样画下去，第8幅图的点子数为 ( )，第n幅图的点子数为( )。 【答案】 29 4n－3 【分析】根据题意，第1幅图的点数为1＋4×0，第2幅图的点数为1＋4×1，第3幅图的点数为1＋4×2；第4幅图的点数为1＋4×3，那么第n幅图的点数应为：1＋4（n－1）＝4n－3；将n＝8，代入计算出第8幅图的点数即可；据此解答。 【详解】第8幅图的点子数是： 4×8－3 ＝32－3 ＝29 第8幅图的点子数为29。 第n幅图的点子数是：4n－3。 【奥数拓展一】数形结合解决问题（一）。 写出各多边形数的第七项。 (1)三角形数1 3 6 10 15 21 ( )。 (2)正方形数1 4 9 16 25 36 ( )。 (3)五边形数1 5 12 22 35 51 ( )。 (4)六边形数1 6 15 28 45 66 ( )。 解析： (1)三角形数依次加整数2，3，4，5，…，第七项是28； (2)正方形数依次加整数3，5，7，9，…，第七项是49； (3)五边形数依次加整数4，7，10，13，…，第七项是70； (4)六边形数依次加整数5，9，13，17，…，第七项是91。 【专项训练】 1. 下面的这个数字三角形是我国古代数学家杨辉首先发现的，被誉为“杨辉三角”，你知道括号内该填多少吗? 解析： 每个数等于它“肩膀”上的两个数之和.第一个括号中填5+10=15；第二个括号中填20+15=35。 2. 如图所示，古希腊数学家毕达哥拉斯发现数量为1，3，6，10，…的石子，都可以排成三角形，他把这样的数称为三角形数，你能找到规律，写出后面的3个三角形数吗? 解析： 1+2+3+4+5=15； 1+2+3+4+5+6=21； 1+2+3+4+5+6+7=28。 3. 如图1所示，科技楼有4层，正面每层的三个圆形窗户从左往右表示一个三位数，这些三位数是571、439、837、206，但是不知道这四个数和哪一层的窗户相对应，请你观察一下，然后在图2中画出表示“20459”的五个窗户。 解析：如图所示： 【奥数拓展二】数形结合解决问题（二）。 已知甲数的是甲、乙两数的和的，那么，乙数是甲、乙两数和的几分之几? 解析： 【专项训练】 1. 有甲、乙两袋面粉，甲袋的和乙袋的一样多，那么两袋面粉哪袋比较多? 解析：如图所示，乙袋比较多。 2. 已知甲数的是甲、乙两数的和的，那么乙数是甲、乙两数和的几分之几? 解析： 3. 简便计算：2019×2018－2020×2017。 解析： 两个积相减，其中没有相同因数，但几个数都非常接近，我们可以借助示意图思考，要求两个乘积的差就是求两个长方形的面积差，去掉公共部分的面积，剩下的两个小长方形的面积差就是原来两个长方形的面积差，所以， 2019×2018－2020×2017=2019×1－2017×1=2 【奥数拓展三】数形结合解决问题（三）。 一组割草人去两块草地割草，大的一块比小的一块大1倍，上午全组人都在大的一块草地割草，下午一半人留在大块草地上，到傍晚时把草割完，另一半人去割小块草地的草，到傍晚时还剩下一块，这一块由1个人去割，再用一天时间恰好割完。这组割草人共有多少个? 解析：8人。 【专项训练】 1. 墙角O点处有一木桩上拴着一只羊，如图所示，拴羊的绳子长4米，墙角两边的墙长2米，这只羊能吃到草的面积最多是多少平方米? 解析： 要求羊吃草的面积，不好直接用面积公式计算，怎么办?我们不妨画出示意图，看看羊吃草的范围是个什么形状的，如图所示，不难看出，羊吃草的面积由 三部分组成：一部分是半径为4米的圆的；另两部 分是半径为2米的圆的，这两部分合起来正好是半径为2米的半圆，所以，这只羊能吃到草的面积最多是3.14×4²÷4+3.14×2²÷2=12.56+6.28=18.84(平方米) 2. 数学家柳卡曾提出下面的著名问题：某轮船公司较长时间以来，每天中午有一只轮船从哈佛开往纽约，并且在每一天中午同一时间有一只轮船从纽约开往哈佛.轮船在途中所花的时间来去都是七昼夜，问今天中午从哈佛开往纽约的轮船，在整个航运途中将会遇到几只同一公司的轮船从对面开来? 解析：13只。 3. 小明、大宝两名运动员在长是30米的游泳池里来回游泳，小明的速度是每秒1米，大宝的速度是每秒60厘米，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了5分钟，如果不计转向时间，在这段时间内他们一共相遇了多少次? 解析：10次 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$