1.3 带电粒子在匀强磁场中的运动 讲义-2024-2025学年高二下学期物理人教版（2019）选择性必修第二册

1.3 带电粒子在匀强磁场中的运动【六大必考点+四大秒杀招+八大题型+分层训练】 课前预习+知识精讲 知识点01带点粒子在匀强磁场中的运动--三种运动规律 带电粒子在只受洛伦兹力作用的条件下（电子等微观粒子的重力通常忽略不计），有三种运动情况： ①若带电粒子的速度方向与磁场方向平行（v∥B），在匀强磁场中做匀速直线运动；②若带电粒子的速度方向与磁场方向垂直（v⊥B），在垂直于磁感线的平面内以入射 速度v做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力； ③运动方向与磁场方向既不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中做等半径、等螺距的螺 旋线运动。 知识点02带点粒子在匀强磁场中的运动--圆周运动的计算公式 ①向心力公式：qvB＝m； ②轨道半径公式：r＝； ③周期公式：T＝＝；f＝＝；ω＝＝2πf＝。T与运动速度和轨迹半径无关，只和粒子的比荷和磁场的磁感应强度有关； ④运动时间：当带电粒子转过的圆心角为θ(弧度)时，所用时间； ⑤动能：。 知识点03带点粒子在匀强磁场中的运动--圆周运动的圆心的确定方法 ①由两点和两线确定圆心，画出带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹。确定带电粒子运动轨迹上的两个特殊点（一般是射入和射出磁场时的两点），过这两点作带电粒子运动方向的垂线（这两垂线即为粒子在这两点所受洛伦兹力的方向），则两垂线的交点就是圆心，如图（a）所示。 ②若只已知过其中一个点的粒子运动方向，则除过已知运动方向的该点作垂线外，还要将这两点相连作弦，再作弦的中垂线，两垂线交点就是圆心，如图（b）所示。 ③若已知一个点及运动方向和另外某时刻的速度方向，但不确定该速度方向所在的点，如图（c）所示，此时要将其中一个速度的延长线与另一速度的反向延长线相交成一角（∠PAM），画出该角的角平分线，它与已知点的速度的垂线交于一点O，该点就是圆心。 ④轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心。某点的速度垂线与切点法线的交点。如图。 如上图（d）所示，有四个角度关系：①速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)；②圆心角α等于AB弦与速度方向的夹角(弦切角θ)的2倍(φ＝α＝2θ＝ωt)；③相对的弦切角(θ)相等，与相邻的弦切角(θ′)互补，即θ＋θ′＝180°；④进出同一直线边界时速度方向与该直线边界的夹角相等。 知识点04带点粒子在匀强磁场中的运动--圆周运动的半径的确定方法 ①物理方程法：半径R＝。 ②几何法：一般由数学知识（勾股定理、三角函数等）计算来确定。如下图所示，R＝或由R2＝L2＋（R－d）2求得R＝。 知识点05带点粒子在匀强磁场中的运动--圆周运动的圆心角与时间的确定方法 圆心角的确定：①φ（速度的偏向角）＝θ（圆弧所对应的圆心角）＝2α（弦切角），即φ＝θ＝2α＝ωt，如图所示；②偏转角φ与弦切角α的关系：φ<180°时，φ＝2α；φ>180°时，φ＝360°－2α。 运动时间的计算：①由圆心角求，t＝·T；②由弧长求，t＝。 知识点06带点粒子在匀强磁场中的运动--带电粒子在磁场做圆周运动的分析方法 画轨迹确定圆心。 确定运动过程的关系：①轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，即；②利用数学知识（勾股定理、三角函数等）计算来确定半径；③寻找偏转角度与圆心角、运动时间的关系；④寻找带电粒子在磁场中运动时间与周期（T＝）的关系。 运动牛顿运动定律和圆周运动的规律等，进行分析及计算。 解题大招 大招01当带电体的速度一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长；当带电体的速度变化时，圆心角大的运动时间长。 大招02组合场解决带电粒子在组合场中的运动解题思路 大招03“电偏转”与“磁偏转”的比较 电偏转 磁偏转 偏转条件 只受恒定的静电力F＝qE v⊥E进入匀强电场 只受大小恒定的洛伦兹力F＝qvB v⊥B进入匀强磁场 运动轨迹 抛物线 圆弧 求解方法 利用类平抛运动的规律x＝v0t，y＝at2，a＝，tan θ＝ 利用牛顿第二定律、向心力公式有r＝，T＝，t＝ 大招04叠加场处理带电粒子在叠加场中的运动的解题思路 题型分类 题型01带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题 【例1】质子p(H)和α粒子(He)以相同的速率在同一匀强磁场中做匀速圆周运动，轨道半径分别为Rp和Rα，周期分别为Tp和Tα，则下列选项中正确的是(　　) A．Rp∶Rα＝1∶2，Tp∶Tα＝1∶2 B．Rp∶Rα＝1∶1，Tp∶Tα＝1∶1 C．Rp∶Rα＝1∶1，Tp∶Tα＝1∶2 D．Rp∶Rα＝1∶2，Tp∶Tα＝1∶1 【答案】　A 【详解】　质子p(H)和α粒子(He)的带电荷量之比为qp∶qα＝1∶2，质量之比mp∶mα＝1∶4.由带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的规律可知，轨道半径R＝，周期T＝，因为两粒子速率相同，代入q、m，可得Rp∶Rα＝1∶2，Tp∶Tα＝1∶2，故选项A正确，B、C、D错误． 【变式1-1】薄铝板将同一匀强磁场分成 Ⅰ、Ⅱ 两个区域，高速带电粒子可穿过铝板一次，在两个区域内运动的轨迹如图所示，半径R1>R2.假定穿过铝板前后粒子带电荷量保持不变，则该粒子(　　) A．带正电 B．在Ⅰ、Ⅱ区域的运动速度大小相同 C．在Ⅰ、Ⅱ区域的运动时间相同 D．从Ⅱ区域穿过铝板运动到Ⅰ区域 【答案】　C 【详解】　粒子穿过铝板受到铝板的阻力，速度将减小．由r＝可得粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径将减小，故可得粒子由Ⅰ区域运动到Ⅱ区域，结合左手定则可知粒子带负电，选项A、B、D错误；由T＝可知粒子运动的周期不变，粒子在Ⅰ区域和Ⅱ区域中运动的时间均为t＝T＝，选项C正确． 【变式1-2】（多选）两个粒子A和B带有等量的同种电荷，粒子A和B以垂直于磁场的方向射入同一匀强磁场，不计重力，则下列说法正确的是(　　) A．如果两粒子的速度vA＝vB，则两粒子的半径RA＝RB B．如果两粒子的动能EkA＝EkB，则两粒子的周期TA＝TB C．如果两粒子的质量mA＝mB，则两粒子的周期TA＝TB D．如果两粒子的动量大小相同，则两粒子的半径RA＝RB 【答案】　CD 【详解】　因为粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径r＝，周期T＝，又粒子电荷量相等且在同一匀强磁场中，所以q、B相等，r与m、v有关，T只与m有关，所以A、B错误，C、D正确． 题型02带电粒子在匀强磁场中的圆周运动 【例2】如图所示，a和b所带电荷量相同，以相同动能从A点射入磁场，在匀强磁场中做圆周运动的半径ra＝2rb，则可知(重力不计)(　　) A．两粒子都带正电，质量比＝4 B．两粒子都带负电，质量比＝4 C．两粒子都带正电，质量比＝ D．两粒子都带负电，质量比＝ 【答案】　B 【详解】　由于qa＝qb，Eka＝Ekb，由动能Ek＝mv2和粒子偏转半径r＝，可得m＝，可见m与半径r的二次方成正比，故ma∶mb＝4∶1，再根据左手定则知粒子应带负电，故选B. 【变式2-1】如图所示，一带电荷量为2.0×10－9 C、质量为1.8×10－16 kg的粒子，从直线上一点O沿与PO方向成30°角的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，经过1.5×10－6 s后到达直线上的P点，求： (1)粒子做圆周运动的周期； (2)磁感应强度B的大小； (3)若O、P之间的距离为0.1 m，则粒子的运动速度的大小． 【答案】　(1)1.8×10－6 s　(2)0.314 T　(3)3.49×105 m/s 【详解】　(1)作出粒子的运动轨迹，如图所示，由图可知粒子由O到P的大圆弧所对的圆心角为300°， 则＝＝，周期T＝t＝×1.5×10－6 s＝1.8×10－6 s (2)由qvB＝，T＝，得T＝，知B＝＝ T＝0.314 T. (3)由几何知识可知，半径r＝＝0.1 m 则qvB＝得，粒子的运动速度大小为 v＝＝ m/s≈3.49×105 m/s. 【变式2-2】（多选）如图所示，在Oxy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场．一带电粒子从y轴上的M点射入磁场，速度方向与y轴正方向的夹角θ＝45°.粒子经过磁场偏转后在N点(图中未画出)垂直穿过x轴．已知OM＝a，粒子电荷量为q，质量为m，重力不计．则(　　) A．粒子带负电荷 B．粒子速度大小为 C．粒子在磁场中运动的轨道半径为a D．N与O点相距(＋1)a 【答案】　AD 【详解】　由题意可知，粒子在磁场中做顺时针圆周运动，根据左手定则可知粒子带负电荷，故A正确；粒子的运动轨迹如图所示，O′为粒子做匀速圆周运动的圆心，其轨道半径R＝a，故C错误；由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，则v＝，故B错误；由图可知，ON＝a＋a＝(＋1)a，故D正确． 题型03带电粒子在有界匀强磁场中的临界问题 【例3】如图所示，真空中狭长区域内的匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，区域宽度为d，边界为CD和EF，速度为v的电子从边界CD外侧沿垂直于磁场方向射入磁场，入射方向与CD的夹角为θ，已知电子的质量为m、带电荷量为e，为使电子能从另一边界EF射出，电子的速率应满足的条件是(　　) A．v> B．v< C．v> D．v< 【答案】　A 【详解】　由题意可知，电子从边界EF射出的临界条件为到达边界EF时，速度方向与EF平行，即运动轨迹与EF相切，如图所示．由几何知识得： R＋Rcos θ＝d，R＝， 解得v0＝，当v＞v0时，即能从边界EF射出，故A正确． 【变式3-1】　真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示．一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场．已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力．为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为(　　) A. B. C. D. 【答案】　C 【详解】　磁感应强度取最小值时对应的电子的运动轨迹临界状态如图所示，设电子在磁场中做圆周运动的半径为r，由几何关系得a2＋r2＝(3a－r)2，根据洛伦兹力提供向心力有evB＝m，联立解得B＝，故选C. 【变式3-2】如图所示，△ABC为与匀强磁场垂直的边长为a的等边三角形，比荷为的电子以速度v0从A点沿AB边入射，欲使电子经过BC边，磁感应强度B的取值范围为(　　) A．B> B．B< C．B> D．B< 【答案】　D 【详解】　由题意可知，电子正好经过C点时的运动轨迹如图所示，此时圆周运动的半径R＝＝a，要想电子从BC边经过，电子做圆周运动的半径要大于a，由带电粒子在磁场中做圆周运动的半径r＝有a<，即B<，D项正确． 题型04带电粒子在有界匀强磁场中的多解问题 【例4】（多选）如图所示，长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电．现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从两极板间边界中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是(　　) A．使粒子的速度v< B．使粒子的速度v> C．使粒子的速度v> D．使粒子的速度<v< 【答案】　AB 【详解】　如图所示，带电粒子刚好打在极板右边缘时，有r12＝(r1－)2＋l2，又r1＝，所以v1＝，粒子刚好打在极板左边缘时，有r2＝＝，v2＝，综合上述分析可知，选项A、B正确． 【变式4-1】　(多)如图所示，A点的离子源在纸面内沿垂直OQ的方向向上射出一束负离子，重力忽略不计．为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场．已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B应满足(　　) A．垂直纸面向里，B> B．垂直纸面向里，B> C．垂直纸面向外，B> D．垂直纸面向外，B> 【答案】　BC 【详解】　当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时，由左手定则可知负离子向右偏转；负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图(大圆弧)，由几何知识知R2＝OBsin 30°＝OB，而OB＝s＋R2，故R2＝s，所以当离子运动轨迹的半径小于s时满足约束条件；由牛顿第二定律可得qvB＝，所以得B>，选项A错误，B正确；当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则可知负离子向左偏转； 负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图(小圆弧)，由几何知识知R1＝，所以当离子运动轨迹的半径小于时满足约束条件；由牛顿第二定律得qvB＝，所以得B>，选项C正确，D错误． 【变式4-2】（多选）如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B.一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率、质量为m(重力不计)、电荷量为q(q＞0)的同种粒子，所有粒子均能通过MN上的b点，已知ab＝L，则粒子的速度可能是(　　) A. B. C. D. 【答案】　AB 【详解】　由题意可知，粒子可能的运动轨迹如图所示，所有圆弧所对的圆心角均为120°，所以粒子运动的半径为r＝·(n＝1,2,3，…)；粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，得qvB＝m，则v＝＝·(n＝1,2,3，…)，选项A、B正确． 题型05带电粒子在组合场中的运动 【例5】（多选）一带负电粒子的质量为m、电荷量为q，空间中一平行板电容器两极板S1、S2间的电压为U.将此粒子在靠近极板S1的A处无初速度释放，经电场加速后，经O点进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的有界匀强磁场(右边界平行于S2)，图中虚线Ox垂直于极板S2，当粒子从P点离开磁场时，其速度方向与Ox方向的夹角θ＝60°，如图所示，整个装置处于真空中，不计粒子所受重力，则(　　) A．极板S1带正电 B．粒子到达O点的速度大小为 C．此粒子在磁场中运动的时间t＝ D．若改变右侧磁场(左边界位置不变)宽度，使粒子经过O点后恰好不能从右侧离开该有界磁场，则该有界磁场区域的宽度d＝ 【答案】　BC 【详解】　带负电粒子向右加速运动，所受静电力向右，场强向左，说明极板S1带负电，故A错误；设粒子到达O点的速度大小为v，由动能定理可得Uq＝mv2，解得v＝，故B正确；由几何关系可知粒子运动的圆心角为θ＝60°＝， 此粒子在磁场中运动的时间t＝T＝×＝，故C正确； 若改变右侧磁场(左边界位置不变)宽度，使粒子经过O点后恰好不能从右侧离开该有界磁场，画出临界轨迹如图所示，洛伦兹力提供向心力，有Bqv＝m 把B选项中求得的速度大小代入可得R＝， 则该有界磁场区域的宽度d＝R＝，故D错误． 【变式5-1】如图所示，在平面直角坐标系xOy内，第Ⅱ、Ⅲ象限内存在沿y轴正方向的匀强电场，第Ⅰ、Ⅳ象限内存在半径为L的圆形匀强磁场，磁场圆心在M(L，0)点，磁场方向垂直于坐标平面向外．一带正电粒子从第Ⅲ象限中的Q(－2L，－L)点以速度v0沿x轴正方向射入电场，恰好从坐标原点O进入磁场，从P(2L，0)点射出磁场，不计粒子重力，求： (1)电场强度与磁感应强度大小的比值； (2)粒子在磁场与电场中运动时间的比值． 【答案】　(1)　(2) 【详解】　(1)粒子的运动轨迹如图所示，设粒子的质量和所带电荷量分别为m和q，粒子在匀强电场中运动，由类平抛运动规律及牛顿运动定律得，2L＝v0t1，L＝at12，qE＝ma 联立解得E＝ 粒子到达O点时沿＋y方向的分速度为vy＝at1＝v0，tan α＝＝1，故α＝45°.粒子在磁场中的速度为v＝v0. 粒子所受洛伦兹力提供向心力， 则Bqv＝，由几何关系得r＝L 联立解得B＝， 则＝； (2)粒子在磁场中运动的周期为T＝，粒子在磁场中运动的时间为t2＝T＝， 粒子在电场中运动的时间为t1＝， 解得＝. 【变式5-2】如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一象限内有竖直向上的匀强电场，圆心O1在x轴上，半径为R且过坐标原点O，圆内有垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)．一质量为m，带电荷量为q的正粒子从圆上P点正对圆心O1以速度v0射入磁场，从坐标原点O离开磁场，接着又恰好经过第一象限的Q(a，b)点，已知PO1与x轴负方向成θ角，不计粒子重力，求： (1)匀强电场的电场强度E及匀强磁场的磁感应强度B的大小； (2)粒子从P运动到Q的时间． 【答案】　(1)　tan 　(2)＋ 【详解】　(1)设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r， 由几何关系得rtan ＝R 又qv0B＝m 故B＝tan  粒子从O到Q做类平抛运动，设运动时间为t2， a＝v0t2 则t2＝，b＝··t22 故E＝ (2)粒子在磁场中运动的时间t1＝·＝＝ 则粒子从P运动到Q的时间为t＝t1＋t2＝＋. 题型06带电粒子在叠加场中的直线运动 【例6】如图，空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上(与纸面平行)，磁场方向垂直于纸面向里．三个带正电的微粒a、b、c电荷量相等，质量分别为ma、mb、mc.已知在该区域内，a在纸面内做匀速圆周运动，b在纸面内向右做匀速直线运动，c在纸面内向左做匀速直线运动．下列选项正确的是(　　) A．ma＞mb＞mc B．mb＞ma＞mc C．mc＞ma＞mb D．mc＞mb＞ma 【答案】　B 【详解】　设三个带正电微粒的电荷量均为q， a在纸面内做匀速圆周运动，说明洛伦兹力提供向心力，重力与静电力平衡，则 mag＝qE① b在纸面内向右做匀速直线运动，三力平衡，则 mbg＝qE＋qvB② c在纸面内向左做匀速直线运动，三力平衡，则 mcg＋qvB＝qE③ 比较①②③式得：mb>ma>mc，选项B正确． 【变式6-1】（多选）地面附近空间中存在着水平方向的匀强电场(未画出)和垂直纸面向里的匀强磁场，一个带电油滴沿着与竖直方向成α角的直线MN运动，如图所示，由此可以判断(　　) A．油滴一定做匀速运动 B．油滴可以做变速运动 C．如果油滴带正电，它是从N点运动到M点 D．如果油滴带正电，它是从M点运动到N点 【答案】　AD 【详解】　油滴做直线运动，受重力、静电力和洛伦兹力作用，因为重力和静电力均为恒力，根据油滴做直线运动条件可知，油滴所受洛伦兹力亦为恒力．根据F＝qvB可知，油滴必定做匀速直线运动，A正确，B错误；根据做匀速直线运动的条件可知油滴的受力情况如图所示，如果油滴带正电，由左手定则可知，油滴从M点运动到N点，C错误，D正确． 【变式6-2】如图所示，竖直平面内存在水平方向的匀强电场，电场强度为E，同时存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，纸面内放置一光滑的绝缘细杆，与水平方向成θ＝45°角．质量为m、带电荷量为q的金属小环套在细杆上，以初速度v0沿着细杆向下运动，小环离开细杆后，恰好做直线运动，重力加速度为g，则以下说法正确的是(　　) A．小环可能带负电 B．电场方向可能水平向右 C．小环的初速度v0＝ D．小环离开细杆时的速度v＝ 【答案】　C 【详解】　小环离开细杆后，恰好做直线运动，该运动一定是匀速直线运动，如果是变速运动，洛伦兹力大小会变化，而洛伦兹力又垂直速度方向，就一定要改变速度的方向，小环做曲线运动；如果小环带负电荷，静电力方向不管是向左还是向右，小环均不可能平衡，所以小环只能带正电，根据平衡条件，静电力向左，故电场方向水平向左，故选项A、B错误；小环离开杆后做匀速直线运动，根据平衡条件，在平行杆的方向则有mgsin 45°＝qEcos 45°，垂直杆的方向则有mgcos 45°＋qEsin 45°＝qvB，联立解得v＝，qE＝mg，故v＝；小环在杆上运动过程，重力和静电力的合力垂直杆不做功，而支持力和洛伦兹力也不做功，故小环在杆上的运动是匀速运动，小环的初速度为v0＝v＝，故选项C正确，D错误． 题型07 带电粒子在叠加场中的匀速圆周运动 【例7】如图所示，已知一带电小球在光滑绝缘的水平面上从静止开始经电压U加速后，水平进入由互相垂直的匀强电场E和匀强磁场B构成的叠加场中(E和B已知)，小球在此空间的竖直面内做匀速圆周运动，重力加速度大小为g，则(　　) A．小球可能带正电 B．小球做匀速圆周运动的半径为r＝ C．小球做匀速圆周运动的周期为T＝ D．若电压U增大，则小球做匀速圆周运动的周期增加 【答案】　B 【详解】　小球在叠加场中做匀速圆周运动，则小球受到的静电力和重力满足mg＝Eq，则小球带负电，A项错误；因为小球做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，由牛顿第二定律和动能定理可得：qvB＝，Uq＝mv2，故小球做匀速圆周运动的半径r＝，B项正确；由T＝，得T＝，与电压U无关，C、D项错误． 【变式7-1】如图所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，在水平的x轴下方存在匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直xOy平面向里，电场线平行于y轴．一质量为m、电荷量为q的带正电的小球，从y轴上的A点水平向右抛出，经x轴上的M点进入电场和磁场区域，恰能做匀速圆周运动，从x轴上的N点第一次离开电场和磁场，MN之间的距离为L，小球过M点时的速度方向与x轴正方向的夹角为θ.不计空气阻力，重力加速度为g，求： (1)电场强度E的大小和方向； (2)小球从A点抛出时初速度v0的大小； (3)A点到x轴的高度h. 【答案】　(1)　竖直向上　(2) 　(3) 【详解】　(1)小球在电场、磁场区域中恰能做匀速圆周运动，其所受静电力与重力平衡，有qE＝mg① 则E＝② 重力的方向竖直向下，静电力的方向应为竖直向上，由于小球带正电，所以电场强度方向竖直向上． (2)小球在叠加场中做匀速圆周运动，如图所示，O′为圆心，MN为弦长，∠MO′P＝θ，设轨道半径为r，由几何关系知＝sin θ③ 小球做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，设小球做圆周运动的速度为v，有qvB＝ ④ 由速度的合成与分解知＝cos θ⑤ 由③④⑤式得v0＝.⑥ (3)设小球在M点时的竖直分速度为vy，它与水平分速度的关系为vy＝v0tan θ⑦ 由匀变速直线运动规律有vy2＝2gh⑧ 由⑥⑦⑧式得h＝. 【变式7-2】如图所示，空间中存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，有一带电液滴在竖直面内做半径为R的匀速圆周运动，已知电场强度为E，磁感应强度为B，重力加速度为g，则液滴环绕速度大小及方向分别为(　　) A.，顺时针 B.，逆时针 C.，顺时针 D.，逆时针 【答案】　C 【详解】　液滴在叠加场中做匀速圆周运动，知重力和静电力平衡，则液滴受到向上的静电力，可知液滴带负电，根据左手定则可知液滴做顺时针的匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m 又因为重力和静电力平衡，则有qE＝mg 解得v＝ 故A、B、D错误，C正确． 题型08电粒子在叠加场中的一般曲线运动 【例8】（多选）空间存在竖直向下的匀强电场和水平方向(垂直纸面向里)的匀强磁场，如图所示，已知一离子在静电力和洛伦兹力共同作用下，从静止开始自A点沿曲线ACB运动，到达B点时速度为零，C为运动的最低点．不计重力，则(　　) A．该离子带负电 B．A、B两点位于同一高度 C．到达C点时离子速度最大 D．离子到达B点后，将沿原曲线返回A点 【答案】　BC 【详解】　离子开始仅受到静电力作用由静止开始向下运动，可知离子受到的静电力方向向下，与电场方向同向则该离子带正电，A错误；洛伦兹力不做功，从A到B，动能变化为零，根据动能定理知，静电力做功为零，A、B两点等电势，因为该电场是匀强电场，所以A、B两点位于同一高度，B正确；根据动能定理知，离子到达C点时静电力做功最多，则速度最大，C正确；离子在B点的状态与A点的状态(速度为零，电势能相等)相同，如果右侧仍有同样的电场和磁场的叠加区域，离子将在B点的右侧重复前面的曲线运动，不可能沿原曲线返回A点，D错误． 【变式8-1】如图所示的虚线区域内，充满垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向上的匀强电场，一带电微粒A以一定初速度由左边界的O点射入虚线区域，恰好沿水平直线从区域右边界O′点穿出，射出时速度大小为vA，若仅撤去磁场，其他条件不变，另一个相同的微粒B仍以相同的速度由O点射入并从区域右边界穿出，射出时速度的大小为vB，则微粒B(　　) A．穿出位置一定在O′点上方，vB<vA B．穿出位置一定在O′点上方，vB>vA C．穿出位置一定在O′点下方，vB<vA D．穿出位置一定在O′点下方，vB>vA 【答案】　D 【详解】　设带电微粒从O点射入时的速度为v0，若带电微粒A带负电，其静电力、重力、洛伦兹力均向下，与运动方向垂直，不可能做直线运动，故微粒A一定带正电，且满足mg＝Eq＋Bqv0，做匀速直线运动，故vA＝v0.若仅撤去磁场，由于mg>Eq，带电微粒B向下偏转，穿出位置一定在O′点下方，合力对其做正功，vB>vA，故D正确． 【变式8-2】如图所示，空间存在竖直向上的匀强电场和水平的匀强磁场(垂直纸面向里)．一带正电的小球从O点由静止释放后，运动轨迹如图中曲线OPQ所示，其中P为运动轨迹中的最高点，Q为与O同一水平高度的点．下列关于该带电小球运动的描述，正确的是(　　) A．小球在运动过程中受到的洛伦兹力先增大后减小 B．小球在运动过程中电势能先增加后减少 C．小球在运动过程中机械能守恒 D．小球到Q点后将沿着曲线QPO回到O点 【答案】　A 【详解】　小球由静止开始向上运动，可知静电力大于重力，在运动的过程中，洛伦兹力不做功，静电力和重力的合力先做正功后做负功，根据动能定理知，小球的速度先增大后减小，则小球受到的洛伦兹力先增大后减小，故A正确；小球在运动的过程中，静电力先做正功后做负功，则电势能先减少后增加，故B错误；小球在运动的过程中，除重力做功以外，静电力也做功，机械能不守恒，故C错误；小球到Q点后，将重复之前的运动，不会沿着曲线QPO回到O点，故D错误． 分层训练 【基础过关】 1．质量为m的带电粒子a，仅在洛伦兹力作用下做半径为r的匀速圆周运动。在a经过的轨迹上放置不带电的粒子b，则a与b发生完全非弹性碰撞融为一个整体（不计质量和电荷量损失），则该整体在磁场中做圆周运动的半径（    ） A．大于r B．小于r C．等于r D．无法判断 【答案】C 【详解】碰撞前，粒子a做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力可得 解得轨迹半径为 碰撞过程根据动量守恒可得 由洛伦兹力提供向心力可得 解得轨迹半径为 故选C。 2．一带电粒子（不计重力）在匀强磁场中沿顺时针方向做半径为R的匀速圆周运动，当它运动到某个位置时，磁场突然发生变化（不考虑磁场变化产生的电场），磁感应强度大小变为原来的，方向与原磁场方向相反，则磁场发生变化后粒子（    ） A．沿逆时针方向做半径为的圆周运动 B．沿顺时针方向做半径为的圆周运动 C．沿逆时针方向做半径为2R的圆周运动 D．沿顺时针方向做半径为2R的圆周运动 【答案】C 【详解】粒子在匀强磁场中因受到洛伦兹力而沿顺时针方向做匀速圆周运动，根据左手定则可知，当磁场反向时，粒子做逆时针的圆周运动；由牛顿第二定律可得 可得轨迹半径为 则当磁感应强度大小变为原来的时，半径变为2R。 故选C。 3．质量分别为m1和m2、电荷量分别为q1和q2的两粒子在同一匀强磁场中做匀速圆周运动，已知两粒子的动量大小相等。下列说法正确的是（　　） A．若q1=q2，则它们做圆周运动的半径一定相等 B．若m1=m2，则它们做圆周运动的半径一定相等 C．若q1≠q2，则它们做圆周运动的周期一定不相等 D．若m1≠m2，则它们做圆周运动的周期一定不相等 【答案】A 【详解】AB．由洛伦兹力提供向心力可得 可得 由于两粒子的动量大小相等，若，则它们做圆周运动的半径一定相等；若，则它们做圆周运动的半径不一定相等，故A正确，B错误； CD．根据 ， 可得粒子在磁场中运动的周期为 若或，但，则它们做圆周运动的周期一定相等，故CD错误。 故选A。 4．一个带电粒子，沿垂直于磁场的方向射入一匀强磁场，粒子的一段径迹如图所示，径迹上的每小段都可近似看成圆弧，由于带电粒子使沿途空气电离，粒子的能量逐渐减小（带电荷量不变），从图中情况可以确定（　　） A．粒子从a运动到b，带正电 B．粒子从b运动到a，带正电 C．粒子从a运动到b，带负电 D．粒子从b运动到a，带负电 【答案】B 【详解】根据牛顿第二定律有 解得 由题意可知粒子速率逐渐减小，所以轨迹半径逐渐减小，即粒子从b运动到a，根据左手定则可判断粒子带正电。 故选B。 5．质量和电荷量都相等的带电粒子M和N，以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹如图中虚线所示。下列表述错误的是（　　） A．M带负电，N带正电 B．M的速率大于N的速率 C．洛伦兹力对M、N不做功 D．M的运行时间大于N的运行时间 【答案】D 【详解】A．由左手定则可判断出M带负电，N带正电，故A正确； B．根据牛顿第二定律有 解得 因为，所以，故B正确； C．洛伦兹力与速度始终垂直，对M、N不做功，故C正确； D．根据匀速圆周运动规律有 由于M、N的质量和电荷量都相等，所以T相等，由图可知二者都运动了半个周期，所以运动时间相等，故D错误。 本题选错误的，故选D。 6．质量1.67×10-27 kg、电荷量1.6×10-19 C的带电粒子，以5×105 m/s的初速度沿与磁场垂直的方向射入磁感应强度为0.2 T的匀强磁场。则（　　） A．电子将做匀速直线运动 B．电子所受的磁场作用大小为8×10-14N C．电子做匀速圆周运动，周期为1.64×10-7 s D．电子做匀速圆周运动，轨道半径为2.61×10-2 m 【答案】D 【详解】A．电子在磁场中受洛伦兹力提供向心力，将做匀速圆周运动，故A错误； B．电子所受的磁场作用大小为 1.6×10-14N 故B错误； CD．电子做匀速圆周运动，受洛伦兹力提供向心力有 解得 2.61×10-2 m 周期为 =3.28×10-7 s 故C错误，D正确； 故选D。 7．带正电的粒子在外力作用下沿虚线做匀速圆周运动，圆心为O，a、b、c、d是圆上的4个等分点。通有电流大小为I的长直导线垂直圆平面放置，电流方向如图所示，导线位于a、O连线的中点。不考虑粒子运动产生的电场，则（　　） A．a、O两点的磁感应强度相同 B．运动过程中，粒子所受合力不变 C．粒子从a运动到c，洛伦兹力一直变大 D．粒子从a出发运动一周，洛伦兹力不做功 【答案】D 【详解】A．右手螺旋定则可知a、O两点的磁感应强度大小相等，方向相反，故A错误； B．由粒子做匀速圆周运动，合力为向心力，向心力的大小不变，方向时刻改变，故B错误； C．粒子做匀速圆周运动，粒子的速度大小不变，在a点，速度方向和磁感应强度方向在同一条直线上，洛伦兹力为零，在c点速度方向和磁感应强度方向在同一条直线上，洛伦兹力为零，在a、c之间的圆弧轨迹上，速度方向和磁感应强度方向不在同一条直线上，洛伦兹力不为零，故粒子从a运动到c，洛伦兹力不可能一直变大，故C错误； D．洛伦兹力总是与速度方向垂直，故洛伦兹力不做功，故D正确。 故选D。 8．1932年，美国物理学家安德森在宇宙射线实验中发现了正电子。如照片所示，在垂直于照片平面的匀强磁场（照片中未标出）中，这是一个正电子穿过铅板时的轨迹。关于照片中的信息，下列说法正确的是（　　） A．粒子的运动轨迹是抛物线 B．粒子在铅板上方运动的速度大于在铅板下方运动的速度 C．粒子从上向下穿过铅板 D．匀强磁场的方向垂直照片平面向里 【答案】D 【详解】A．粒子在磁场中的运动轨迹是圆弧，选项A错误； BC．由图可知粒子在铅板上方运动的轨道半径小于在铅板下方运动的轨道半径，根据 即 可知，粒子在铅板上方运动的速度小于在铅板下方运动的速度，粒子从下向上穿过铅板，选项BC错误； D．根据左手定则可知，匀强磁场的方向垂直照片平面向里，选项D正确。 故选D。 9．如图所示，带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场，关于小球运动和受力说法正确的是（　　） A．小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右 B．小球运动过程的加速度保持不变 C．小球运动过程中的速度不变 D．小球受到的洛伦兹力对小球做负功 【答案】A 【详解】A．根据左手定则，可知小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右，A正确； BC．小球受洛伦兹力和重力的作用，则小球运动过程中速度、加速度的大小和方向都在变，BC错误； D．洛伦兹力永不做功，D错误。 故选A。 10．如图所示，虚线两侧的匀强磁场Ⅰ和Ⅱ均垂直于纸面向里，磁场Ⅱ的磁感应强度是磁场Ⅰ的磁感应强度的2倍。质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从虚线上P点沿与虚线成角的方向、以速度垂直磁场方向射入磁场Ⅰ，从虚线上的Q点第一次进入磁场Ⅱ；一段时间后粒子再次经过Q点，P点和Q点的距离为L，不计粒子的重力，则磁场Ⅰ的磁感应强度大小和粒子两次经过Q点的时间间隔分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】粒子的运动轨迹如图所示，由几何关系可得，粒子在磁场Ⅰ中运动的半径为 由洛伦兹力提供向心力得 解得 磁场Ⅱ的磁感应强度是磁场Ⅰ的磁感应强度的2倍，所以粒子在磁场Ⅱ中运动的半径为 粒子在磁场Ⅰ中运动的周期为 粒子在磁场Ⅱ中运动的周期为 两次经过Q点的时间间隔为 故B正确。 11．（多选）如图所示，上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两比荷之比为的带正电粒子、均由边上的点以与边成角斜向右上方射入磁场，经过一段时间两粒子分别从边上的、两点射出。已知两粒子射入磁场的速度大小相等，，忽略粒子的重力以及粒子间的相互作用。则下列说法正确的是（　　） A．粒子从点射出 B．粒子、在磁场中运动的半径之比为 C．粒子、在磁场中运动的速度偏转角之比为 D．粒子、在磁场中运动的时间之比为 【答案】BC 【详解】AB．作出粒子、在磁场中运动的轨迹图，如图所示： 根据 解得粒子在磁场中运动的半径 结合已知条件，可知粒子、的轨迹半径之比为，则粒子从点射出，故A错误，B正确； C．由几何知识可知，粒子、在磁场中运动的速度偏转角均为 故C正确； D．根据 可知 可知粒子、在磁场中运动的周期之比为，由 可知，粒子、在磁场中运动的时间之比为，故D错误。 故选BC。 12．（多选）如图所示，圆形区域内存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，质量为、电荷量为的带电粒子从点沿平行于直径的方向射入磁场，粒子经过圆心，最后离开磁场。已知圆形区域半径为与间的夹角为，不计粒子重力。则（    ） A．粒子运动速率为 B．粒子在磁场中运动的时间为 C．粒子在磁场中运动的路程为 D．粒子离开磁场时速度方向不可能平行于 【答案】AC 【详解】A．根据题意画出粒子的运动轨迹，如图所示 由于圆形区域半径为，则点到的距离为，设粒子做圆周运动的半径为，根据几何关系有 粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 A正确； BD．根据上述分析可知，粒子在磁场中运动轨迹为半个圆周，粒子圆周运动的周期 则粒子在磁场中运动的时间为 粒子出磁场时速度方向平行于，BD错误； C．粒子在磁场中运动的路程为 C正确。 故选AC。 13．（多选）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，其中ab＝l，射线bc足够长，abc＝135°，其他方向磁场的范围足够大。一束质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用，以下说法正确的是（    ） A．从ab边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等 B．从bc边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等 C．所有粒子在磁场中运动的时间都相等 D．粒子在磁场中最长运动时间约为 【答案】AD 【详解】A．画出带电粒子在磁场中运动的动态分析图，如图1所示。当粒子都从ab边射出，则都是半周，时间都相等，A正确； BC．当粒子都从bc边射出，则速度越大，轨道半径越大，圆心角越大，运动时间越长，BC错误； D．当粒子的速度足够大，半径足够大时，l远小于r，运动情况可简化为如图2所示情况，这时圆心角大小为 可得 D正确。 故选AD。 14．如图所示，平行的N、M、P为两匀强磁场区域的边界，N与M、M与P间距分别为l1、l2，两磁场的磁感应强度分别为B1和B2，磁场方向均垂直纸面向里。现有电荷量为+q、质量为m的带电粒子射入磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用。 (1)若有大量该种粒子以大小为v1、方向沿纸面各个方向的速度从Q点射入磁场，粒子恰好不进入Ⅱ区域，求粒子速度v1的大小； (2)用阴影画出(1)中粒子在磁场Ⅰ中所能到达的区域，并求出该区域的面积； (3)若有一个粒子从Q点以速度v2垂直于边界N及磁场方向射入磁场，粒子能穿过两个磁场区域，求v2的最小值。 【答案】(1) (2)见解析；(3) 【详解】(1)设粒子速度大小为v0时恰好能进入Ⅱ磁场，则进入Ⅱ磁场时速度恰好沿M边界，若有大量该种粒子以大小为v1、方向沿纸面各个方向的速度从Q点射入磁场，粒子恰好不进入Ⅱ区域，根据几何关系可知，半径 ，根据洛伦兹力提供向心力有 解得 (2) 粒子在磁场中所能到达的区域如下图所示的阴影部分 面积 (3) 粒子速度为v2时在磁场II中的轨迹恰好与边界P相切，轨迹如下图所示 根据洛伦兹力提供向心力有 可得 ， 由几何关系，则有 粒子在磁场II中运动，则有 R2-R2sinθ=l2 解得 15．如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。求： （1）磁感应强度B0的大小； （2）要使正离子从O′垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。 【答案】（1）；（2）（n=1，2，3，…） 【详解】（1）设垂直于纸面向里的磁场方向为正方向。正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力，则 正离子做匀速圆周运动的周期 联立以上可得磁感应强度 （2）要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子的运动轨迹如图所示 两板之间正离子只运动一个周期T0时，有 当两板之间正离子运动n个周期nT0时，有 （n=1，2，3，…） 联立解得正离子的速度的可能值为 （n=1，2，3，…） 【能力提升】 1．静止在同一匀强磁场中的两种放射性元素的原子核A、B，其中一个放出α粒子，另一个放出β粒子，运动方向都与磁场方向垂直。图中a、b与c、d分别表示各粒子的运动轨迹，下列说法中正确的是（　　） A．甲图为β衰变，图乙为α衰变 B．a为α粒子运动轨迹，c为β粒子运动轨迹 C．甲图中两个粒子环绕方向相同，乙图中两个粒子环绕方向相反 D．a轨迹粒子比b轨迹中的粒子动量小，c轨迹中的粒子比d轨迹中的粒子动量大 【答案】C 【详解】AC．放射性元素放出α粒子时，α粒子与反冲核的速度相反，而电性相同，则两个粒子受到的洛伦兹力方向相反，两个粒子的轨迹应为外切圆，两个粒子做圆周运动环绕方向相同；而放射性元素放出β粒子时，β粒子与反冲核的速度相反，而电性相反，则两个粒子受到的洛伦兹力方向相同，两个粒子的轨迹应为内切圆，两个粒子做圆周运动环绕方向相反。故甲图放出的是α粒子，乙图放出的是β粒子，故A错误，C正确； BD．放射性元素放出粒子时，两带电粒子的动量守恒，故a轨迹中粒子比b轨迹中的粒子动量大小相等，方向相反。c轨迹中粒子与d轨迹中的粒子动量大小相等，方向相反。由半径公式可得，轨迹半径与动量成正比，与电量成反比，而α粒子和β粒子的电量比反冲核的电量小，则α粒子和β粒子的半径比反冲核的半径都大，故b为α粒子的运动轨迹，c为β粒子的运动轨迹，故BD错误。 故选C。 2．如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中，固定一内壁光滑的圆柱形薄壁绝缘管道，其轴线与磁场垂直。管道横截面半径为a，长度为。带电粒子束持续以速度大小为v、方向与轴线成角自管道左端轴线处进入管道，粒子在磁场力作用下经过一段圆弧（圆弧半径小于a）打到管壁上，与管壁发生弹性碰撞，多次碰撞后从另一端射出。单位时间进入管道的粒子数为n，粒子电荷量为，不计粒子的重力、粒子间的相互作用，以及空气阻力的影响。下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的圆弧半径大小与v和均有关 B．粒子相邻两次打到管壁上经历的时间与和B均无关 C．粒子束在管道内的等效电流与v和a均有关 D．粒子束对管道的平均作用力大小与v和a均无关 【答案】D 【详解】A．根据洛伦兹力提供向心力有 解得 粒子在磁场中运动的圆弧半径大小与v有关，和无关，故A错误； B．粒子与管壁发生弹性碰撞，则相邻两次打到管壁上经历的时间为，即 故B错误； C．根据电流的定义式有 故C错误； D．粒子束对管道的平均作用力大小等于等效电流受到的安培力 F=BIl=nqBl 故D正确。 故选D。 3．太阳黑子群13679在北京时间2024年05月24日10时49分爆发了一个C4.9级小耀斑，耀斑从太阳的日冕抛射出高能的电子、离子和原子云气团，其中的一部分射向了地球，使地球上许多高纬地区出现了美丽壮观的极光。如图所示，科学家发现并证实，这些高能带电粒子流向两极做螺旋运动，旋转半径不断减小，原因可能是（    ） A．重力对粒子做正功，使其动能增大 B．越接近两极，地磁场的磁感应强度越大 C．洛伦兹力对粒子做负功，使其动能减小 D．空气分子与粒子碰撞，使粒子的带电量减少 【答案】B 【详解】带电粒子在磁场中做圆周运动，根据 可得 A．若动能增大，则粒子速度增大， 粒子做圆周运动的半径会增大，A错误； B．越接近两极，地磁场的磁感应强度B越大，则半径减小，B正确； C．洛伦兹力不做功，C错误； D．若粒子带电量减小，则半径增大，D错误。 故选B。 4．如图所示，用洛伦兹力演示仪研究带电粒子在匀强磁场中的运动，以虚线表示电极K释放出来的电子束的径迹。在施加磁场之前，电子经加速后沿直线运动，如图甲所示；施加磁场后电子束的径迹，如图乙所示；再调节演示仪可得到图丙所示的电子束径迹。下列说法正确的是（    ） A．施加的磁场方向为垂直纸面向外 B．在图乙基础上仅提高电子的加速电压，可得到图丙所示电子束径迹 C．在图乙基础上仅增大磁感应强度，可得到图丙所示电子束径迹 D．图乙与图丙中电子运动一周的时间一定不相等 【答案】C 【详解】电子在加速电场中加速，由动能定理得 电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力充当向心力，有 由运动学公式有 联立解得 ， A．根据左手定则，电子向左飞出后做顺时针方向的圆周运动，所以磁感应强度方向垂直纸面向里，故A错误； B．在图乙的基础上增大加速电压U，可知粒子运动半径增大，而图丙运动半径减小，故B错误； C．在图乙的基础上仅增大磁感应强度，可知粒子运动半径减小，故C正确； D．如果图乙由减小电压变为图丙时，图乙与图丙中电子运动一周的时间相等；如果图乙由增大磁感应强度变为图丙时，图乙与图丙中电子运动一周的时间不相等，故D错误。 故选C。 5．如图所示，一个粒子从x轴上的P点以速度沿与x轴成的方向射入第一象限内的匀强磁场中，恰好垂直于y轴从A点射出第一象限。一个质子从坐标原点O以速度沿与x轴成的方向射入第一象限，也恰好从A点射出第一象限。则等于（     ） A．3:1 B．1:3 C．4:1 D．1:4 【答案】B 【详解】画出粒子运动轨迹如图 根据几何可知（）粒子运动的半径为 质子（）运动的半径为 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 故选B。 6．如图所示，abcd为边长为L的正方形，在四分之一圆abd区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从b点沿ba方向以初速度大小v（未知）射入磁场，粒子仅能从正方形cd边（含c、d两点）射出正方形区域，该粒子在磁场中运动时间为t，不计粒子的重力，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】AB．粒子在磁场中圆周运动周期 洛伦兹力提供向心力 得 如果粒子从c点射出，画出粒子在磁场中运动的轨迹示意图，可知粒子圆周运动的圆周角为 所用时间为 如果粒子从d点射出，画出粒子在磁场中运动的轨迹示意图，可知粒子圆周运动的圆周角为，所用时间为 所以粒子运动时间t，有 故AB错误； CD．如果粒子从c点射出，画出粒子在磁场中运动的轨迹示意图，根据几何关系，射出磁场时的速度反向延长线通过a点，磁场的边长为L，设粒子的轨道半径为r，由几何关系得 由洛伦兹力提供向心力得 联立解得 如果粒子从d点射出，画出粒子在磁场中运动的轨迹示意图，根据几何关系 由洛伦兹力提供向心力得 联立解得 粒子仅能从正方形cd边（含c、d两点）射出正方形区域，所以 C错误，D正确。 故选D。 【点睛】 7．如图所示，在纸面内水平放置两根长直导线AB和CD，只有一条导线中通有恒定电流。在纸面内，一电子由E点开始经过F运动到G的轨迹如图中曲线所示，下列说法中正确的是（　　） A．导线AB中通有从A到B方向的电流 B．导线AB中通有从B到A方向的电流 C．导线CD中通有从C到D方向的电流 D．导线CD中通有从D到C方向的电流 【答案】C 【详解】由于电子在运动的过程中，速度大小不变，根据 可知在F点处轨道半径较小，磁感强度较大，一定是导线CD中通有电流由于，电子带负电荷，根据左手定则可知，F处的磁场方向垂直纸面向内，由安培定则可知，导线CD中电流的方向从C到D。 故选C。 8．如图为一个光滑绝缘的半圆柱形容器的剖面图，圆心所在的轴线上水平固定一垂直纸面向内的通电长直导线，带正电的小物体（可视为点电荷）从左端由静止开始释放，下列说法正确的是（　　） A．刚释放时，正电荷所受洛伦兹力竖直向上 B．若带电量足够大，运动过程中，小物体可能会脱离容器表面 C．无论小物体是否带电，都一定可以滑至右侧等高处 D．物块滑至容器底部时，轨道对物体的支持力大于轨道受到的压力 【答案】C 【详解】AB．根据右手螺旋定则，可知通电直导线的电流方向垂直向里，则磁场方向以直导线为圆心的顺时针方向圆，当正电荷释放时，则其运动方向总与磁场方向平行，那么不受洛伦兹力，小球只在重力和轨道的支持力作用下做圆周运动，不会脱离容器表面，选项AB错误； C．正电荷在运动过程中，因圆形容器是光滑的，依据能量转化与守恒定律，则可以滑至右侧等高处，故C正确； D．物块滑至容器底部时，轨道对物体的支持力与轨道受到的压力是一对作用力与反作用力，总是等大反向，选项D错误。 故选C。 9．如图所示，在水平xOy平面内存在着垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度，在y轴正半轴距离原点5cm处有一粒子放射源A，可向任意方向发射速度大小为的带正电粒子，带电粒子的比荷为，在x轴上范围存在一个下表面涂有感光物质的挡板，粒子打在其上会感光，则在挡板下表面出现光斑的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】粒子带正电，由洛伦兹力可知，粒子在磁场中做逆时针的圆周运动，由 可得 粒子运动的两种临界情况如图所示 当粒子沿轨迹①运动时，打到最左端，位置坐标为；当粒子沿轨迹②运动时，打到最右端，由几何知识可知，最右端位置坐标为。 故选B。 10．如图所示，四根通有恒定电流的长直导线垂直平面放置，四根长直导线与平面的交点组成边长为的正方形且关于轴和轴对称，各导线中电流方向已标出，其中导线1、3中电流大小为，导线2、4中电流大小为。已知通电长直导线周围的磁感应强度大小与电流成正比、与该点到通电长直导线的距离成反比，即、下列说法正确的是（　　） A．长直导线1、4之间的相互作用力为吸引力 B．一垂直于纸面并从点射入的粒子，将做圆周运动 C．导线4受到的导线1、2、3的作用力的合力方向指向点 D．仅将导线2中的电流反向，则导线2和4连线上各点磁感应强度方向均相同 【答案】D 【详解】A．当通有同向电流时，通电导线之间表现为吸引力，当通有反向电流时，通电导线之间表现为斥力，A错误； B．由右手螺旋定则并结合矢量叠加可知点的磁感应强度为零，因此过点垂直于纸面射入的粒子，将做匀速直线运动，B错误； C．长直导线1在长直导线4处产生的磁感应强度大小为 方向水平向左，导线3在长直导线4处产生的磁感应强度大小也为，方向竖直向上，长直导线2在长直导线4处产生的磁感应强度大小为 方向垂直导线2、4的连线指向右下方，所以三根导线在4处的合场强为零，导线4不受安培力，C错误； D．根据右手螺旋定则以及磁场叠加原理可知，导线1、3在导线2、4的连线上除点的磁感应强度为零外，其他位置合磁感应强度均垂直于导线2、4的连线指向斜向左上方。仅将导线2中的电流反向，导线2、4在导线2、4的连线上的磁感应强度方向均垂直于导线2、4的连线指向斜向左上方。磁场叠加原理可知，四根导线在导线2、4的连线上的磁感应强度方向均垂直于导线2、4的连线指向斜向左上方。D正确。 故选D。 11．（多选）如图所示，把一质量为，q=1C的带正电小球放在高度的直杆的顶端，一颗质量的子弹以的速度沿水平方向击中小球，并穿过球心，子弹落地点B离杆的距离，整个过程中小球的电荷量和质量均不变，重力加速度g取，下列说法正确的是（　　） A．小球落地点A离杆的距离 B．小球与子弹组成的系统机械能守恒 C．若在杆右侧空间加一垂直纸面向外的匀强磁场，小球落地点到杆底端间距变大 D．若在杆右侧空间加一垂直纸面向外的匀强电场E=16N/C，小球落地点到B点距离为100m 【答案】AD 【详解】A．子弹打穿小球后做平抛运动，根据平抛运动规律有 ， 解得 ， 子弹打穿小球的过程，动量守恒，取向右为正方向，则有 小球落地点A离杆的距离为 解得 故A正确； B．子弹打穿小球的过程克服阻力做功，则小球与子弹组成的系统机械能不守恒，故B错误； C．若在杆右侧空间加一垂直纸面向外的匀强磁场，小球受到了洛伦兹力如图所示 小球在竖直向下方向加速度增大，运动时间减小，水平方向做减速运动，速度减小，可知落地点到杆底端间距变小，故C错误； D．若在杆右侧空间加一垂直纸面向外的匀强电场，小球落受到的电场力垂直纸面向外，垂直纸面向外的加速度为 纸面向外的位移为 小球落地点到B点距离为 故D正确。 故选AD。 12．（多选）著名物理学家狄拉克曾经预言：“自然界应该存在只有一个磁极的磁单极子，其周围磁感线呈均匀辐射状分布（如图甲所示），距离它r处的磁感应强度大小为（k为常数），其磁场分布与负点电荷的电场分布相似”。现假设磁单极子S固定，有一质量为m，电量为q（电性未知）带电小球在S极附近距离r处做匀速圆周运动，运动轨迹相对于S中心形成的圆锥顶角为，重力加速度为g。则关于小球做匀速圆周运动的判断正确的是（　　）    A．若小球带正电，从上向下看粒子逆时针做匀速圆周运动，线速度大小为 B．若小球带正电，从上向下看粒子逆时针做匀速圆周运动，线速度大小为 C．若小球带负电，从上向下看粒子顺时针做匀速圆周运动，线速度大小为 D．若小球带负电，从上向下看粒子顺时针做匀速圆周运动，线速度大小为 【答案】AC 【详解】AB．若小球带正电，当小球位于最左侧时，重力与洛伦兹力的合力提供向心力，则洛伦兹力应垂直磁感线向上，根据左手定则，从上向下看粒子逆时针做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律 解得 故A正确，B错误； CD．若小球带负电，当小球位于最左侧时，重力与洛伦兹力的合力提供向心力，则洛伦兹力应垂直磁感线向上，根据左手定则，从上向下看粒子顺时针做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律 解得 故C正确，D错误。 故选AC。 13．（多选）如图所示，空间中有一底角为60°的等腰梯形，上底与腰长均为L，梯形内部存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，下底bc的中点e处有一粒子源，可以向bc上方任意方向射出速度大小可变的电子，已知电子的比荷为k，下列说法正确的是（　　） A．若粒子可以到达a点，则其最小速度为 B．若粒子可以到达ab边，则其最小速度为 C．ab、ad边有粒子射出，则dc边一定有粒子射出 D．到达a点和到达d点的粒子一定具有相同的速率 【答案】AB 【详解】A．当粒子到达a点时，速度刚好水平时，此时速度最小，轨迹如图所示 根据几何关系 解得 根据洛伦兹力提供向心力 联立可得 故A正确； B．粒子与ab边界相切时，速度最小，轨迹如图所示 根据几何关系 解得 根据洛伦兹力提供向心力 联立可得 故B正确； C．粒子运动轨迹如图所示 从ab和ad边射出的粒子，没有从cd边射出，故C错误； D．粒子运动轨迹如图所示 根据几何关系 解得 由此可知到达d点的半径是唯一的，而到达a点的半径可以不同，所以到达a点和到达d点的粒子不一定具有相同的速率，故D错误。 故选AB。 14．如图所示，空间有垂直于纸面的匀强磁场和，磁感应强度大小均为0.1T，分布在半径的圆形区域内，MN为过其圆心O的竖直线，分布在MN左侧的半圆形区域外。磁场中有粒子源S，S与O的距离，且，某时刻粒子源S沿着纸面一次性向各个方向均匀射出一群相同的带正电粒子，每个粒子的质量、电量、速率，不计粒子之间的相互作用，求 (1)粒子在匀强磁场中运动的半径； (2)能进入圆形区域的粒子所占的比率； (3)最终射出圆形区域时速度方向与SO平行的粒子在磁场中运动的总时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据洛伦兹力提供向心力有 解得 （2）当粒子的运动轨迹恰好与圆相切时区域的临界情况，如图， 根据几何关系可知 故当粒子恰好向左或向右射出时。能够刚好进入区域，因此能够进入区域的粒子数与发射的粒子总数之比为。 （3）利用反向思维可知，若离子能平行于SO射出。其必然经过圆形轨道最低点，轨迹如图， 则其在区域运动的时间为 在区域运动的时间为 故总时间为 15．如图所示，一个质量为、带负电荷粒子的电荷量为、不计重力的带电粒子从轴上的点以速度沿与轴成的方向射入第一象限内的匀强磁场中，恰好垂直于轴射出第一象限。已知。 （1）求匀强磁场的磁感应强度的大小； （2）让大量这种带电粒子同时从轴上的点以速度沿与轴成0到的方向垂直磁场射入第一象限内，求轴上有带电粒子穿过的区域范围； （3）为了使该粒子能以速度垂直于轴射出，实际上只需在第一象限适当的地方加一个垂直于平面、磁感强度为的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个矩形区域内，试求这矩形磁场区域的最小面积。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）粒子运动轨迹半径设为，如图所示 根据几何关系可得 解得 由洛伦兹力提供向心力可得 解得 （2）粒子从轴上之间射出，设点纵坐标为为轨迹圆的直径，如图所示，由几何关系得 解得 可知轴上有带电粒子穿过的区域范围为 （3）为了使该粒子能以速度垂直于轴射出，实际上只需在第一象限适当的地方加一个垂直于平面、磁感强度为的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个矩形区域内，粒子在此磁场中运动时，根据洛伦兹力提供向心力可得 解得 如图所示，由几何关系可得矩形磁场区域的最小面积为 解得 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 带电粒子在匀强磁场中的运动【六大必考点+四大秒杀招+八大题型+分层训练】 课前预习+知识精讲 知识点01带点粒子在匀强磁场中的运动--三种运动规律 带电粒子在只受洛伦兹力作用的条件下（电子等微观粒子的重力通常忽略不计），有三种运动情况： ①若带电粒子的速度方向与磁场方向平行（v∥B），在匀强磁场中做匀速直线运动；②若带电粒子的速度方向与磁场方向垂直（v⊥B），在垂直于磁感线的平面内以入射 速度v做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力； ③运动方向与磁场方向既不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中做等半径、等螺距的螺 旋线运动。 知识点02带点粒子在匀强磁场中的运动--圆周运动的计算公式 ①向心力公式：qvB＝m； ②轨道半径公式：r＝； ③周期公式：T＝＝；f＝＝；ω＝＝2πf＝。T与运动速度和轨迹半径无关，只和粒子的比荷和磁场的磁感应强度有关； ④运动时间：当带电粒子转过的圆心角为θ(弧度)时，所用时间； ⑤动能：。 知识点03带点粒子在匀强磁场中的运动--圆周运动的圆心的确定方法 ①由两点和两线确定圆心，画出带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹。确定带电粒子运动轨迹上的两个特殊点（一般是射入和射出磁场时的两点），过这两点作带电粒子运动方向的垂线（这两垂线即为粒子在这两点所受洛伦兹力的方向），则两垂线的交点就是圆心，如图（a）所示。 ②若只已知过其中一个点的粒子运动方向，则除过已知运动方向的该点作垂线外，还要将这两点相连作弦，再作弦的中垂线，两垂线交点就是圆心，如图（b）所示。 ③若已知一个点及运动方向和另外某时刻的速度方向，但不确定该速度方向所在的点，如图（c）所示，此时要将其中一个速度的延长线与另一速度的反向延长线相交成一角（∠PAM），画出该角的角平分线，它与已知点的速度的垂线交于一点O，该点就是圆心。 ④轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心。某点的速度垂线与切点法线的交点。如图。 如上图（d）所示，有四个角度关系：①速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)；②圆心角α等于AB弦与速度方向的夹角(弦切角θ)的2倍(φ＝α＝2θ＝ωt)；③相对的弦切角(θ)相等，与相邻的弦切角(θ′)互补，即θ＋θ′＝180°；④进出同一直线边界时速度方向与该直线边界的夹角相等。 知识点04带点粒子在匀强磁场中的运动--圆周运动的半径的确定方法 ①物理方程法：半径R＝。 ②几何法：一般由数学知识（勾股定理、三角函数等）计算来确定。如下图所示，R＝或由R2＝L2＋（R－d）2求得R＝。 知识点05带点粒子在匀强磁场中的运动--圆周运动的圆心角与时间的确定方法 圆心角的确定：①φ（速度的偏向角）＝θ（圆弧所对应的圆心角）＝2α（弦切角），即φ＝θ＝2α＝ωt，如图所示；②偏转角φ与弦切角α的关系：φ<180°时，φ＝2α；φ>180°时，φ＝360°－2α。 运动时间的计算：①由圆心角求，t＝·T；②由弧长求，t＝。 知识点06带点粒子在匀强磁场中的运动--带电粒子在磁场做圆周运动的分析方法 画轨迹确定圆心。 确定运动过程的关系：①轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，即；②利用数学知识（勾股定理、三角函数等）计算来确定半径；③寻找偏转角度与圆心角、运动时间的关系；④寻找带电粒子在磁场中运动时间与周期（T＝）的关系。 运动牛顿运动定律和圆周运动的规律等，进行分析及计算。 解题大招 大招01当带电体的速度一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长；当带电体的速度变化时，圆心角大的运动时间长。 大招02组合场解决带电粒子在组合场中的运动解题思路 大招03“电偏转”与“磁偏转”的比较 电偏转 磁偏转 偏转条件 只受恒定的静电力F＝qE v⊥E进入匀强电场 只受大小恒定的洛伦兹力F＝qvB v⊥B进入匀强磁场 运动轨迹 抛物线 圆弧 求解方法 利用类平抛运动的规律x＝v0t，y＝at2，a＝，tan θ＝ 利用牛顿第二定律、向心力公式有r＝，T＝，t＝ 大招04叠加场处理带电粒子在叠加场中的运动的解题思路 题型分类 题型01带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题 【例1】质子p(H)和α粒子(He)以相同的速率在同一匀强磁场中做匀速圆周运动，轨道半径分别为Rp和Rα，周期分别为Tp和Tα，则下列选项中正确的是(　　) A．Rp∶Rα＝1∶2，Tp∶Tα＝1∶2 B．Rp∶Rα＝1∶1，Tp∶Tα＝1∶1 C．Rp∶Rα＝1∶1，Tp∶Tα＝1∶2 D．Rp∶Rα＝1∶2，Tp∶Tα＝1∶1 【答案】　A 【详解】　质子p(H)和α粒子(He)的带电荷量之比为qp∶qα＝1∶2，质量之比mp∶mα＝1∶4.由带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的规律可知，轨道半径R＝，周期T＝，因为两粒子速率相同，代入q、m，可得Rp∶Rα＝1∶2，Tp∶Tα＝1∶2，故选项A正确，B、C、D错误． 【变式1-1】薄铝板将同一匀强磁场分成 Ⅰ、Ⅱ 两个区域，高速带电粒子可穿过铝板一次，在两个区域内运动的轨迹如图所示，半径R1>R2.假定穿过铝板前后粒子带电荷量保持不变，则该粒子(　　) A．带正电 B．在Ⅰ、Ⅱ区域的运动速度大小相同 C．在Ⅰ、Ⅱ区域的运动时间相同 D．从Ⅱ区域穿过铝板运动到Ⅰ区域 【变式1-2】（多选）两个粒子A和B带有等量的同种电荷，粒子A和B以垂直于磁场的方向射入同一匀强磁场，不计重力，则下列说法正确的是(　　) A．如果两粒子的速度vA＝vB，则两粒子的半径RA＝RB B．如果两粒子的动能EkA＝EkB，则两粒子的周期TA＝TB C．如果两粒子的质量mA＝mB，则两粒子的周期TA＝TB D．如果两粒子的动量大小相同，则两粒子的半径RA＝RB 题型02带电粒子在匀强磁场中的圆周运动 【例2】如图所示，a和b所带电荷量相同，以相同动能从A点射入磁场，在匀强磁场中做圆周运动的半径ra＝2rb，则可知(重力不计)(　　) A．两粒子都带正电，质量比＝4 B．两粒子都带负电，质量比＝4 C．两粒子都带正电，质量比＝ D．两粒子都带负电，质量比＝ 【答案】　B 【详解】　由于qa＝qb，Eka＝Ekb，由动能Ek＝mv2和粒子偏转半径r＝，可得m＝，可见m与半径r的二次方成正比，故ma∶mb＝4∶1，再根据左手定则知粒子应带负电，故选B. 【变式2-1】如图所示，一带电荷量为2.0×10－9 C、质量为1.8×10－16 kg的粒子，从直线上一点O沿与PO方向成30°角的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，经过1.5×10－6 s后到达直线上的P点，求： (1)粒子做圆周运动的周期； (2)磁感应强度B的大小； (3)若O、P之间的距离为0.1 m，则粒子的运动速度的大小． 【变式2-2】（多选）如图所示，在Oxy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场．一带电粒子从y轴上的M点射入磁场，速度方向与y轴正方向的夹角θ＝45°.粒子经过磁场偏转后在N点(图中未画出)垂直穿过x轴．已知OM＝a，粒子电荷量为q，质量为m，重力不计．则(　　) A．粒子带负电荷 B．粒子速度大小为 C．粒子在磁场中运动的轨道半径为a D．N与O点相距(＋1)a 题型03带电粒子在有界匀强磁场中的临界问题 【例3】如图所示，真空中狭长区域内的匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，区域宽度为d，边界为CD和EF，速度为v的电子从边界CD外侧沿垂直于磁场方向射入磁场，入射方向与CD的夹角为θ，已知电子的质量为m、带电荷量为e，为使电子能从另一边界EF射出，电子的速率应满足的条件是(　　) A．v> B．v< C．v> D．v< 【答案】　A 【详解】　由题意可知，电子从边界EF射出的临界条件为到达边界EF时，速度方向与EF平行，即运动轨迹与EF相切，如图所示．由几何知识得： R＋Rcos θ＝d，R＝， 解得v0＝，当v＞v0时，即能从边界EF射出，故A正确． 【变式3-1】　真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示．一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场．已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力．为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为(　　) A. B. C. D. 【变式3-2】如图所示，△ABC为与匀强磁场垂直的边长为a的等边三角形，比荷为的电子以速度v0从A点沿AB边入射，欲使电子经过BC边，磁感应强度B的取值范围为(　　) A．B> B．B< C．B> D．B< 题型04带电粒子在有界匀强磁场中的多解问题 【例4】（多选）如图所示，长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电．现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从两极板间边界中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是(　　) A．使粒子的速度v< B．使粒子的速度v> C．使粒子的速度v> D．使粒子的速度<v< 【答案】　AB 【详解】　如图所示，带电粒子刚好打在极板右边缘时，有r12＝(r1－)2＋l2，又r1＝，所以v1＝，粒子刚好打在极板左边缘时，有r2＝＝，v2＝，综合上述分析可知，选项A、B正确． 【变式4-1】　(多)如图所示，A点的离子源在纸面内沿垂直OQ的方向向上射出一束负离子，重力忽略不计．为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场．已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B应满足(　　) A．垂直纸面向里，B> B．垂直纸面向里，B> C．垂直纸面向外，B> D．垂直纸面向外，B> 【变式4-2】（多选）如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B.一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率、质量为m(重力不计)、电荷量为q(q＞0)的同种粒子，所有粒子均能通过MN上的b点，已知ab＝L，则粒子的速度可能是(　　) A. B. C. D. 题型05带电粒子在组合场中的运动 【例5】（多选）一带负电粒子的质量为m、电荷量为q，空间中一平行板电容器两极板S1、S2间的电压为U.将此粒子在靠近极板S1的A处无初速度释放，经电场加速后，经O点进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的有界匀强磁场(右边界平行于S2)，图中虚线Ox垂直于极板S2，当粒子从P点离开磁场时，其速度方向与Ox方向的夹角θ＝60°，如图所示，整个装置处于真空中，不计粒子所受重力，则(　　) A．极板S1带正电 B．粒子到达O点的速度大小为 C．此粒子在磁场中运动的时间t＝ D．若改变右侧磁场(左边界位置不变)宽度，使粒子经过O点后恰好不能从右侧离开该有界磁场，则该有界磁场区域的宽度d＝ 【答案】　BC 【详解】　带负电粒子向右加速运动，所受静电力向右，场强向左，说明极板S1带负电，故A错误；设粒子到达O点的速度大小为v，由动能定理可得Uq＝mv2，解得v＝，故B正确；由几何关系可知粒子运动的圆心角为θ＝60°＝， 此粒子在磁场中运动的时间t＝T＝×＝，故C正确； 若改变右侧磁场(左边界位置不变)宽度，使粒子经过O点后恰好不能从右侧离开该有界磁场，画出临界轨迹如图所示，洛伦兹力提供向心力，有Bqv＝m 把B选项中求得的速度大小代入可得R＝， 则该有界磁场区域的宽度d＝R＝，故D错误． 【变式5-1】如图所示，在平面直角坐标系xOy内，第Ⅱ、Ⅲ象限内存在沿y轴正方向的匀强电场，第Ⅰ、Ⅳ象限内存在半径为L的圆形匀强磁场，磁场圆心在M(L，0)点，磁场方向垂直于坐标平面向外．一带正电粒子从第Ⅲ象限中的Q(－2L，－L)点以速度v0沿x轴正方向射入电场，恰好从坐标原点O进入磁场，从P(2L，0)点射出磁场，不计粒子重力，求： (1)电场强度与磁感应强度大小的比值； (2)粒子在磁场与电场中运动时间的比值． 【变式5-2】如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一象限内有竖直向上的匀强电场，圆心O1在x轴上，半径为R且过坐标原点O，圆内有垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)．一质量为m，带电荷量为q的正粒子从圆上P点正对圆心O1以速度v0射入磁场，从坐标原点O离开磁场，接着又恰好经过第一象限的Q(a，b)点，已知PO1与x轴负方向成θ角，不计粒子重力，求： (1)匀强电场的电场强度E及匀强磁场的磁感应强度B的大小； (2)粒子从P运动到Q的时间． 题型06带电粒子在叠加场中的直线运动 【例6】如图，空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上(与纸面平行)，磁场方向垂直于纸面向里．三个带正电的微粒a、b、c电荷量相等，质量分别为ma、mb、mc.已知在该区域内，a在纸面内做匀速圆周运动，b在纸面内向右做匀速直线运动，c在纸面内向左做匀速直线运动．下列选项正确的是(　　) A．ma＞mb＞mc B．mb＞ma＞mc C．mc＞ma＞mb D．mc＞mb＞ma 【答案】　B 【详解】　设三个带正电微粒的电荷量均为q， a在纸面内做匀速圆周运动，说明洛伦兹力提供向心力，重力与静电力平衡，则 mag＝qE① b在纸面内向右做匀速直线运动，三力平衡，则 mbg＝qE＋qvB② c在纸面内向左做匀速直线运动，三力平衡，则 mcg＋qvB＝qE③ 比较①②③式得：mb>ma>mc，选项B正确． 【变式6-1】（多选）地面附近空间中存在着水平方向的匀强电场(未画出)和垂直纸面向里的匀强磁场，一个带电油滴沿着与竖直方向成α角的直线MN运动，如图所示，由此可以判断(　　) A．油滴一定做匀速运动 B．油滴可以做变速运动 C．如果油滴带正电，它是从N点运动到M点 D．如果油滴带正电，它是从M点运动到N点 【变式6-2】如图所示，竖直平面内存在水平方向的匀强电场，电场强度为E，同时存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，纸面内放置一光滑的绝缘细杆，与水平方向成θ＝45°角．质量为m、带电荷量为q的金属小环套在细杆上，以初速度v0沿着细杆向下运动，小环离开细杆后，恰好做直线运动，重力加速度为g，则以下说法正确的是(　　) A．小环可能带负电 B．电场方向可能水平向右 C．小环的初速度v0＝ D．小环离开细杆时的速度v＝ 题型07 带电粒子在叠加场中的匀速圆周运动 【例7】如图所示，已知一带电小球在光滑绝缘的水平面上从静止开始经电压U加速后，水平进入由互相垂直的匀强电场E和匀强磁场B构成的叠加场中(E和B已知)，小球在此空间的竖直面内做匀速圆周运动，重力加速度大小为g，则(　　) A．小球可能带正电 B．小球做匀速圆周运动的半径为r＝ C．小球做匀速圆周运动的周期为T＝ D．若电压U增大，则小球做匀速圆周运动的周期增加 【答案】　B 【详解】　小球在叠加场中做匀速圆周运动，则小球受到的静电力和重力满足mg＝Eq，则小球带负电，A项错误；因为小球做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，由牛顿第二定律和动能定理可得：qvB＝，Uq＝mv2，故小球做匀速圆周运动的半径r＝，B项正确；由T＝，得T＝，与电压U无关，C、D项错误． 【变式7-1】如图所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，在水平的x轴下方存在匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直xOy平面向里，电场线平行于y轴．一质量为m、电荷量为q的带正电的小球，从y轴上的A点水平向右抛出，经x轴上的M点进入电场和磁场区域，恰能做匀速圆周运动，从x轴上的N点第一次离开电场和磁场，MN之间的距离为L，小球过M点时的速度方向与x轴正方向的夹角为θ.不计空气阻力，重力加速度为g，求： (1)电场强度E的大小和方向； (2)小球从A点抛出时初速度v0的大小； (3)A点到x轴的高度h. 【变式7-2】如图所示，空间中存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，有一带电液滴在竖直面内做半径为R的匀速圆周运动，已知电场强度为E，磁感应强度为B，重力加速度为g，则液滴环绕速度大小及方向分别为(　　) A.，顺时针 B.，逆时针 C.，顺时针 D.，逆时针 题型08电粒子在叠加场中的一般曲线运动 【例8】（多选）空间存在竖直向下的匀强电场和水平方向(垂直纸面向里)的匀强磁场，如图所示，已知一离子在静电力和洛伦兹力共同作用下，从静止开始自A点沿曲线ACB运动，到达B点时速度为零，C为运动的最低点．不计重力，则(　　) A．该离子带负电 B．A、B两点位于同一高度 C．到达C点时离子速度最大 D．离子到达B点后，将沿原曲线返回A点 【答案】　BC 【详解】　离子开始仅受到静电力作用由静止开始向下运动，可知离子受到的静电力方向向下，与电场方向同向则该离子带正电，A错误；洛伦兹力不做功，从A到B，动能变化为零，根据动能定理知，静电力做功为零，A、B两点等电势，因为该电场是匀强电场，所以A、B两点位于同一高度，B正确；根据动能定理知，离子到达C点时静电力做功最多，则速度最大，C正确；离子在B点的状态与A点的状态(速度为零，电势能相等)相同，如果右侧仍有同样的电场和磁场的叠加区域，离子将在B点的右侧重复前面的曲线运动，不可能沿原曲线返回A点，D错误． 【变式8-1】如图所示的虚线区域内，充满垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向上的匀强电场，一带电微粒A以一定初速度由左边界的O点射入虚线区域，恰好沿水平直线从区域右边界O′点穿出，射出时速度大小为vA，若仅撤去磁场，其他条件不变，另一个相同的微粒B仍以相同的速度由O点射入并从区域右边界穿出，射出时速度的大小为vB，则微粒B(　　) A．穿出位置一定在O′点上方，vB<vA B．穿出位置一定在O′点上方，vB>vA C．穿出位置一定在O′点下方，vB<vA D．穿出位置一定在O′点下方，vB>vA 【变式8-2】如图所示，空间存在竖直向上的匀强电场和水平的匀强磁场(垂直纸面向里)．一带正电的小球从O点由静止释放后，运动轨迹如图中曲线OPQ所示，其中P为运动轨迹中的最高点，Q为与O同一水平高度的点．下列关于该带电小球运动的描述，正确的是(　　) A．小球在运动过程中受到的洛伦兹力先增大后减小 B．小球在运动过程中电势能先增加后减少 C．小球在运动过程中机械能守恒 D．小球到Q点后将沿着曲线QPO回到O点 分层训练 【基础过关】 1．质量为m的带电粒子a，仅在洛伦兹力作用下做半径为r的匀速圆周运动。在a经过的轨迹上放置不带电的粒子b，则a与b发生完全非弹性碰撞融为一个整体（不计质量和电荷量损失），则该整体在磁场中做圆周运动的半径（    ） A．大于r B．小于r C．等于r D．无法判断 2．一带电粒子（不计重力）在匀强磁场中沿顺时针方向做半径为R的匀速圆周运动，当它运动到某个位置时，磁场突然发生变化（不考虑磁场变化产生的电场），磁感应强度大小变为原来的，方向与原磁场方向相反，则磁场发生变化后粒子（    ） A．沿逆时针方向做半径为的圆周运动 B．沿顺时针方向做半径为的圆周运动 C．沿逆时针方向做半径为2R的圆周运动 D．沿顺时针方向做半径为2R的圆周运动 3．质量分别为m1和m2、电荷量分别为q1和q2的两粒子在同一匀强磁场中做匀速圆周运动，已知两粒子的动量大小相等。下列说法正确的是（　　） A．若q1=q2，则它们做圆周运动的半径一定相等 B．若m1=m2，则它们做圆周运动的半径一定相等 C．若q1≠q2，则它们做圆周运动的周期一定不相等 D．若m1≠m2，则它们做圆周运动的周期一定不相等 4．一个带电粒子，沿垂直于磁场的方向射入一匀强磁场，粒子的一段径迹如图所示，径迹上的每小段都可近似看成圆弧，由于带电粒子使沿途空气电离，粒子的能量逐渐减小（带电荷量不变），从图中情况可以确定（　　） A．粒子从a运动到b，带正电 B．粒子从b运动到a，带正电 C．粒子从a运动到b，带负电 D．粒子从b运动到a，带负电 5．质量和电荷量都相等的带电粒子M和N，以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹如图中虚线所示。下列表述错误的是（　　） A．M带负电，N带正电 B．M的速率大于N的速率 C．洛伦兹力对M、N不做功 D．M的运行时间大于N的运行时间 6．质量1.67×10-27 kg、电荷量1.6×10-19 C的带电粒子，以5×105 m/s的初速度沿与磁场垂直的方向射入磁感应强度为0.2 T的匀强磁场。则（　　） A．电子将做匀速直线运动 B．电子所受的磁场作用大小为8×10-14N C．电子做匀速圆周运动，周期为1.64×10-7 s D．电子做匀速圆周运动，轨道半径为2.61×10-2 m 7．带正电的粒子在外力作用下沿虚线做匀速圆周运动，圆心为O，a、b、c、d是圆上的4个等分点。通有电流大小为I的长直导线垂直圆平面放置，电流方向如图所示，导线位于a、O连线的中点。不考虑粒子运动产生的电场，则（　　） A．a、O两点的磁感应强度相同 B．运动过程中，粒子所受合力不变 C．粒子从a运动到c，洛伦兹力一直变大 D．粒子从a出发运动一周，洛伦兹力不做功 8．1932年，美国物理学家安德森在宇宙射线实验中发现了正电子。如照片所示，在垂直于照片平面的匀强磁场（照片中未标出）中，这是一个正电子穿过铅板时的轨迹。关于照片中的信息，下列说法正确的是（　　） A．粒子的运动轨迹是抛物线 B．粒子在铅板上方运动的速度大于在铅板下方运动的速度 C．粒子从上向下穿过铅板 D．匀强磁场的方向垂直照片平面向里 9．如图所示，带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场，关于小球运动和受力说法正确的是（　　） A．小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右 B．小球运动过程的加速度保持不变 C．小球运动过程中的速度不变 D．小球受到的洛伦兹力对小球做负功 10．如图所示，虚线两侧的匀强磁场Ⅰ和Ⅱ均垂直于纸面向里，磁场Ⅱ的磁感应强度是磁场Ⅰ的磁感应强度的2倍。质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从虚线上P点沿与虚线成角的方向、以速度垂直磁场方向射入磁场Ⅰ，从虚线上的Q点第一次进入磁场Ⅱ；一段时间后粒子再次经过Q点，P点和Q点的距离为L，不计粒子的重力，则磁场Ⅰ的磁感应强度大小和粒子两次经过Q点的时间间隔分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 11．（多选）如图所示，上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两比荷之比为的带正电粒子、均由边上的点以与边成角斜向右上方射入磁场，经过一段时间两粒子分别从边上的、两点射出。已知两粒子射入磁场的速度大小相等，，忽略粒子的重力以及粒子间的相互作用。则下列说法正确的是（　　） A．粒子从点射出 B．粒子、在磁场中运动的半径之比为 C．粒子、在磁场中运动的速度偏转角之比为 D．粒子、在磁场中运动的时间之比为 12．（多选）如图所示，圆形区域内存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，质量为、电荷量为的带电粒子从点沿平行于直径的方向射入磁场，粒子经过圆心，最后离开磁场。已知圆形区域半径为与间的夹角为，不计粒子重力。则（    ） A．粒子运动速率为 B．粒子在磁场中运动的时间为 C．粒子在磁场中运动的路程为 D．粒子离开磁场时速度方向不可能平行于 13．（多选）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，其中ab＝l，射线bc足够长，abc＝135°，其他方向磁场的范围足够大。一束质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用，以下说法正确的是（    ） A．从ab边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等 B．从bc边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等 C．所有粒子在磁场中运动的时间都相等 D．粒子在磁场中最长运动时间约为 14．如图所示，平行的N、M、P为两匀强磁场区域的边界，N与M、M与P间距分别为l1、l2，两磁场的磁感应强度分别为B1和B2，磁场方向均垂直纸面向里。现有电荷量为+q、质量为m的带电粒子射入磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用。 (1)若有大量该种粒子以大小为v1、方向沿纸面各个方向的速度从Q点射入磁场，粒子恰好不进入Ⅱ区域，求粒子速度v1的大小； (2)用阴影画出(1)中粒子在磁场Ⅰ中所能到达的区域，并求出该区域的面积； (3)若有一个粒子从Q点以速度v2垂直于边界N及磁场方向射入磁场，粒子能穿过两个磁场区域，求v2的最小值。 15．如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。求： （1）磁感应强度B0的大小； （2）要使正离子从O′垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。 【能力提升】 1．静止在同一匀强磁场中的两种放射性元素的原子核A、B，其中一个放出α粒子，另一个放出β粒子，运动方向都与磁场方向垂直。图中a、b与c、d分别表示各粒子的运动轨迹，下列说法中正确的是（　　） A．甲图为β衰变，图乙为α衰变 B．a为α粒子运动轨迹，c为β粒子运动轨迹 C．甲图中两个粒子环绕方向相同，乙图中两个粒子环绕方向相反 D．a轨迹粒子比b轨迹中的粒子动量小，c轨迹中的粒子比d轨迹中的粒子动量大 2．如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中，固定一内壁光滑的圆柱形薄壁绝缘管道，其轴线与磁场垂直。管道横截面半径为a，长度为。带电粒子束持续以速度大小为v、方向与轴线成角自管道左端轴线处进入管道，粒子在磁场力作用下经过一段圆弧（圆弧半径小于a）打到管壁上，与管壁发生弹性碰撞，多次碰撞后从另一端射出。单位时间进入管道的粒子数为n，粒子电荷量为，不计粒子的重力、粒子间的相互作用，以及空气阻力的影响。下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的圆弧半径大小与v和均有关 B．粒子相邻两次打到管壁上经历的时间与和B均无关 C．粒子束在管道内的等效电流与v和a均有关 D．粒子束对管道的平均作用力大小与v和a均无关 3．太阳黑子群13679在北京时间2024年05月24日10时49分爆发了一个C4.9级小耀斑，耀斑从太阳的日冕抛射出高能的电子、离子和原子云气团，其中的一部分射向了地球，使地球上许多高纬地区出现了美丽壮观的极光。如图所示，科学家发现并证实，这些高能带电粒子流向两极做螺旋运动，旋转半径不断减小，原因可能是（    ） A．重力对粒子做正功，使其动能增大 B．越接近两极，地磁场的磁感应强度越大 C．洛伦兹力对粒子做负功，使其动能减小 D．空气分子与粒子碰撞，使粒子的带电量减少 4．如图所示，用洛伦兹力演示仪研究带电粒子在匀强磁场中的运动，以虚线表示电极K释放出来的电子束的径迹。在施加磁场之前，电子经加速后沿直线运动，如图甲所示；施加磁场后电子束的径迹，如图乙所示；再调节演示仪可得到图丙所示的电子束径迹。下列说法正确的是（    ） A．施加的磁场方向为垂直纸面向外 B．在图乙基础上仅提高电子的加速电压，可得到图丙所示电子束径迹 C．在图乙基础上仅增大磁感应强度，可得到图丙所示电子束径迹 D．图乙与图丙中电子运动一周的时间一定不相等 5．如图所示，一个粒子从x轴上的P点以速度沿与x轴成的方向射入第一象限内的匀强磁场中，恰好垂直于y轴从A点射出第一象限。一个质子从坐标原点O以速度沿与x轴成的方向射入第一象限，也恰好从A点射出第一象限。则等于（     ） A．3:1 B．1:3 C．4:1 D．1:4 6．如图所示，abcd为边长为L的正方形，在四分之一圆abd区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从b点沿ba方向以初速度大小v（未知）射入磁场，粒子仅能从正方形cd边（含c、d两点）射出正方形区域，该粒子在磁场中运动时间为t，不计粒子的重力，则（　　） A． B． C． D． 7．如图所示，在纸面内水平放置两根长直导线AB和CD，只有一条导线中通有恒定电流。在纸面内，一电子由E点开始经过F运动到G的轨迹如图中曲线所示，下列说法中正确的是（　　） A．导线AB中通有从A到B方向的电流 B．导线AB中通有从B到A方向的电流 C．导线CD中通有从C到D方向的电流 D．导线CD中通有从D到C方向的电流 8．如图为一个光滑绝缘的半圆柱形容器的剖面图，圆心所在的轴线上水平固定一垂直纸面向内的通电长直导线，带正电的小物体（可视为点电荷）从左端由静止开始释放，下列说法正确的是（　　） A．刚释放时，正电荷所受洛伦兹力竖直向上 B．若带电量足够大，运动过程中，小物体可能会脱离容器表面 C．无论小物体是否带电，都一定可以滑至右侧等高处 D．物块滑至容器底部时，轨道对物体的支持力大于轨道受到的压力 9．如图所示，在水平xOy平面内存在着垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度，在y轴正半轴距离原点5cm处有一粒子放射源A，可向任意方向发射速度大小为的带正电粒子，带电粒子的比荷为，在x轴上范围存在一个下表面涂有感光物质的挡板，粒子打在其上会感光，则在挡板下表面出现光斑的范围是（　　） A． B． C． D． 10．如图所示，四根通有恒定电流的长直导线垂直平面放置，四根长直导线与平面的交点组成边长为的正方形且关于轴和轴对称，各导线中电流方向已标出，其中导线1、3中电流大小为，导线2、4中电流大小为。已知通电长直导线周围的磁感应强度大小与电流成正比、与该点到通电长直导线的距离成反比，即、下列说法正确的是（　　） A．长直导线1、4之间的相互作用力为吸引力 B．一垂直于纸面并从点射入的粒子，将做圆周运动 C．导线4受到的导线1、2、3的作用力的合力方向指向点 D．仅将导线2中的电流反向，则导线2和4连线上各点磁感应强度方向均相同 11．（多选）如图所示，把一质量为，q=1C的带正电小球放在高度的直杆的顶端，一颗质量的子弹以的速度沿水平方向击中小球，并穿过球心，子弹落地点B离杆的距离，整个过程中小球的电荷量和质量均不变，重力加速度g取，下列说法正确的是（　　） A．小球落地点A离杆的距离 B．小球与子弹组成的系统机械能守恒 C．若在杆右侧空间加一垂直纸面向外的匀强磁场，小球落地点到杆底端间距变大 D．若在杆右侧空间加一垂直纸面向外的匀强电场E=16N/C，小球落地点到B点距离为100m 12．（多选）著名物理学家狄拉克曾经预言：“自然界应该存在只有一个磁极的磁单极子，其周围磁感线呈均匀辐射状分布（如图甲所示），距离它r处的磁感应强度大小为（k为常数），其磁场分布与负点电荷的电场分布相似”。现假设磁单极子S固定，有一质量为m，电量为q（电性未知）带电小球在S极附近距离r处做匀速圆周运动，运动轨迹相对于S中心形成的圆锥顶角为，重力加速度为g。则关于小球做匀速圆周运动的判断正确的是（　　）    A．若小球带正电，从上向下看粒子逆时针做匀速圆周运动，线速度大小为 B．若小球带正电，从上向下看粒子逆时针做匀速圆周运动，线速度大小为 C．若小球带负电，从上向下看粒子顺时针做匀速圆周运动，线速度大小为 D．若小球带负电，从上向下看粒子顺时针做匀速圆周运动，线速度大小为 13．（多选）如图所示，空间中有一底角为60°的等腰梯形，上底与腰长均为L，梯形内部存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，下底bc的中点e处有一粒子源，可以向bc上方任意方向射出速度大小可变的电子，已知电子的比荷为k，下列说法正确的是（　　） A．若粒子可以到达a点，则其最小速度为 B．若粒子可以到达ab边，则其最小速度为 C．ab、ad边有粒子射出，则dc边一定有粒子射出 D．到达a点和到达d点的粒子一定具有相同的速率 14．如图所示，空间有垂直于纸面的匀强磁场和，磁感应强度大小均为0.1T，分布在半径的圆形区域内，MN为过其圆心O的竖直线，分布在MN左侧的半圆形区域外。磁场中有粒子源S，S与O的距离，且，某时刻粒子源S沿着纸面一次性向各个方向均匀射出一群相同的带正电粒子，每个粒子的质量、电量、速率，不计粒子之间的相互作用，求 (1)粒子在匀强磁场中运动的半径； (2)能进入圆形区域的粒子所占的比率； (3)最终射出圆形区域时速度方向与SO平行的粒子在磁场中运动的总时间。 15．如图所示，一个质量为、带负电荷粒子的电荷量为、不计重力的带电粒子从轴上的点以速度沿与轴成的方向射入第一象限内的匀强磁场中，恰好垂直于轴射出第一象限。已知。 （1）求匀强磁场的磁感应强度的大小； （2）让大量这种带电粒子同时从轴上的点以速度沿与轴成0到的方向垂直磁场射入第一象限内，求轴上有带电粒子穿过的区域范围； （3）为了使该粒子能以速度垂直于轴射出，实际上只需在第一象限适当的地方加一个垂直于平面、磁感强度为的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个矩形区域内，试求这矩形磁场区域的最小面积。 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$