8.1.2样本相关系数(2)课件 -2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

8.1.2 样本相关系数（2） 复习引入 例1：根据表8. 1-1中脂肪含量和年龄的样本数据，推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度. 例题 编号 1 2 3 4 5 6 7 年龄/岁 23 27 39 41 45 49 50 脂肪/% 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 编号 8 9 10 11 12 13 14 年龄/岁 53 54 56 57 58 60 61 脂肪/% 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 参考数据: 课本101页 由参考数据得 解法一：先画出散点图, 可以看出样 本点都集中在一条直线附近，由此推 断脂肪含量和年龄线性相关. 由样本相关系数r≈0.97,可以推断脂肪含量和年龄这两个变量正线性相关，且相关程度很强.脂肪含量与年龄变化趋势相同. 例1：根据表8. 1-1中脂肪含量和年龄的样本数据，推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度. 编号 1 2 3 4 5 6 7 年龄/岁 23 27 39 41 45 49 50 脂肪/% 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 编号 8 9 10 11 12 13 14 年龄/岁 53 54 56 57 58 60 61 脂肪/% 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 参考数据: 课本101页 由参考数据得 解法二：先画出散点图, 可以看出样 本点都集中在一条直线附近，由此推 断脂肪含量和年龄线性相关. 由样本相关系数r≈0.97,可以推断脂肪含量和年龄这两个变量正线性相关，且相关程度很强.脂肪含量与年龄变化趋势相同. 反思归纳： 练习 例2：有人收集了某城市居民年收入(所有居民在一年内收人的总和)与A商品销售额的10年数据，如下表所示. 第n年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 居民年收入/亿元 32.2 31.1 32.9 35.8 37.1 38.0 39.0 43.0 44.6 46.0 A商品销售额/万元 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 51.0 画出散点图，推断成对样本数据是否线性相关，并通过 样本相关系数推断居民年收入与A商品销售额的相关程 度和变化趋势的异同. 解:画出成对样本数据的散点图， 如图所示. 从散点图看，A商品销售额与 居民年收人的样本数据呈现出 线性相关关系. 例题 课本101页 由此可以推断，A商品销售额与居民年收入正线性相关，即A商品销售额与居民年收入有相同的变化趋势，且相关程度很强. 课本103页 随机抽取7家超市，得到其广告支出与销售额数据如下: 解：由样本数据可得 正线性相关，相关性较强，销售额与广告支出的变化趋 势相同. 超市 A B C D E F G 广告支出/万元 1 2 4 6 10 14 20 销售额/万元 19 32 44 40 52 53 54 请推断超市的销售额与广告支出之间的相关关系的类型、相关程度和变化趋势的特征. 练习 例3：在某校高一年级 中随机抽取25名男生，测得他们的身高、体重、臂展等数据，如下表所示. 体重与身高、臂展与身高分别具有怎样的相关性? 编号 身高/cm 体重/kg 臂展/cm 编号 身高/cm 体重/kg 臂展/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 173 179 175 179 182 173 180 170 169 1 77 177 178 174 55 71 52 62 82 63 55 81 54 54 59 67 56 169 170 172 177 174 166 174 1 69 1 66 176 170 174 170 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 166 176 176 175 169 184 169 182 171 177 173 173 66 61 49 60 48 86 58 54 58 61 58 51 161 166 165 173 162 189 164 170 164 173 165 169 例题 课本102页 解:根据样本数据画出体重与身高、臂展与身高的散点图， 分别如图 (1)和(2)所示，两个散点图都呈现出线性相关的 特征. 通过计算得到体重与身高、臂展与身高的样本相关系数 分别约为0.34和0.78，都为正线性相关. 其中，臂展与身 高的相关程度更高. 足球是深受全世界人们喜爱的运动，我国大力发展校园足球．为了解本地区足球特色学校的发展状况，社会调查小组得到如下统计数据： 年份x 2016 2017 2018 2019 2020 足球特色学校y(百个) 0.30 0.60 1.00 1.40 1.70 根据上表数据, 计算y与x的样本相关系数r, 并说明y与x的线性相关程度． (附： 若0.75≤|r|≤1，则认为y与x的线性相关程度很强；若0.3≤|r|<0.75，则认为y与x的线性相关程度一般；|r|≤0.25，则认为y与x的线性相关程度较弱) 练习 解:根据题意得 ∴y与x的线性相关程度很强. 随堂检测 1.为考察两个变量x，y的相关性，搜集数据如表，则两个变量的线性相关程度（ ） x 5 10 15 20 25 y 103 105 110 111 114 A.很强 B.很弱 C.无相关 D.不确定 故相关程度很强. 2.为考察两个变量x，y的相关性，搜集数据如下表： x 5 10 15 20 25 y 103 105 110 111 114 则两个变量的相关系数为________；两个变量的相关程度为________(填：很强、很弱、不相关). 0.982 6 很强 一、三 解析：因为r>0， 所以大多数的点都落在第一、三象限. 4.以下是收集到的新房屋的销售价格y(万元)和房屋的大小x(m2)的数据. (1)画出数据的散点图； 解：画出散点图如图所示. 房屋大小x/m2 115 110 80 135 105 销售价格y/万元 24.8 21.6 18.4 29.2 22 4.以下是收集到的新房屋的销售价格y(万元)和房屋的大小x(m2)的数据. 房屋大小x/m2 115 110 80 135 105 销售价格y/万元 24.8 21.6 18.4 29.2 22 由此可知，新房屋的销售价格和房屋的大小这两个变量正线性相关，且相关程度很强. 5.下图是我国2012年至2018年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图. 注：年份代码1～7分别对应年份2012～2018. 由折线图看出，y与t有线性相关关系，请用相关系数加以说明. 附注： 课堂小结 课外作业 1．样本相关系数计算公式 对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的均值分别为eq \x\to(x)和eq \x\to(y).将数据以(eq \x\to(x)，eq \x\to(y))为零点进行平移，得到平移后的成对数据为(x1－eq \x\to(x)，y1－eq \x\to(y))，(x2－eq \x\to(x)，y2－eq \x\to(y))，…，(xn－eq \x\to(x)，yn－eq \x\to(y))，则变量x和变量y的样本相关系数 2．样本相关系数的意义 样本相关系数r可以反映两个随机变量之间的线性相关程度：r的符号反映了相关关系的________；|r|的大小反映了两个变量线性____________，即成对样本数据在直角坐标系中所对应的散点集中于__________的程度，因此用成对样本数据中变量x和变量y的样本相关系数r这一数据特征估计总体的相关系数，从而了解两个变量之间的相关程度． 正负性 相关的程度 一条直线 eq \a\vs4\al(负) 不相关 3．样本相关系数的性质 (1)样本相关系数r的取值范围为______； (2)|r|值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越 ；|r|值越接近0，成对样本数据的线性相关程度越 ； (3)当r＞0时，两个随机变量的值总体上变化趋势相同，此时称两个随机变量 相关； (4)当r＜0时，两个随机变量的值总体上变化趋势相反，此时称两个随机变量 相关； (5)当r＝0，此时称两个随机变量线性________． eq \a\vs4\al(强) eq \a\vs4\al(弱) eq \a\vs4\al(正) 1．线性相关系数是从数值上来判断变量间的线性相关程度，是定量的方法．与散点图相比较，线性相关系数要精细得多，需要注意的是线性相关系数r的绝对值小，只是说明线性相关程度低，但不一定不相关，可能是非线性相关． 2．利用相关系数r来检验线性相关显著性水平时，通常与0.75作比较，若|r|>0.75，则线性相关较为显著，否则不显著． 某校高二(1)班的学生每周用于数学学习的时间x(单位：h)与数学平均成绩y(单位：分)之间的数据如表格所示. x 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 y 92 79 97 89 64 47 83 68 71 59 (1)画出散点图； (2)请判断数学学习的时间与数学平均成绩之间的相关关系的类型、相关程度和变化趋势的特征． 解：(1)根据表中的数据画出散点图，如图． (2)从散点图看，数学成绩与学习时间线性相关． 由已知数据求得eq \o(x,\s\up17(－))＝17.4，eq \o(y,\s\up17(－))＝74.9， 所以相关系数 由相关系数知，数学学习时间与数学平均成绩呈正线性相关，因为r≈0.920与1接近，所以数学学习时间与数学成绩相关程度很高，且随着学习时间的增加，相应的学习成绩升高． 答案：A　 解析：eq \o(∑,\s\up20(5),\s\do20(i＝1))xi＝75，eq \o(∑,\s\up20(5),\s\do20(i＝1))yi＝543，eq \o(∑,\s\up20(5),\s\do20(i＝1))xeq \o\al(2,i)＝1 375，eq \o(∑,\s\up20(5),\s\do20(i＝1))xiyi＝8 285， eq \o(∑,\s\up20(5),\s\do20(i＝1))yeq \o\al(2,i)＝59 051，eq \o(x,\s\up6(－))＝15，eq \o(y,\s\up6(－))＝108.6， r＝2,i)eq \f(\o(∑,\s\up20(5),\s\do20(i＝1))xiyi－5\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)) )\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－)) ),\r(\o(∑,\s\up20(5),\s\do20(i＝1))x－5\o(x,\s\up6(－))2)\r(\o(∑,\s\up20(5),\s\do20(i＝1))yeq \o\al(2,i)－5\o(y,\s\up6(－))2)) ＝eq \f(8 285－5×15×108.6,\r(1 375－5×152)×\r(59 051－5×108.62)) ≈0.982 6，故相关程度很强. 3.已知某个样本点中的变量x，y线性相关，相关系数r>0， 平移坐标系，则在以(eq \o(x,\s\up6(－))，eq \o(y,\s\up6(－)))为坐标原点的坐标系下的散点 图中，大多数的点都落在第__________象限. 参考数据：eq \o(∑,\s\up20(7),\s\do20(i＝1))yi＝9.32，eq \o(∑,\s\up20(7),\s\do20(i＝1))tiyi＝40.17，eq \r(\o(∑,\s\up20(7),\s\do20(i＝1)) （yi－\o(y,\s\up6(－))）2)＝0.55，eq \r(7)≈2.646. 因为y与t的相关系数近似为0.99，所以y与t的线性相关程度 相当高. 参考公式：相关系数r＝eq \f(\o(∑,\s\up20(n),\s\do20(i＝1)) （ti－\o(t,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\o(∑,\s\up20(n),\s\do20(i＝1)) （ti－\o(t,\s\up6(－))）2\o(∑,\s\up20(n),\s\do20(i＝1)) （yi－\o(y,\s\up6(－))）2)). 解：由折线图中数据和附注中参考数据得 eq \o(t,\s\up6(－))＝4，eq \o(∑,\s\up20(7),\s\do20(i＝1)) (ti－eq \o(t,\s\up6(－)))2＝28，eq \r(\o(∑,\s\up20(7),\s\do20(i＝1)) （yi－\o(y,\s\up6(－))）2)＝0.55. eq \o(∑,\s\up20(7),\s\do20(i＝1)) (ti－eq \o(t,\s\up6(－)))(yi－eq \o(y,\s\up6(－)))＝eq \o(∑,\s\up20(7),\s\do20(i＝1))tiyi－eq \o(t,\s\up6(－)) eq \o(∑,\s\up20(7),\s\do20(i＝1))yi＝40.17－4×9.32＝2.89， r≈eq \f(2.89,0.55×2×2.646)≈0.99. 1．散点图能直观反映两个变量的线性相关性，但可能会因为散点图的制作不精确影响对两个变量的线性相关性的判断．为了精确判断两个变量的线性相关性，可利用相关系数进行判断． 2．利用相关系数r来判断x，y是否线性相关时，当|r|>0.75，就认为x与y线性相关．　　　　 《选择性必修第三册》 “综合运用”2，3. $$