湖北省咸宁市崇阳县第二高级中学2024-2025学年高二上学期数学周测试题（十）

崇阳二中高二上学期数学周测试题（十） 一、单选题 1. 直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 2. 已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：412        451        312        531        224        344        151        254        424        142    435        414        135        432        123        233        314        232        353        442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（   ） A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55 3. 已知椭圆方程为，点在椭圆上，右焦点为F，过原点的直线与椭圆交于A，B两点，若，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆与轴的交点，若是钝角三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5. 已知，则在方向上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 6. 圆与圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 7. 点集表示的曲线总长度等于（    ） A． B． C． D． 8. 已知两圆和恰有三条公切线，若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9. 已知直线与，过定点，则下列说法正确的是（   ） A．点的坐标为 B．“”的充要条件是“” C． “”是“”的必要不充分条件 D．点到直线的距离的最大值为1 10. 已知，分别是椭圆：的左、右焦点，，是上关于坐标原点对称的两个点，则（    ） A．的离心率为 B． C．四边形面积的最大值为 D．的最大值为 11. 已知实数，满足，则下列选项成立的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题 12. 双曲线的两个焦点分别是与，焦距为是双曲线上的一点，且，则 ． 13. 在中,,若以为焦点的椭圆经过点,则该椭圆的离心率 . 14. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，圆，点为轴上一动点.现由点向点发射一道粗细不计的光线，光线经轴反射后与圆有交点，则的取值范围为 . 四、解答题 15. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高线所在直线方程为． (1)求边所在直线的方程； (2)求的面积． 16. 已知圆的圆心在直线上，圆心在第一象限，该圆与轴相切，且圆过点，直线的方程为. (1)求圆的标准方程； (2)证明：直线与圆相交； (3)当直线被圆截得的弦长最短时，求直线的方程及最短弦长. 17. 已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 18. 如图，已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面 是正三角形，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 19. 为了了解学生数学竞赛（满分100分）成绩的情况，随机抽取了100名参赛学生的成绩，并分成了五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同. (1)求出频率分布直方图中a，b的值，并估计此次竞赛成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，第二组考生成绩的平均数和 方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此估计这次第二组和第四组所有参赛学生成绩的方差； (3)甲、乙、丙3名同学同时做试卷中同一道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为，假设他们三人是否解出该题互不影响，求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 崇阳二中高二上学期数学周测试题（十）参考答案： 1．C【详解】令，解得，所以直线在轴上的截距为. 2．C【详解】代表事件“一年没有1台设备需要维修”的数组有：224，344，254，424，435，432，233，232，353，442，共10组，估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为 3．A【详解】由点在椭圆上得，由椭圆的对称性可得，则， 4．D【详解】如图，因为是钝角三角形，所以， 所以，即， 5．D【详解】，，所以， 所以在方向上的投影向量的坐标为. 6． A【详解】圆①与圆②，①－②得，即公共弦方程为，又圆的半径为，圆心到直线距离，所以公共弦长为. 7．C【详解】由题意可知：，解得， 因为，则或， 若，且，表示以为端点的线段， 此时表示的曲线总长度为； 若，整理得，表示以为圆心，半径为1的上半圆， 此时表示的曲线总长度为；综上所述：点集表示的曲线总长度等于. 8．B【详解】根据题意可得，两圆的标准方程为和， 圆心为和，半径分别为2，1，若两圆恰有三条公切线，则等价为两圆外切， 则满足圆心距，即则， 则, 当且仅当，即，取等号. 10．ABD【详解】因为，即，所以过定点，故A正确.因为直线，所以，解得，所以“”的充要条件是“”，故B正确.因为直线，所以，解得或，经检验都成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故C错误. 因为过定点，所以点到直线距离的最大值， 是到定点的距离，即为，故D正确. 11．BCD【详解】对于A，由已知得，，，故的离心率为，故A错误；对于B，由椭圆定义知， 所以，当且仅当时等号成立， 于是，故B正确； 对于C，由已知得四边形为平行四边形，当时，该四边形面积最大，最大值为，故C正确；对于D，， 当且仅当时等号成立， 而，所以的最大值为，故D正确.   12．AB【详解】对于A，∵ ， ∴，∴，∴， ∴当且仅当时，的最大值为，故A正确； 对于B，设，则，（）， 设，则为直线（除点外）与圆的公共点， ∴直线（除点外）与圆相切或相交， ∴设圆心到直线即的距离为， 则，解得，∴的最小值为，故B正确； 对于C，设圆上一点， 则到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离与半径之和， ∴，∴，∴， ∴的最大值为，故C错误；对于D，设圆上一点， 则到圆外一点距离的最小值为圆心到点的距离与半径之差， ∴， ∴，∴的最小值为，故D错误. 13．9【详解】焦距，在双曲线中有， 因为，解得，由双曲线定义：， 得或，由图，舍去，∴. 14．【详解】因为，所以，得，由余弦定理得， 所以，因为以为焦点的椭圆经过点，所以， ，所以椭圆的离心率为. 14.【详解】方法一：作点关于轴的对称点，则直线与圆有交点． 又，所以直线的方程为，即．由题知圆的圆心为，半径为1，直线与圆有交点，即圆心到直线的距离小于等于1， 所以，解得． 方法二：作点关于轴的对称点，则直线与圆有交点， 临界情况为直线与圆相切．设切点为，令， 易得，所以． 因为直线的斜率为，所以直线的斜率． 易得直线的方程为．所以．  15．【详解】（1）因为，所以设直线的方程为：， 将代入得，所以直线的方程为：， 联立，所在直线方程：，解得， 设，因为为的中点，所以，因为在直线上，在上， 所以，，解得，所以，，所以所在直线的方程为：，即. （2）点到直线的距离为：，又，所以. 16．【详解】（1）设圆的方程为 ； 由已知可得：，所以圆的方程为； 把点代入上式，得，解得， 所以圆的标准方程为：. （2）证明：直线：，可化为， 又，所以，解得，即直线恒过定点. 而，定点在圆内，故直线：与圆相交. （3）由题意，直线被圆截得弦长最短时，直线， 设直线的斜率为，且直线的斜率为，所以，得， 故的方程为，即为.圆心到的距离为， 此时弦长为：. 17．【详解】（1）由题意得，解得， 所以. （2）法一：，则直线的方程为，即， ，由（1）知，设点到直线的距离为，则，则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点，设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或，即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 法二：同法一得到直线的方程为，点到直线的距离， 设，则，解得或，即或， 以下同法一. 法三：同法一得到直线的方程为，点到直线的距离， 设，其中，则有，联立，解得或，即或，以下同法一； 法四：当直线的斜率不存在时，此时， ，符合题意，此时，直线的方程为，即， 当线的斜率存在时，设直线的方程为，联立椭圆方程有，则，其中，即，解得或，，， 令，则，则同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离，则，解得， 此时，则得到此时，直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 法五：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当的斜率存在时，设，令， ，消可得， ，且，即， ， 到直线距离， 或，均满足题意，或，即或. 法六：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件.当直线斜率存在时，设， 设与轴的交点为，令，则， 联立，则有， ， 其中，且， 则，则， 或，经代入判别式验证均满足题意. 则直线为或，即或. 18.【详解】（1）证明：因为是正三角形，是的中点，  所以.又因为平面平面， 平面，所以面； （2）因为两两互相垂直.以点为原点，的方向分别为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 则， 设平面的法向量为，由，得 ，点到平面的距离 （3）设 所以点到面的距离为定值. ， 解得：或. 19.【详解】（1）由题意可知：，解得 可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05， 所以平均数等于， （2）设第二组、第四组的平均数与方差分别为， 且两组频率之比为，成绩在第二组、第四组的平均数 成绩在第二组、第四组的方差 ， 故估计成绩在第二组、第四组的方差是. （3）设“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B，“丙解出该题”为事件，“甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题”为事件， 由题意得， 所以， 所以，所以乙、丙各自解出该题的概率为， 则，因为， 所以，因为相互独立， 所以， 所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$