1.3 解直角三角形（2） 课件2024-2025学年浙教版数学九年级下册

浙教版 九年级下册 第1章 解直角三角形 1.3 解直角三角形（2） 【1】特殊锐角三角函数值 课前复习 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 2 新知学习 1.两锐角之间的关系: 2.三边之间的关系: 3.边角之间的关系 ∠A+∠B=90° AC2+BC2=AB2 【2】解直角三角形的依据 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 3 新知学习 【合作学习】解决有关梯形的计算问题 如图有个直角梯形ABCD，∠C=60°，AD=1，DC=2，你能否计算出BC的长度？ E 【分析】1.添加高线，构造直角三角形 2.解直角三角形 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 4 新知学习 如图有个直角梯形ABCD，∠C=60°，AD=1，DC=2，你能否计算出BC的长度？ 法一： 解：过D作DE⊥BC 在Rt△DCE中，DC=2，∠C=60° 即EC=2cos60°=1 ∵∠A=∠B=∠DEB=90° ∴四边形ABED是矩形 ∴AD=BE=1 ∴BC=1+1=2 E 【合作学习】解决有关梯形的计算问题 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 5 新知学习 如图有个直角梯形ABCD，∠C=60°，AD=1，DC=2，你能否计算出BC的长度？ 【合作学习】解决有关梯形的计算问题 法二： 解：延长BA，CD，交于点E ∵AD//BC ∴∠C=∠EDA=60° ∵在Rt△EAD中，AD=1 ∴CE=ED+DC=4 ∵在Rt△EBC中，∠C=60° ∴BC=2 E 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 6 新知学习 【例1】一水库大坝的横断面是梯形ABCD，测得坝顶BC宽6米，斜坡CD长为60米，斜坡CD的坡比为1∶2.5 ，斜坡AB的坡比为1：3.求： （1）斜坡CD的坡角∠D与坝底AD的宽度；(角度精确到1′，长度精确到0.1米） （2）若堤坝长150m，问建造这个堤坝需用多少土石方(精确到1m3). F E A B D C 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 7 新知学习 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 8 新知学习 解：(1)如图，作BE⊥AD，CF⊥AD，点E，F为垂足 在Rt△CFD中， ∴ ∠D≈21°48′. ∴ CF= CD ·sinD=60 × sin 21°48′≈22.28(m) DF= CD·cosD=60 × cos21°48′≈55.71(m) ∴AD=AE+EF+DF=AE+BC+DF=66.84+6+55.71=128.55≈128.6 (m) ∴ AE=3BE=3CF=66.84(m), （1）斜坡CD的坡角∠D与坝底AD的宽度；(角度精确到1′，长度精确到0.1米） F E A B D C 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 9 新知学习 （2）若堤坝长150m，问建造这个堤坝需用多少土石方(精确到1m3). 解：(2)横断面面积： 需要土石方： 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 10 新知学习 体育项目400M栏比赛中，规定相邻两栏架的路程为45m. 在弯道处，以跑道离内侧0.3m处的弧线（图1-17中的虚线）的长度作为相邻两栏架之间的间隔路程. 已知跑道的内侧线半径为36m.在放置好A栏架后，给你皮卷尺，你能否确定B栏架的位置？ 【合作学习】解决有关圆形的计算问题 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 11 新知学习 抽象 【例2】体育项目400M栏比赛中，规定相邻两栏架的路程为45m. 在弯道处，以跑道离内侧0.3m处的弧线（图1-17中的虚线）的长度作为相邻两栏架之间的间隔路程. 已知跑道的内侧线半径为36m.问在设定A栏架后，B栏架离栏架的距离是多少（π取3.14，结果精确到0.1m） 【分析】1.添加高线，构造直角三角形. 2.利用弧长计算角度 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 12 新知学习 解：如图，连结AB.由题意得 =45m，OB＝36.3m 设∠AOB＝n°，由弧长公式 可以得到 作OC⊥AB于点C ∵OA＝OB, ∴AC=BC, ∠AOC=0.5∠AOB=35.52° ∴ AC=OAsin∠AOC =36.3×sin 35.52° ≈21.09(m), ∴ AB=2AC=2×21.09≈42.2(m). 答：设定A栏架的位置后，B栏架离A栏架的距离约为42.2m. 【思考】若过点B作BC⊥AO，构造直角三角形，是否可行？ 【方法】解决这类圆形的计算问题，我们可以通过添加高线化归为解直角三角形问题。 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 13 新知学习 【例3】如图，在圆内接正十边形中，AB是正十边形的一条边，M是∠ABO的平分线与半径OA的交点. （1）设⊙O的半径为R，用关于R的代数式表示正十边形的边长AB. 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 14 新知学习 法一（相似）：由题意得∠O=36°，∠OAB=72° ∵BM平分∠OAB ∴∠OBM=∠ABM=36° ∴∠ABM=∠O ∴△ABM∽△BOA 设AB=x，则 ∵∠O=∠OBM=36° ∴OM=BM=AB 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 15 新知学习 法二（解直角三角形）： 过点O作OC⊥AB C BC=AC ∵在Rt△BOC中，BC=OB·sin∠BOC=Rsin18° ∴AB=2BC=2Rsin18° 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 16 新知学习 C （2）你发现sin18°和黄金比有怎样的关系？ ∴sin18°等于黄金比的一半. 【思考】你还能提出什么问题？ 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 17 【练习】渔湾是国家“AAAA”级风景区，如图①是景区游览的部分示意图．如图②，小卓从九孔桥A处出发，沿着坡角为48°的山坡向上走了92 m到达B处的三龙潭瀑布，再沿坡角为37°的山坡向上走了30 m到达C处的二龙潭瀑布． 学以致用 求小卓从A处的九孔桥到C处的二龙潭瀑布上升的高度DC为多少米？(结果精确到0.1 m，参考数据：sin48°≈0.74，cos 48°≈0.67，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80) 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 18 求小卓从A处的九孔桥到C处的二龙潭瀑布上升的高度DC为多少米？(结果精确到 0.1 m，参考数据：sin 48°≈0.74，cos 48°≈0.67，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80) 学以致用 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 19 学以致用 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 20 学以致用 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 21 课堂总结 解直角三角形的应用 将弧长的测量转化为测量弦长 坡度问题 坡角 坡度(或坡比) 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 22 【新知1】坡角、坡度(或坡比) (1)坡度：如图，坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记做i，即i＝eq \f(h,l). 坡度通常写成1∶m的形式． (2)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记做α. (3)坡度与坡角的关系：i＝eq \f(h,l)＝tan α， 即坡度等于坡角的正切值． 解：如图，过点B作BE⊥AD, BF⊥CD，垂足分别为E，F，则四边形BEDF是矩形， ∴FD＝BE. 在Rt△ABE中，sin ∠BAE＝， ∴BE＝AB·sin ∠BAE＝92×sin 48°≈92×0.74＝68.08(m)，∴FD＝BE≈68.08 m. 在Rt△CBF中，sin ∠CBF＝， ∴CF＝BC·sin ∠CBF＝30×sin 37°≈30×0.60＝18.00(m)． ∴DC＝FD＋CF≈68.08＋18.00≈86.1(m)． 答：小卓从A处的九孔桥到C处的二龙潭瀑布上升的高度DC约为86.1 m. $$