22.1二次函数的图像和性质 课时作业人教版数学 九年级上册

人教版九年级上册数学22.1二次函数的图像和性质 课时作业 一、单选题 1．下列关于二次函数y=-（x-n）+n+1（n为常数）的结论：①该函数图象开口向下； ②该函数的图象一定经过坐标轴上某个定点； ③该函数图象的顶点在函数y=x+1的图象上；④当0≤x≤1时，若该函数有最大值2，则n=±1．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知二次函数 y＝ax2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③2a+b＞0；④a﹣b+c＜0，其中正确的个数（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．如图，已知点M为二次函数图象的顶点，直线分别交x轴，y轴于点A，B．点M在内，若点，都在二次函数图象上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．抛物线y＝3（x+2）2﹣（m2+1）（m为常数）的顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．下列抛物线中，对称轴为直线的抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 6．若点、都在抛物线上，且x1＜x2＜0，则y1与y2的大小关系为（    ） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≠y2 D．不能判定 7．抛物线的顶点坐标为(  　　　) A． B． C． D． 8．已知二次函数的图象如图，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）；其中正确结论的个数为（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 9．请写出一个二次函数解析式，要求满足如下条件：当时，随着的增大而增大；该二次函数图象向上平移个单位长度后经过原点．你写出的二次函数解析式为 ． 10．二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线 x=1，下列结论：①ab＜0；②；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．其中正确的是 ． 11．观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中，二次函数有 ．（只填序号） 12．若二次函数在时的最大值为3，那么的值是 ． 13．已知抛物线，当时，y的值为 ． 三、解答题 14．如图，关于的二次函数的图像与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)在轴上是否存在一点，使为等腰三角形？若存在．请求出点的坐标．像 15．如图，抛物线：与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，为抛物线的对称轴右侧上的点（不含顶点）． (1)求的值和抛物线的顶点坐标； (2)设抛物线在点和点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标之差为，求与的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)当点的坐标满足时，连接．将直线与抛物线围成的封闭图形记为． ①求点的坐标； ②直接写出封闭图形的边界上的整点（横、纵坐标都是整数的点）的个数． 16．函数y =ax²(a≠0)与直线y =2x－3的图像交于点（1，b）． 求：（1）a和b的值； （2）求抛物线y =ax²的开口方向、对称轴、顶点坐标． 17．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，点的坐标为． （1）求点的坐标． （2）求过点，，的二次函数的表达式． （3）设点关于二次函数的对称轴的对称点为，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C A C D D A B 1．C 【分析】根据二次项系数的符号即可判断①，当时，，可判断②，将抛物线的顶点坐标代入即可判断③，④将对称轴分三种情况讨论：i）当时，ii）当时，ⅲ）当时，分别求得该函数的最大值即可判断④ 【详解】函数解析式． ①， ∴函数图象开口向下，故①正确； ②∵当时，， ∴该函数图象一定经过轴的点，故②正确； ③函数的顶点坐标为，代入，符合题意，故③正确； ④将对称轴分三种情况讨论： i）当时，在的取值范围内，二次函数值随的增大而减小，当时，； ii）当时，在的取值范围内，当时，二次函数取得最大值，此时，解得（负值舍去），即； ⅲ）当时，在的取值范围内，二次函数值随的增大而增大，当时，，解得（舍去）． ．故④错误． 综上所述，①②③正确，故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握的图象和性质是解题的关键． 2．C 【分析】根据题意可知①观察二次函数图象即可得出a＜0、b＞0、c＞0，由此可得出abc＜0，即①正确；②由抛物线与x轴有两个交点，由此可得出△＝b2﹣4ac＞0，即②错误；③由①可知0＜b＜﹣2a，由此可得出2a+b＜0，即③错误；④观察函数图象可知当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，即④正确．综上即可得出结论． 【详解】解：①观察二次函数图象可得出：a＜0，0＜﹣＜1，c＞0， ∴0＜b＜﹣2a， ∴abc＜0，①正确； ②∵二次函数图象与x轴有两个交点， ∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根， ∴△＝b2﹣4ac＞0，②错误； ③∵0＜b＜﹣2a， ∴b﹣（﹣2a）＝2a+b＜0，③错误； ④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，④正确． 综上所述：正确的结论为①④． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，注意观察二次函数图象找出a＜0、0＜b＜-2a、c＞0是解题的关键． 3．A 【分析】根据题意确定出的取值范围，然后根据二次函数的性质即可得出，的大小关系． 【详解】解：∵点M为二次函数图象的顶点， ∴点， ∵直线分别交x轴，y轴于点A，B， 令，解得：， 令，解得：， ∴， ∵点M在内， ∴， 解得：， ∵抛物线开口向下， ∴与对称轴距离越近，其值越大；与对称轴距离越远，其值越小； ∵对称轴在之间， ∴比距离对称轴更近， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的图像与坐标轴的交点问题，熟知一次函数的与二次函数的性质是解本题的关键． 4．C 【分析】根据二次函数的性质求出抛物线的顶点坐标，根据偶次方的非负性判断． 【详解】抛物线y＝3（x+2）2﹣（m2+1）的的顶点坐标为（﹣2，﹣（m2+1））， ∵m2+1＞0， ∴﹣（m2+1）＜0， ∴抛物线的顶点在第三象限， 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的顶点坐标的确定方法、偶次方的非负性是解题的关键． 5．D 【分析】本题考查了二次函数的对称轴，熟练掌握求二次函数对称轴的方法和技巧是解答本题的关键． 分别求出各选项中抛物线的对称轴，由此进行判断，得到答案． 【详解】解：根据题意得： 选项中，抛物线的对称轴为轴，故本选项不符合题意； 选项中，抛物线的对称轴为轴，故本选项不符合题意； 选项中，抛物线，该抛物线的对称轴为直线，故本选项不符合题意； 选项中，抛物线，该抛物线的对称轴为直线，故本选项符合题意； 故选：． 6．D 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴在对称轴的左侧，随的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小， ∵， ∴无法判断点A和点B与对称轴的位置关系， ∴无法确定与的大小关系 故选D 7．A 【分析】根据顶点式的特点可直接写出顶点坐标． 【详解】因为y=（x-1）2+3是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，3）． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质：顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h，此题考查了学生的应用能力． 8．B 【分析】根据对称性，判断时函数值的符号，判断①；根据图象的开口方向，对称轴，与y轴的交点位置判断②；根据图象判断时，函数值的符号，判断③；结合对称轴和特殊点判断④；根据二次函数图像的顶点判断⑤，进而得出结论． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴和的函数值相同，即：， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴，， ∴， ∴，故②正确； 由图象可知：当时，对应的函数值小于0， 即， ∴，故③错误； ∵，， ∴， ∴， 即：，故④正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最大值为， ∴， ∴，故⑤错误； 综上：正确的有①②④，共3个． 故选B． 【点睛】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号．熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 9．（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，根据当时，随着的增大而增大可知顶点坐标在轴负半轴，抛物线开口向上，再由该二次函数图象向上平移个单位长度后经过原点可知抛物线与轴的交点为，据此可得出结论，掌握二次函数的性质和平移是解题的关键． 【详解】解：∵当时，随着的增大而增大， ∴抛物线的顶点坐标在轴负半轴，抛物线开口向上， ∵二次函数图象向上平移个单位长度后经过原点， ∴抛物线与轴的交点为， ∴符合条件的二次函数解析式可以为， 故答案为：(答案不唯一)． 10．①②③ 【分析】由抛物线开口方向得到a>0，对称轴是直线 x=1得到，则可对①进行判断；利用判别式的意义和抛物线与x轴有2个交点可对②进行判断；利用x=1时，y<0和c<0可对③进行判断；利用抛物线的对称轴方程得到，加上时，y>0，即a-b+c>0，则可对④进行判断． 【详解】详解：∵抛物线开口向上， ∴a>0， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴ab<0，所以①正确； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴，所以②正确； ∵x=1时，y<0， ∴a+b+c<0， 而c<0， ∴a+b+2c<0，所以③正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 而时，y>0，即a−b+c>0， ∴3a+c>0，所以④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 11．①②③④ 【分析】本题主要考查的是二次函数的定义．熟练掌握二次函数的概念是解题的关键．形如 （a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数． 根据二次函数的定义可得答案． 【详解】①，是二次函数； ②，是二次函数； ③，是二次函数； ④，是二次函数； ⑤∵中不是整 式，∴不是二次函数； ⑥，不是二次函数． ∴①②③④是二次函数． 故答案为：①②③④． 12．或 【分析】求出二次函数的对称轴是，由于对称轴是变化的，我们分：①时；②当上时；③当时，三种情况结合增减性讨论即可． 【详解】解：二次函数的对称轴是， ，二次函数开口向下， ①当对称轴，即，即， ∴当时，图象位于对称轴右侧，随的增大而减小， 即当时，二次函数有最大值为， 解得； ②当时，即， ∴当时，二次函数有最大值为， 解得或， 由于，故； ③当时，，即， 当时，图象位于对称轴左侧，随的增大而增大， 即当时，二次函数有最大值为， 解得； ∵，故此种情况无解； 综上①②③所述，得，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查根据二次函数最值求参数值，属于典型题型“动轴定范围最值问题”，根据自变量范围分三种情况讨论是解决问题的关键． 13．8 【分析】本题考查求二次函数的函数值，直接把代入，即可求解． 【详解】解：把代入得：， 故答案为：8． 14．(1) (2)存在，或或或 【分析】（1）代入和，解方程组即可； （2）求出点的坐标，再根据勾股定理得到，当为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①；②；③． 【详解】（1）解：把和代入， 解得：，， 二次函数的表达式为：； （2）令，则， 解得：或， ， ， 点在轴上，当为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图， ①当时，， 或 ，； ②当时，， ； ③当时， 此时与重合， ； 综上所述，点的坐标为：或或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键． 15．(1)，顶点坐标为 (2)当时，，当时，； (3)①；②14个 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论和数形结合是解题的关键． （1）由解析式求得A的坐标为，点B的坐标为，由题意求得点C的坐标为，即可得到，抛物线化成顶点式即可求得顶点坐标； （2）求得对称轴，然后分两种情况讨论即可求得； （3）①联立得方程组，即可求出P点坐标； ②求出直线的解析式为，则封闭图形G的边界上的整点为，，，，，，，，，，，，，共有14个． 【详解】（1）当时， ，， 即点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴， 即点C的坐标为． 将代入中， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）由（1）可知：抛物线L的解析式为， ∴当时，， ∴，， ∴抛物线L的对称轴为直线， 当时，，． ∵点为抛物线L：的对称轴右侧上的点（不含顶点）， ∴． 当时，． 当时，； （3）①联立方程组 整理得， 解得（舍），． 当时，， 即点P的坐标为； ②设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴封闭图形G的边界上的整点为，，，，，，，，，，，，，共有14个． 16．(1) a=-1，b=-1；（2）开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）． 【分析】（1）将点（1，b）代入直线y=2x-3中可求b，再代入y=ax2中可求a； （2）根据a的符号判断y=ax2开口方向，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）； 【详解】（1）把（1，b）代入直线y=2x-3中，得b=2-3=-1， ∴函数y =ax²(a≠0)与直线y =2x－3的图像交于点（1，-1）． 把点（1，-1）代入y=ax2中，得a=-1； （2）在y=-x2中，a=-1，抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）； 17．（1）点的坐标是；（2）；（3）． 【分析】（1）过点作轴于点．过点作轴于点．证明，利用三角形全等的性质可得，，从而可得答案； （2） 设过点，，的抛物线的函数表达式为，把代入解析式，利用待定系数法列方程组解方程组可得答案； （3）如图，延长交于 由关于对称，则 先求解抛物线的对称轴，关于对称，再求解 利用三角形的面积公式可得答案． 【详解】解（1）过点作轴于点．过点作轴于点． ， ∵， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴， 点的坐标是． （2） 设过点，，的抛物线的函数表达式为， ． ∴． 过点，，的抛物线的函数表达式为． （3）如图，延长交于 由关于对称，则 的对称轴． 关于对称， ． 【点睛】本题考查的是图形与坐标，三角形全等的判定与性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$