精品解析：天津市第一中学2024-2025学年高三上学期数学统练9

天津一中2024-2025-1高三年级数学统练9 一、选择题 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集和交集运算求解即可. 【详解】因为，，则， 且，所以. 故选：C. 2. 对于任意实数，，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】赋值法可知“”是“”的不充分条件，由，所以，从而可得，可得结论. 【详解】当时，满足成立，但不满足成立， 所以“”是“”的不充分条件， 因为，所以，又，所以， 所以“”是“”的必要条件, 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 下列四个函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】逐个函数分析，利用三角函数的奇偶性和单调性，得出结论． 【详解】对于A，由，， 所以为偶函数， 又，又，所以， 所以在上为增函数，故A正确； 对于B，，所以， 所以为奇函数，故B错误； 对于C，，， 所以为奇函数，故C错误； 对于D，，， 所以为偶函数，又，所以， 所以在上为减函数，，故D错误. 故选：A. 4. 已知函数，则曲线在点处切线的斜率为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的几何意义，求出曲线在处的导数值即可. 【详解】因为，所以， 所以， 所以曲线在点处切线的斜率为. 故选：B. 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数及正弦函数的性质判断即可. 【详解】，， 又，所以，所以， 所以. 故选：B. 6. 已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是( ). A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，，使得，只需，分别研究两个函数的单调性，求两个函数的最大值，然后解不等式即可. 【详解】由题意知，当时函数单调递增，所以， 当时，为单调递增函数，所以， 又因为，，使得， 即在最大值不小于在上的最大值， 即，解得，即. 故选：A. 7. 已知函数在有且仅有2个极小值点，且在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦型函数得图像特征，借助极小值点的个数以及单调区间来确定的取值范围即可. 【详解】对于函数，极小值点为. ，令，. 因为有且仅有个极小值点. 当时，；当时，；当时，. 所以，解不等式得. 因为的单调递增区间为. 对于，令，则. 因为在上单调递增，所以. 当时，，则且. 解不等式得. 综合以上两个条件，的取值范围是. 故选：D. 8. 在中，，是边中点，线段长为，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量性质得，平方后求得，再由余弦定理求得，由角平分线定理求得，然后由余弦定理求得后在中计算出． 【详解】是边中点，则， 所以， 即，解得， ， 是的平分线，则，， ， 在中，， 故选：B． 9. 某牧场今年年初牛的存栏数为1100头，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，，则大约为（ ）（参考数据：，，，） A. 1240 B. 1260 C. 1280 D. 1290 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得数列递推公式，再用构造法求出通项公式，代入计算即可. 【详解】依题意，当时，， 则， 于是数列是首项为，公比为1.1的等比数列， 则，即， 所以. 故选：B． 二、填空题 10. 已知为虚数单位，则______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法法则计算． 【详解】， 故答案为：． 11. 设，那么______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用换底公式和对数的运算性质求解即可. 【详解】因为 由换底公式可得， ∴，即， ∴. 故答案为：. 12. 已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知分别求出和，再根据平面向量数量积的运算律求解即可． 【详解】由得， 因为向量在向量方向上的投影向量的坐标为， 所以，即，所以， 所以. 故答案为：． 13. 已知，，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，利用基本不等式中1妙用，从而有，展开后利用基本不等式即可求解. 【详解】∵，∴． 由可得， ∴ ， 当且仅当且，即时取等号， 则的最小值为. 故答案为：. 14. 在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，则可用，表示为________；若，则的最大值为________. 【答案】 ①. ②. ； 【解析】 【分析】对于第一问，根据向量的加法、减法以及中点的性质，逐步将用和表示出来.对于第二问，先求出，再利用向量数量积公式（这里是与的夹角），结合已知条件求出的表达式，再求其最大值. 【详解】（1）(1)因为点D为AB的中点，所以. 又因为，根据向量加法，可得. 因为点E为CD的中点，所以，即. 再根据向量加法，可得. （2）因为，，所以. . ， 在中，，根据向量数量积公式， 可得.由， 根据余弦定理， 即. 根据基本不等式，可得，即. 将代入的表达式： 因为，，取得最大值，最大值为. 故答案为：；. 15. 已知函数.若，则函数的零点为________；若函数的最小值为，则实数的值为________. 【答案】 ①. 1 ②. 或2 【解析】 【分析】讨论与0，1的大小关系，判断在和两区间和上的单调性与最小值，根据的最小值列方程求出答案． 【详解】空1，当时，， 当时，由，得，解得， 当时，由，得，，无解， 所以函数的零点为； 空2，①若，即时，则， 所以在上单调递减，最小值为； 在上的最小值为． 因为函数最小值为，所以． ②当，即时，则， 所以在上先减后增，最小值为； 在上的最小值为． 因为函数最小值为，所以， 解得，不合题意，舍去． ， ③当，即时，则， 所以在上先减后增，最小值为； 在上的最小值为． 因为函数最小值为，所以， 解得或（舍去）． 综上可得或. 故答案为：1；或. 【点睛】关键点点睛：由分段函数求参数问题，解题的关键是讨论与0，1的大小关系，判断在在和两区间和上的单调性与最小值． 三、解答题 16. 在中，角，，所对的边分别是，，，已知. （1）求角的大小； （2）设， （i）求的值； （ii）求的值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，再运用正弦的和角公式求得，根据角的范围可求得答案； （2）（i）运用余弦定理求得；（ii）再运用正弦理求得，利用同角三角函数间的关系，正弦的二倍角公式，以及两角差的正弦公式可求得答案. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得：， 则， 因为在中，， 所以， 则有， 因为，所以，， 故； 【小问2详解】 （i）由（1）知：，在中，因为，， 由余弦定理可得：， 则. （ii）在中，由正弦定理可得：， 即，所以， 因为，所以，则为锐角，所以， 则， ， 所以 17. 设函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递增区间及对称轴； （3）在锐角中，内角，，的对边分别是，，，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2）单调递增区间是，对称轴为，. （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简得，可求最小正周期； （2），可求得单调递增区间，令，，可求得对称轴方程； （3）由已知可得，可得，可求值域. 【小问1详解】 所以函数的最小正周期为； 【小问2详解】 令， 得，， 所以函数的单调递增区间是. 令，， 得，， 所以函数的对称轴为，. 【小问3详解】 锐角中，， ，解得， 所以， 所以， 所以的取值范围是. 18. 已知等比数列的公比，，是，的等差中项.等差数列满足，. （1）求数列，的通项公式； （2），求数列的前项和； （3）将数列与数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前项和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合等比数列通项列出方程组求出，进而求出通项作答； （2）利用错位相减法求和； （3）利用（1）的结论，确定新数列前项中，数列所占项数，再借助等比数列、等差数列前n项和公式计算作答. 【小问1详解】 依题有， 因为，解得：，，. 数列是等差数列，设其公差为，， 解得：，. 【小问2详解】 数列的前项和记为，则， 因为， 所以， ， 两式相减有 ， 所以. 【小问3详解】 因为，，设新数列为，因为数列与数列都是递增数列， 且，， 又因为， 所以数列的前项由中的前项和中的前项构成， 所以 . 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，求函数最小值，并证明； （3）当时，若关于的不等式在区间上有解，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2）最小值为，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导可得，然后分与讨论，代入计算，即可得到结果； （2）由条件可得，即可得到，再由裂项相消法代入计算，即可证明； （3）将不等式转化为在上有解，令，转化为在上有解，然后求导计算，即可得到结果. 【小问1详解】 的定义域为，， ①当时，恒成立，在上单调递减. ②当时，当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增. 综上可得：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 当时，， 由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， 故， 所以当时，函数的最小值为， 因为，即， 当时，，即， 即， 令，则， 所以， 故当时，. 即 【小问3详解】 关于的不等式在区间上有解， 即在上有解， 即在上有解， 又，由（1）可知时，即， 令，则， 则在上有解， 令，则， 令，得， 所以，当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以存在使得， 所以，当或时，，当时，， 所以只需，即时满足题意. 所以的取值范围为 20. 给定数列，若对任意，且，是中的项，则称为“数列”；若对任意，且，是中的项，则称为“数列”. （1）设数列的前项和为，若，试判断数列是否为“数列”，并说明理由； （2）设数列既是等比数列又是“数列”，且，，求公比的所有可能值； （3）设等差数列的前项和为，对任意，是数列中的项，求证：数列是“数列”. 【答案】（1）是，理由见解析 （2）的所有可能值为，，. （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由，可求通项公式； （2）由，，数列是等比数列，可得，进而由也为数列中的项，可得，可求的所有可能值. （3）设数列的公差为，可得，分和两种情况可得是“数列”. 【小问1详解】 因为， 当时，， 当时，也成立， 所以， 所以对任意，且，， 是“数列” 小问2详解】 因为，，数列是等比数列 所以，且， 由已知得也为数列中的项， 令，得， 即， 即得， 所以， 因为且 故的所有可能值为，，. 【小问3详解】 设数列的公差为，所以存在，对任意，， 即， 当时，则，故，此时数列为“数列”； 当时，， 取，则，所以，， 当时，均为正整数，符合题意， 当时，均为正整数，符合题意， 所以，， 设，，，即， 所以任意，且，， 显然，所以为数列中的项， 所以是“数列”. 【点睛】关键点点睛：数列新定义，弄清题意新定义的含义，结合所学内容，分析问题与解决问题，以及要有较强的运算求解能力和转化与化归的思想. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津一中2024-2025-1高三年级数学统练9 一、选择题 1 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 对于任意实数，，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列四个函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则曲线在点处切线的斜率为（ ） A B. C. D. 5. 设，，，则（ ） A. B. C D. 6. 已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是( ). A. B. C. D. 7. 已知函数在有且仅有2个极小值点，且在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，是边中点，线段长为，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 9. 某牧场今年年初牛的存栏数为1100头，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，，则大约为（ ）（参考数据：，，，） A. 1240 B. 1260 C. 1280 D. 1290 二、填空题 10. 已知为虚数单位，则______________. 11. 设，那么______________. 12. 已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则________. 13. 已知，，则的最小值为________. 14. 在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，则可用，表示为________；若，则的最大值为________. 15. 已知函数.若，则函数的零点为________；若函数的最小值为，则实数的值为________. 三、解答题 16. 在中，角，，所对的边分别是，，，已知. （1）求角的大小； （2）设， （i）求的值； （ii）求的值. 17. 设函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递增区间及对称轴； （3）在锐角中，内角，，的对边分别是，，，且，求的取值范围. 18. 已知等比数列的公比，，是，的等差中项.等差数列满足，. （1）求数列，的通项公式； （2），求数列的前项和； （3）将数列与数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前项和. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，求函数的最小值，并证明； （3）当时，若关于的不等式在区间上有解，求的取值范围. 20. 给定数列，若对任意，且，是中的项，则称为“数列”；若对任意，且，是中的项，则称为“数列”. （1）设数列的前项和为，若，试判断数列是否为“数列”，并说明理由； （2）设数列既是等比数列又是“数列”，且，，求公比的所有可能值； （3）设等差数列前项和为，对任意，是数列中的项，求证：数列是“数列”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$