7.3.1离散型随机变量的均值（1）课件 -2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.3.1离散型随机变量的均值（1） 1.离散型随机变量的分布列 (1)离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为 x1，x2，…，xn ，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的 ，简称为________. 概率分布列 分布列 复习引入 (2)可以用表格来表示X的分布列，如下表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 2.离散型随机变量的分布列的性质 (1)_______________________； (2) p1＋p2＋…＋pn＝______ . pi≥0，i＝1，2，…，n 1 3.两点分布 X 0 1 P 1－p p 我们称X服从______分布或0－1分布. 两点 4.平均数： 如果有n个数据 　　那么这n个数的平均数为 探究：离散型随机变量的均值 离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量 的取值规律. 但在解决有些实际问题时，直接使用分布 列并不方便，例如，要比较不同班级某次考试成绩， 通常会比较平均成绩；要比较两名射箭运动员的射箭 水平，一般会比较他们射箭的成绩(平均环数或总环数) 以及稳定性. 因此，类似于研究一组数据的均值和方差， 我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差，它们统 称为随机变量的数字特征. 引例:某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？ 用X表示环数，则它是一个随机变量,其分布列为： X 1 2 3 4 P 权数 加权平均数 新课引入 问题1：甲、 乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的 分布列如下表所示. 环数X 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 如何比较他们射箭水平的高低呢? 类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均 环数相等，再看稳定性. 环数X 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别 为 甲n次射箭射中的平均环数为 当n足够大时，频率稳定于概率，所以 稳定于 即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9，这个平 均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平. 同理，乙射中环数的平均值为 从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高. 归纳总结 随机变量的均值 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示， X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 则称 为随机变量X的均值或数学期望， 数学期望简称期望. 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数， 它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机 变量取值的平均水平. 例题 例1：在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分. 如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次 的得分X的均值是多少? 分析:罚球有命中和不中两种可能结果,命中时X=1,不中 时X=0,因此随机变量X服从两点分布,X的均值反映了该 运动员罚球1次的平均得分水平. 解：由题意得，X的分布列为 即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8. 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么 课本63页 X 0 1 P 1－p p 求离散型随机变量的均值的步骤 (1)确定取值：根据随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值； (2)求概率：求X取每个值的概率； (3)写分布列：写出X的分布列； (4)求均值：由均值的定义求出E(X). 反思归纳 11 例题 例2：抛掷一枚质地均匀的骰子， 设出现的点数为X， 求X的均值. 解：由题意得，X的分布列为 即点数X的均值是3.5. 分析:先求出X的分布列,再根据定义计算X的均值. 课本63页 12 观察：掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数X的均值为3.5. 随机模拟这个试验，重复60次和重复300次各做6次，观测出现的点数并计算平均数. 根据观测值的平均数(样本均值)绘制统计图，分别如图 (1)和(2)所示. 观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别? 观察图形可以发现: 在这12组掷骰子试验中，样本均值 各不相同，但它们都在掷出点数X的均值3.5附近波动， 且重复掷300次的样本均值波动幅度明显小于重复60次的. 事实上，随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动. 随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小，因此，我们常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值. 探究：如果X是一个离散型随机变量，X加一个常数或乘一个常数后，其均值会怎样变化? 即E(X＋b)和E(aX)(其中a, b为常数)分别与E(X)有怎样的关系? 设X的分布列为 根据随机变量均值的定义， 类似地，可以证明 一般地，下面的结论成立： 解： 课本66页 1. 已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1 (1) 求E(X)；(2) 求E(3X+2). 练习 解： 课本67页 2. 抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得 －1分，求得分X的均值. A.0.2 B.0.1 C.－0.2 D.－0.4 X 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 1.设随机变量X的分布列如表，且E(X)＝1.6，则a－b等于（ ） 解析：易知a，b∈[0,0.8]， 由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8. ① 又由E(X)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6， 得a＋2b＝1.3， ② 由①②，解得a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2. 随堂检测 3.一个袋中装有除颜色外其他都相同的3个白球和4个红球. 所以X的分布列为 3.一个袋中装有除颜色外其他都相同的3个白球和4个红球. (2)从中任意摸出两个球，用X＝0表示“两个球全是白球”，用X＝1表示“两个球不全是白球”，求X的分布列及均值. 所以X的分布列为 1. 离散型随机变量的均值： 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示， X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 则称 为随机变量X的均值或数学期望， 数学期望简称期望. 2. 均值的性质： 3. 随机变量X服从两点分布，则有 课堂小结 课外作业 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”， eq \o(A,\s\up6(－))表示“失败”，定义X＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，A发生，,0，\o(A,\s\up6(－))发生.))如果P(A)＝p， 则P(eq \o(A,\s\up6(－)))＝1－p，那么X的分布列如表所示 2.若p为非负实数，随机变量X的分布列为： X 0 1 2 P eq \f(1,2)－p p eq \f(1,2) 则E(X)的最大值为(　　) A．1　　　　B.eq \f(3,2)　　　　C.eq \f(2,3)　　　　D．2 解析：(1)由分布列，得E(X)＝0×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－p))＋p＋2×eq \f(1,2)＝p＋1. 又0≤p≤1，且0≤eq \f(1,2)－p≤1. 所以0≤p≤eq \f(1,2)， 因此当p＝eq \f(1,2)时，E(X)取最大值eq \f(3,2).答案：B (2)E(X)＝(－2)×eq \f(1,4)＋(－1)×eq \f(1,3)＋0×eq \f(1,5)＋1×eq \f(1,6)＋2×eq \f(1,20)＝－eq \f(17,30). (3)法一　由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b， 得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,30)))－3＝－eq \f(62,15). 4.已知随机变量X的分布列如下： X －2 －1 0 1 2 P eq \f(1,4) eq \f(1,3) eq \f(1,5) m eq \f(1,20) (1)求m的值； (2)求E(X)； (3)若Y＝2X－3，求E(Y)． 解：(1)由随机变量分布列的性质，得eq \f(1,4)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,5)＋m＋eq \f(1,20)＝1，解得m＝eq \f(1,6). 法二　由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如下： Y －7 －5 －3 －1 1 P eq \f(1,4) eq \f(1,3) eq \f(1,5) eq \f(1,6) eq \f(1,20) 所以E(Y)＝(－7)×eq \f(1,4)＋(－5)×eq \f(1,3)＋(－3)×eq \f(1,5)＋(－1)×eq \f(1,6)＋1×eq \f(1,20) ＝－eq \f(62,15). 5．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(1,4).设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望． PAGE 1 解：随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3. P(X＝0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq \f(1,4)， P(X＝1)＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq \f(1,4)＝eq \f(11,24)， P(X＝2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq \f(1,4)， P(X＝3)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,24). 所以，随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P eq \f(1,4) eq \f(11,24) eq \f(1,4) eq \f(1,24) 随机变量X的数学期望E(X)＝0×eq \f(1,4)＋1×eq \f(11,24)＋2×eq \f(1,4)＋3×eq \f(1,24)＝eq \f(13,12). 《选择性必修第三册》 “复习巩固”2，3，4； “复习巩固”5. $$