1.1 充分条件和必要条件导学案-2024-2025学年高二上学期高教版(2021)中职数学拓展模块一（上册）

单县五中 职教高二年级 数学导学案 2024年 11月 22日 星期五 充分条件和必要条件 【学习目标】： 通过学习，了解充分条件和必要条件的概念；了解命题中条件与结论的关系；知道条件与结论之间的充分性和必要性.；通过学习，逐步提升逻辑推理和数学抽象等核心素养． 【学习重难点】： 重点：充分条件与必要条件概念的概念的理解； 难点：1.必要条件的理解 2.充分条件、必要条件的判断方法 【自主预习】： 1.预习—— ①命题 ：能判断真假的陈述句称为命题 ②真命题：判断为真的命题称为真命题， ③假命题：判断为假的命题称为假命题. ④逆命题 2.预习—— 充分条件：一般地，若命题“如果p，那么q”是真命题，即由p可以推出q，则称p是q的充分条件，记作p⇒q. 必要条件：一般地，若命题“如果p，那么q”的逆命题“如果q，那么p”是真命题，则称p是q的必要条件，记作p⇐q. （一）交流探索解决问题 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？说出原命题的逆命题，并判断是真命题还是假命题？ (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等．　 (3)若则-4=0 ； (4)若ab＝0，则a2＋b2＝0； [答案] （1） (3)是真命题， （2）（4）是假命题 例：若x=2则x2-4=0为真命题，那么这个命题还可以表述为： x=2⇒x2-4=0; x=2是x2-4=0的充分条件； x2-4=0是x=2的必要条件 （二）合作探究：充分条件与必要条件 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q这时，我们就说，由p可以推出q，记作 p⇒q ，并且说p是q的 充分条件 ，q是p的 必要条件 ． 例1 指出下列命题的条件p和结论q，并判断p是否为q的充分条件. (1)如果x是整数，那么x是有理数； (2)如果a=0，那么ab=0； (3)第一象限角都是锐角. 解 (1)条件p:x是整数；结论q: 是有理数.因为当x 是整数时， x一定是有理数，所以此命题是真命题，p是q的充分条件； (2)条件p:a=0；结论q: ab=0.因为当a=0时，一定有ab=0, 所以此命题是真命题, p是q的充分条件；  (3)原命题可以表述为：“如果一个角是第一象限角,那么这个角是锐角”.条件p:一个角是第一象限角；结论q: 这个角是锐角. 因为第一象限角构成的集合为,其中的角不一定是锐角，所以此命题是假命题，p不是q的充分条件. 变式训练1、 1.指出下列命题的条件p和结论q，并判断p是否为q的充分条件. (1)如果x>2,那么| x |>2；  (2)如果，那么α是第一象限的角； (3) 如果指数函数 y=ax的底数a >1，那么这个指数两数在R上是增函数；  (4)两个全等三角形的面积相等.  解 (1)条件p: x>2,；结论q: | x |>2.因为p⇒q，所以p是q的充分条件； (2)条件p: ；结论q: α是第一象限的角.因为 p⇏q，所以p不是q的充分条件； (3)条件p: 指数函数 y=ax的底数a >1；结论q: 这个指数两数在R上是增函数.因为p⇒q，所以p是q的充分条件； (4)条件p: 两个全等三角形；结论q: 面积相等.因为p⇒q，所以p是q的充分条件； 例2 判断下列命题中的条件p是否为结论q的必要条件. (1)如果x+y为偶数，那么x、y都是偶数； (2)如果，那么； (3)如果a=b，那么| a |=| b |. 解 (1)因为“如果x+y为偶数,那么x、y都是偶数”的逆命题“如果x、y都是偶数,那么x+y为偶数”是真命题，所以“x+y为偶数”是“x、y都是偶数”的必要条件； (2)因为“如果，那么”的逆命题“如果，那么”是假命题，所以“”不是“”的必要条件； (3)因为“如果a=b，那么| a |=| b |”的逆命题“如果| a |=| b |，那么a=b”是假命题，所以“| a |=| b |”不是“a=b”的必要条件. 变式训练2 1.指出下列命题的条件p和结论q，并判断p是否为q的必要条件. (1) 如果 a+2>b+1,那么a> b； (2)如果一次函数f(x)=kx+b是R上的增函数，那么k>0；  (3)如果α=60°,那么；  (4)如果直线 y=kx+b经过第二、三、四象限，那么k<0. 解 (1)因为“如果 a+2>b+1,那么a> b”的逆命题“如果a> b,那么 a+2>b+1”是真命题，所以“a+2>b+1”是“a> b”的必要条件； (2)因为“如果一次函数f(x)=kx+b是R上的增函数，那么k>0”的逆命题“如果k>0,那么 一次函数f(x)=kx+b是R上的增函数”是真命题，所以“一次函数f(x)=kx+b是R上的增函数”是“k>0”的必要条件； (3)因为“如果α=60°,那么”的逆命题“如果，那么α=60°”是假命题，所以“如果α=60°”不是“”的必要条件. 【当堂检测】 1.用“充分条件”或“必要条件”填空： （1）是的______充分条件________； （2）四边形的对角线互相垂直是四边形为菱形的____必要条件____. 2.下列命题中，p是q的充分条件的是____③____． ①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0； ②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等； ③已知A⊆B，p:“x∈A”q:“x∈B”． 3.下列命题中，p是q的必要条件的是___(2)_____． (1)p：x>2且y>3，q：x＋y>5； (2)p：四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形． 本节课你有哪些收获？ 第 4 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$