8.1.2样本相关系数课件(1)-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

8.1.2 样本相关系数（1） 1.相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去________决定另一个的程度，这种关系称为相关关系. 精确地 2.正相关、负相关 从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现______的趋势，我们就称这两个变量正相关；如果一个变量值增加时，另一个变量的相应值呈现______的趋势，则称这两个变量负相关. 增加 减少 复习引入 3.线性相关 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在__________附近，我们就称这两个变量线性相关. 4.非线性相关或曲线相关 一般地，如果两个变量具有相关性，但不是______相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关. 一条直线 线性 5.散点图 为了直观描述成对样本数据的变化特征，把每对成对样本数据都用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图，叫做散点图． 通过观察散点图中成对样本数据的分布规律，我们可以 大致推断两个变量是否存在相关关系、是正相关还是负 相关、是线性相关还是非线性相关等. 散点图虽然直观， 但无法确切地反映成对样本数据的相关程度，也就无法 量化两个变量之间相关程度的大小. 能否像引入均值、 方差等数字特征对单个变量数据进行分析那样，引入一 个适当的“数字特征”，对成对样本数据的相关程度进 行定量分析呢? 探究：相关系数 对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数 据为(x1, y1), (x2, y2),‧‧‧, (xn, yn)，其中x1, x2, ‧‧‧, xn和y1, y2,‧‧‧, yn的均值分别为 和 . 将数据以 为零点进 行平移，得到平移后的成对数据为 并绘制散点图. 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 -25.1 -21.1 -9.1 -7.1 -3.1 0.9 1.9 4.9 5.9 7.9 8.9 9.9 11.9 12.9 -17.8 -9.5 -6.1 -1.4 0.2 -1.0 0.9 2.3 2.9 4.1 3.5 6.2 7.9 7.3 利用信息技术软件，可以得到散点图 平移   制作：维度小矮人 6 利用信息技术软件，可以得到散点图 平移 思考：比较数据调整后的散点图，可以发现散点有怎样的分布规律？ 这时的散点大多数分布在第一象限、第三象限,大多数散点的横、纵坐标同号,显然,这样的规律是由人体脂肪含量与年龄正相关所决定的. 制作：维度小矮人 7 一般地，如果变量x和y正相关，那么关于均值平移后 的大多数散点将分布在第一象限、第三象限，对应的 成对数据同号的居多，如图 (1)所示； 如果变量x和y负相关，那么关于均值平移后的大多数 散点将分布在第二象限、第四象限，对应的成对数据 异号的居多，如图(2)所示. 思考1:根据上述分析，你能利用正相关变量和负相关变量的成对样本数据平移后呈现的规律，构造一个度量成对样本数据是正相关还是负相关的数字特征吗? 利用散点 的横、纵坐标是否同 号，可以构造一个量 一般情形下，Lxy>0表明成对样本数据正相关；Lxy <0表 明成对样本数据负相关. 在研究体重与身高之间的相关程度时,如果体重的单位不变,把身高单位由米改为厘米,单位的改变不会改变体重与身高之间的相关程度. 思考2 : Lxy的大小是否一定能度量出成对样本数据的相关程度吗? 我们发现, Lxy的大小与数据的度量单位有关，所以不宜 直接用它度量成对样本数据相关程度的大小. 为了消除度量单位的影响，需要对数据作进一步的“标 准化”处理. 我们用 进一步简化为   我们称r为变量x和变量y的样本相关系数. 当r>0时，称成对样本数据正相关；当其中一个数据的值变小时,另一个数据的值通常也变小;当其中一个数据的值变大时,另一个数据的值通常也变大. 当r<0时，称成对样本数据负相关；当其中一个数据的值变小时,另一个数据的值通常会变大；当其中一个数据的值变大时,另一个数据的值通常会变小. 制作：维度小矮人 12 从 的结构联想到向量的数量积       思考4：样本相关系数r的大小与成对样本数据的相关程度有什么内在联系呢? 我们试着从向量数量积的角度进行思考 制作：维度小矮人 13   设其第一分量为 第二分量为 制作：维度小矮人 14 思考5：当|r|=1时，成对样本数据之间具有怎样的关系？ 当|r|=1时， ，向量 与 共线. 所以存在一个实数 ,使得 ，即 这表明成对样本数据(xi,yi)都落在直线 上. 成对样本数据的两个分量之间满足一种线性关系. 样本相关系数r的取值范围为[-1,1]. 样本相关系数： 归纳总结 样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数字特征， 它反映了两个随机变量之间的线性相关程度. r的符号反映了相关关系的正负性. |r|的大小反映了两个变量线性相关的程度，即散点集 中于一条直线的程度. ③ 当|r|越接近1时，成对数据的线性相关程度越强； 当|r|越接近0时，成对数据的线性相关程度越弱；特 别地，当|r|＝0时，成对数据间没有线性相关关系； 当|r|＝1时，成对数据都落在一条直线上. 注意：若0.75≤|r|≤1，则认为y与x的线性相关程度很强； 若0.3≤|r|<0.75，则认为y与x的线性相关程度一般； 若|r|≤0.25，则认为y与x的线性相关程度较弱. 相关系数的性质： ① 当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关. ② |r|≤1； 图(1) 中成对样本数据的正线性相关程度很强. 图(2) 中成对样本数据的负线性相关程度比较强. 图(3)中 对样本数据的线性相关程度很弱. 图(4)中成对样本数据的线性相关程度极弱. 1.已知求得甲、乙、丙3组不同的数据的样本相关系数分别为0.81，－0.98，0.63，其中________(填甲、乙或丙)组数据的线性相关程度最强． 乙 练习 2.在一次试验中，测得(x, y)的4组值分别为(1, 2), (2, 0), (4, －4), (－1,6), 则y与x的样本相关系数为(　　) A．1 B．－2 C．0 D．－1 解：由样本数据可得 随堂检测 2.在一组成对样本数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若这组成对样本数据的样本相关系数为－1，则所有的样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)满足的方程可以是（ ） 解析：∵这组成对样本数据的样本相关系数为－1， ∴这一组成对样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)线性相关，且是负相关. ∴可排除B，C，D，故选A. 3.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是（ ） A.r2<r4<0<r3<r1 B.r4<r2<0<r1<r3 C.r4<r2<0<r3<r1 D.r2<r4<0<r1<r3 解析：由给出的四组数据的散点图可以看出，题图1和题图3是正相关，样本相关系数大于0，题图2和题图4是负相关，样本相关系数小于0， 题图1和题图2的样本点集中在一条直线附近，所以相关性更强，所以r1接近于1，r2接近于－1，由此可得r2<r4<0<r3<r1. 4.(多选)下面的各图中，散点图与样本相关系数r符合的是（ ） 解析：因为样本相关系数r的绝对值越接近1，线性相关程度越高，且r＞0时正相关，r＜0时负相关，故观察各选项，易知B不符合，A，C，D均符合. 5.假设关于某种设备的使用年限x(单位：年)与所支出的维修费用y(单位：万元)有如下统计资料： x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 1. 样本相关系数： 2.相关系数的性质： ① 当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关. ② |r|≤1； ③ 当|r|越接近1时，成对数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对数据的线性相关程度越弱；特别地，当|r|＝0时，成对数据的没有线性相关关系；当|r|＝1时，成对数据都落在一条直线上. 课堂小结 课外作业 课本103页 1. 由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数是否一定能确切地反映变量之间的相关关系? 为什么? 解：样本相关系数可以反映变量之间相关的正负性及线性相关的程度，但由于样本数据的随机性，样本相关系数往往不能确切地反映变量之间的相关关系. 一般来说，样本量越大，根据样本相关系数推断变量之间相关的正负性及线性相关的程度越可靠，而样本量越小则越不可靠. 一个极端的情况是，无论两个变量之间是什么关系，如果样本量取2，则计算可得样本相关系数的绝对值都是1 (在样本相关系数存在的情况下)，显然据此推断两个变量完全线性相关是不合理的. 课本103页 2. 已知变量x和变量y的3对随机观测数据(2, 2), (3, －1), (5, －7)，计算成对样本数据的样本相关系数. 能据此推断这两个变量线性相关吗? 为什么? 解：由样本数据可得 虽然样本相关系数为－1，三个样本点在一条直线上， 但是由于样本量太小，据此推断两个变量完全线性相 关并不可靠. 解:（1） 课本103页 3. 画出下列成对数据的散点图，并计算样本相关系数. 据此，请你谈谈样本相关系数在刻画成对样本数据相关关系上的特点. (1) (－2, －3), (－1, －1), (0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 7)； (2) (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16)； (3) (－2, －8), (－1, －1), (0, 0), (1, 1), (2, 8), (3, 27); (4) (2, 0) (1, ), (0, 2), (－1, ), (－2, 0). 2 4 8 x -4 -3 2 0 -2 1 3 -1 6 y -2 • • • • • • 5 15 x 2 0 4 1 3 10 y • • • • • （2） 2 0.5 1.5 x -3 2 0 -2 1 3 -1 1 y • • • • • • 5 10 20 x -10 -3 2 0 -2 1 3 -1 15 y -5 • • • • • • 25 样本相关系数主要刻画的是成对样本数据线性相关的程度. 课本103页 3. 画出下列成对数据的散点图，并计算样本相关系数. 据此，请你谈谈样本相关系数在刻画成对样本数据相关关系上的特点. (3) (－2, －8), (－1, －1), (0, 0), (1, 1), (2, 8), (3, 27); (4) (2, 0) (1, ), (0, 2), (－1, ), (－2, 0). 解:（3） （4） 答案：乙 解析：两个变量的相关系数的绝对值越接近于1，它的线性相关性越强．在甲、乙、丙中，所给的数值中－0.98是相关系数绝对值最大的值，即乙的线性相关性最强． 解析：根据A，B两组样本数据的散点图知，A组样本数据几乎在一条直线上，且成正相关，∴相关系数r1接近1，B组数据分散在一条直线附近，也成正相关，∴相关系数r2满足r2<r1，即r1>r2. 1.如图所示，给出样本容量均为7的A，B两组样本数据的散点图，已知A组数据的样本相关系数为r1，B组数据的样本相关系数为r2，则(　　) A．r1＝r2 B．r1<r2 C．r1>r2 D．无法判定 《选择性必修第三册》 “练习”1，2，3； “拓广探索”4. $$