江苏省/无锡市东林中学2024-2025学年九年级上学期数学第12周阶段性训练模拟练习

江苏无锡市东林中学2024-2025学年九上数学第12周阶段性训练模拟练习 一．选择题（共5小题） 1．如图，OA、OB是⊙O的半径，C是⊙O上一点．若∠OAC＝16°，∠OBC＝54°，则∠AOB的大小是（　　） A．70° B．72° C．74° D．76° 2．若关于x的一元二次方程ax2+k＝0的一个根为2，则二次函数y＝a（x+1）2+k与x轴的交点坐标为（　　） A．（﹣3，0）、（1，0） B．（﹣2，0）、（2，0） C．（﹣1，0）、（1，0） D．（﹣1，0）、（3，0） 3．如图，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在AB，AC上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上，若FD平分∠EFB，则AD的长为（　　） A． B． C． D． 4．如图，AB为⊙O的直径，PB，PC分别与⊙O相切于点B，C，过点C作AB的垂线，垂足为E，交⊙O于点D．若CD＝PB＝2，则BE长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，A，B，C，D为⊙O上的点，且直线AB与CD夹角为45°．若，，的长分别为π，π和3π，则⊙O的半径是（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 二．填空题（共12小题） 6．如图，l1∥l2∥l3，若AD＝1，BE＝3，CF＝6，则的值为 　 　． 7．已知二次函数y＝x2+2mx+1，若x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是　 　． 8．如图，弦AB是⊙O的内接正六边形的一边，弦AC是⊙O的内接正方形的一边，若BC＝2+2，则⊙O的半径为 　 　． 9．如图，正方形ABCD的边长是4，点E在DC上，点F在AC上，∠BFE＝90°，若CE＝1．则AF的长为 　 　． 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点E、F分别为AD、CD边上的点，且EF的长为2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为 　 　． 11．如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC外角的平分线交⊙O于点D，射线AD交CB延长线于点E．若∠BAC＝28°，BC＝BD，则∠E的度数为 　 　°． 12．小淇从⊙O中剪下一个图形（图1）．对折后（图2），若AC＝2，BC＝4，则⊙O半径为 　 　． 13．将正六边形ABCDEF和正五边形BCGHI按如图所示的位置摆放，连接DG，则∠CDG＝　 　． 14．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是边E上的高，⊙E，⊙F分别是△ACD，△BCD的内切圆，则⊙E与⊙F的面积比为 　 　． 15．如图，△ABC是等边三角形，点P是边BC上的一点，且CP＞BP，以PC为边作等边△PCE．若△PAB的面积与△PCE的面积相等，则的值为 　 　． 16．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，AF是⊙O的直径，P是⊙O上的一点（不与点B，F重合），则∠BPF的度数为 　 　°． 17．如图，在▱ABCD中，以CD为直径作⊙O，⊙O经过点A，且与BD交于点E，连接AE并延长，与BC交于点F，若F是BC的中点，AF＝6，则AB＝　 　． 三．解答题（共6小题） 18．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，连接BC，过点D作DE⊥CD，交⊙O于点E，连接AE，F是DE延长线上一点，且∠BCD＝∠FAE． （1）求证：AF是⊙O的切线； （2）若AF＝2，EF＝1，求⊙O的半径． 19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E． （1）求证：∠BAC＝2∠DAC； （2）若AB＝10，CD＝5，求BC的值． 20．定义：圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个顶点（非切点）的圆，称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”． （1）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则BC边上的伴随圆的半径为 　 　． （2）如图②，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，直接写出它的所有伴随圆的半径． （3）如图③，△ABC中∠ACB＝90°，点E在边AB上，AE＝2BE，D为AC的中点，且∠CED＝90°． ①求证：△CED的外接圆是△ABC的AC边上的伴随圆； ②的值为 　 　． 21．一企业生产并销售某种产品（假设销量与产量相等），已知该产品每千克生产成本为40元，售价y（元）与产量x（kg）之间的函数关系为． （1）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ （2）若企业每销售该产品1kg需支出其他费用a元（a＞0），当70≤x≤80时该企业获得的最大利润为2450元，求a的值． 22．如图，在△ABC中，CA＝CB，E为AB上一点，作EF∥BC，与AC交于点F，经过点A，E，F的⊙O与BC相切于点D，连接AD． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）若AE＝5，BE＝4，求CD的长． 23．如图，在⊙O中，AB＝AC． （1）若∠BOC＝100°，则的度数为 　 　°； （2）若AB＝13，BC＝10，求⊙O的半径． 参考答案与试题解析 一．选择题（共5小题） 1．【解答】解：如图， ， ∵∠OAC＝16°，∠OBC＝54°， ∴∠OBC﹣∠OAC＝54°﹣16°＝38°； 在△ADO和△BCD中， ∵∠ADO＝∠BDC， ∴∠AOB﹣∠ACB＝∠OBC﹣∠OAC＝38°， ∵∠AOB＝2∠ACB， ∴2∠ACB﹣∠ACB＝38°， ∴∠ACB＝38°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝2×38°＝76°． 故选：D． 2．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+k＝0的一个根为2， ∴4a+k＝0， 解得k＝﹣4a， 把k＝﹣4a代入y＝a（x+1）2+k中， 得y＝a（x+1）2﹣4a， 当y＝0时，a（x+1）2﹣4a＝0， 即a（x+1）2＝4a， ∵a≠0， ∴（x+1）2＝4， 解得x＝1或x＝﹣3， ∴二次函数y＝a（x+1）2+k与x轴的交点坐标为（1，0）和（﹣3，0）， 故选：A． 3．【解答】解：作DH⊥BC于H， 在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°， 由勾股定理得：AB＝， ∵将△ADE沿DE翻折得△DEF， ∴AD＝DF，∠A＝∠DFE， ∵FD平分∠EFB， ∴∠DFE＝∠DFH， ∴∠DFH＝∠A， 设DH＝3x， 在Rt△DHF中，sin∠DFH＝sinA＝， ∴DF＝5x， ∴BD＝5﹣5x， ∵△BDH∽△BAC， ∴， ∴， ∴x＝， ∴AD＝5x＝． 故选：B． 4．【解答】解：作CH⊥PB于H， ∵直径AB⊥CD于H， ∴CE＝DE＝CD＝， ∵PC，PB分别切⊙O于C，B， ∴PB＝PC＝CD＝2，直径AB⊥PB， ∴四边形ECHB是矩形， ∴BH＝CE＝，BE＝CH， ∴PH＝PB﹣BH＝2﹣＝， ∴CH＝＝＝3， ∴BE＝CH＝3． 故选：C． 5．【解答】解：∵，，的长分别为π，π和3π， ∴的长为2π，的长为4π， ∴设弧长为π所对的圆周角为α，则∠BDC＝2α，∠ABD＝4α， ∵∠BDC+∠ABD+∠E＝180°，∠E＝45°， ∴2α+4α+45°＝180°， ∴α＝， ∴弧长为π所对的圆心角为×2＝45°， ∴＝π， ∴R＝4， 故选：A． 二．填空题（共12小题） 6．【解答】解：延长CA，FD交于点G， ∵l1∥l2， ∴， ∴AB＝BG﹣AG＝2AG， ∵l1∥l3， ∴， ∴BC＝CG﹣BG＝3AG， ∴， 故答案为：． 7．【解答】解：∵二次函数y＝x2+2mx+1，当x＞1时，y随x的增大而增大， ∴﹣≤1， ∴m≥﹣1， 故答案为m≥﹣1． 8．【解答】解：连接OA、OC，OA与BC交于点D，作OH⊥BC于H． ∵弦AB是⊙O的内接正六边形的一边，弦AC是⊙O的内接正方形的一边， ∴，，∠AOB＝60°，∠AOC＝90°， ∴OB＝OA＝AB＝r，AC＝OA＝， ∴AH＝＝，CH＝＝＝r， ∵BC＝2+2， ∴r+r＝2+2， 解得r＝2． 故答案为：2． 9．【解答】解：过点F作FG⊥CD于点G，交AB于点H，如图所示： 则∠EGF＝∠FHB＝90°， ∴∠GEF+∠GFE＝90°， 在正方形ABCD中，∠BCD＝∠ABC＝90°，∠ACD＝∠CAB＝45°， ∴四边形BCGH是矩形， ∴CG＝BH， ∵∠GCA＝45°，∠CGF＝90°， ∴∠GFC＝45°， ∴CG＝GF， ∴GF＝BH， ∵∠BFE＝90°， ∴∠GFE+∠HFB＝90°， ∴∠HFB＝∠GEF， 在△GFE和△HBF中， ， ∴△GFE≌△HBF（AAS）， ∴FH＝GE， ∵∠CAB＝45°，∠AHF＝90°， ∴∠HFA＝45°， ∴AH＝FH， 设AH＝FH＝x， ∵正方形的边长为4， ∴AB＝4， 则GE＝x，HB＝4﹣x， ∵CG＝HB， ∴x+1＝4﹣x， 解得x＝， ∴AH＝FH＝， 在Rt△AFH中，根据勾股定理，得AF＝＝， 故答案为：． 10．【解答】解：∵EF＝2，点G为EF的中点， ∴DG＝1， ∴G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点， 作A关于BC的对称点A′，连接A′D，PA′， ∵PA′+PG+DG≥A′D， ∴当D，G，P，A′共线时，PA+PG＝PA′+PG的值最小， ∵AB＝2，AD＝4， ∴AA′＝4， ∴A′D＝4， ∴PA+PG≥A′D﹣DG＝4﹣1； ∴PA+PG的最小值为4﹣1； 故答案为：4﹣1． 11．【解答】解：∵BC＝BD， ∴＝， ∴∠BAC＝∠BAD＝28°， ∴∠DAC＝∠BAC+∠BAD＝56°， ∵四边形ACBD是圆内接四边形， ∴∠DBC+∠DAC＝180°， ∵∠DBC+∠DBE＝180°， ∴∠DBE＝∠DAC＝56°， ∵BD平分∠ABE， ∴∠ABE＝2∠DBE＝112°， ∴∠E＝180°﹣∠ABE﹣∠BAD＝40°， 故答案为：40． 12．【解答】解：如图：连接OB， 由折叠得：∠OCB＝90°， 设⊙O半径为r， ∵AC＝2， ∴OC＝OA﹣OC＝r﹣2， 在Rt△OBC中，BC＝4， ∵BC2+OC2＝OB2， ∴42+（r﹣2）2＝r2， 解得：r＝5， ∴⊙O半径为5， 故答案为：5． 13．【解答】解：由题意得，CG＝CD． ∴∠CGD＝∠CDG． ∵多边形ABCDEF是正六边形、多边形BCGHI是正五边形． ∴∠BCG＝120°，∠BCD＝108°． ∴∠DCG＝360°﹣∠BCG﹣∠BCD＝360°﹣120°﹣108°＝132°． ∴∠CGD+∠CDG＝180°﹣∠GCD＝48°． ∴2∠CDG＝48°． ∴∠CDG＝24°． 故答案为：24°． 14．【解答】解：在△ABC中， ∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝＝5， ∵S△ABC＝AB•CD＝AC•BC， ∴CD＝， 在Rt△ACD中，由勾股定理得， AD＝＝， ∴BD＝AB﹣AD＝， 设⊙E的半径为r，⊙F的半径为R，则 S△ACD＝AD•CD＝（AC+CD+AD）•r， 即×＝（3++）r， ∴r＝， 同理R＝， ∴⊙E与⊙F的面积比为＝＝， 故答案为：． 15．【解答】解：作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，设BP＝a，PC＝b， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝a+b， ∵sin∠ABM＝， ∴AM＝AB•sin60°＝（a+b）， ∴△ABP的面积＝+b）＝a（a+b）， ∵△EPC等边三角形， ∴NE＝PE＝b， ∴△EPC的面积＝b×b＝b2， ∵△ABP的面积＝△EPC的面积， ∴a（a+b）＝b2， ∴a2+ab﹣b2＝0， ∴a＝b，或a＝b（舍）， ∴＝， ∴＝． 故答案为：． 16．【解答】解：连接OC，OD， ∵正五边形ABCDE的五个顶点把圆五等分， ∴＝， ∴∠AOC＝∠AOD， ∴∠COF＝∠DOF， ∵OC＝OD， ∴直径AF⊥CD， ∴＝， ∵∠COD＝×360°＝72°， ∴∠COF＝＝36°， 当P在上时，连接OB，BP，FP， ∵∠BOC＝×360°＝72°， ∴∠BOF＝∠BOC+∠COF＝108°， ∴， 当P在上时， 由圆内接四边形的性质得∠BPF＝180°﹣54°＝126°． ∴∠BPF的度数是54°或126°． 故答案为：54或126． 17．【解答】解：连接AC，CE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵F是BC中点， ∴BF＝FC， ∵△BEF∽△DEA， ∴EF：EA＝BF：AD＝1：2， ∴EF＝AF＝×6＝2， ∵CD是⊙O的直径， ∴∠DEC＝∠DAC＝90°， ∴∠ACF＝∠DAC＝90°，∠BEC＝180°﹣∠DEC＝90°， ∴EF＝BF＝FC＝2，BC＝2EF＝4， ∵AC2＝AF2﹣FC2＝62﹣22＝32， ∴AB＝＝＝4． 故答案为：4． 三．解答题（共6小题） 18．【解答】（1）证明：如图，连接BE， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠BEA＝90°， ∵CD⊥AB， ∴＝， ∴∠BCD＝∠BED， ∵∠BCD＝∠FAE， ∴∠BED＝∠FAE， ∵CD⊥AB，DE⊥CD， ∴AB∥ED， ∴∠BED＝∠ABE， ∴∠ABE＝∠FAE， ∵∠ABE+∠BAE＝90°， ∴∠FAE+∠BAE＝90°， ∴∠BAF＝90°， ∴OA⊥AF， ∵OA是⊙O的半径， ∴AF是⊙O的切线； （2）解：∵∠APD＝∠D＝∠PAF＝90°， ∴四边形APDF是矩形， ∴∠AFE＝90°， ∵AF＝2，EF＝1， ∴AE＝＝， ∵∠F＝∠AEB＝90°，∠FAE＝∠EBA， ∴△FAE∽△EBA， ∴＝， ∴＝， ∴AB＝5， ∴OA＝AB＝． ∴⊙O的半径为． 19．【解答】（1）证明：∵BD⊥AC， ∴∠AEB＝∠BEC＝90°， ∴∠ACB＝90°﹣∠CBD， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣∠CBD， ∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝2∠CBD， ∵∠DAC＝∠CBD， ∴∠BAC＝2∠DAC； （2）解：过A作AH⊥BC于H， ∵AB＝AC， ∴∠BAH＝∠CAH＝CAB，CH＝BH， ∵∠BAC＝2∠DAC， ∴∠CAG＝∠CAH， 过C作CG⊥AD交AD的延长线于G， ∴∠G＝∠AHC＝90°， ∵AC＝AC， ∴△AGC≌△AHC（AAS）， ∴AG＝AH，CG＝CH， ∵∠CDG＝∠ABC， ∴△CDG∽△ABH， ∴， ∴＝， 设BH＝k，AH＝2k， ∴AB＝＝k＝10， ∴k＝2， ∴BC＝2k＝4． 20．【解答】解：（1）∵BC是圆的切线，∠BCA＝90°，AC＝4， ∴AC为圆的直径． ∴AC边上的伴随圆的半径为2． 当伴随圆经过点C与AB相切时，设半径为r，则有r2+22＝（4﹣r）2 解得r＝1.5， 故答案为：2或1.5； （2）当O在BC上时，如图（1）所示：连接OD，过点A作AE⊥BC． ∵AB＝AC，AE⊥BC， ∴BE＝EC＝3． 在△AEB中，由勾股定理可知AE＝＝4． ∵AB与⊙O相切， ∴OD⊥AB． ∴∠BDO＝∠BEA＝90°． 又∵∠OBD＝∠EBA， ∴△ODB∽△AEB． ∴． 设⊙O的半径为r．在OB＝6﹣r． ∴． ∴r＝． ∴△ABC的BC边上的伴随圆的半径为． 当O在AB上时，如图（2），连接OD、过点A作AE⊥BC，垂足为E． ∵BC与⊙O相切， ∴OD⊥BC． 又∵AE⊥BC， ∴OD∥AE． ∴△BOD∽△BAE． ∴． 设⊙O的半径为r，则OB＝5﹣r． ∴． ∴r＝． 如图（3）所示：连接OD、过点B作BF⊥AC，过点A作AE⊥BC，垂足为E． ∵S△ABC＝BC•AE＝AC•BF， ∴×6×4＝×5×BF． ∴BF＝4.8． ∵AC与⊙O相切， ∴DO⊥AC． ∴DO∥BF． ∴△AOD∽△ABF． ∴，即． ∴r＝． 综上所述，△ABC的伴随圆的半径分为或或； （3）①证明：如图（4）连接OE、OB． ∵△CED为直角三角形， ∴△CED的外接圆圆心O在CD中点． 设⊙O的半径为r，则DC＝2r，OA＝3r． ∴． ∵EA＝2BE， ∴＝， ∴＝， ∴ED∥OB． ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4． 又∵∠3＝∠2， ∴∠1＝∠4． 在△BCO和△BEO中， ， ∴△BCO≌△BEO（SAS）． ∴∠BEO＝∠BCO＝90°． ∴AB是圆O的切线． ∴△CED的外接圆是△ABC某一条边上的伴随圆． ②解：如图（4）设圆O的半径为r． ∵在Rt△OAE中，OA＝3r，OE＝r， ∴EA＝＝2r． ∴AB＝3r． ∵在Rt△ABC中，AC＝4r，AB＝3r， ∴BC＝＝r． ∵∠CED＝∠BCO＝90°，∠EDC＝∠1， ∴△DEC∽△OCB， ∴＝＝＝． 故答案为：． 21．【解答】解：（1）设当该产品产量为xkg时，获得的利润为w元， 根据题意，得w＝（﹣x+120﹣40）x＝﹣x2+80x＝﹣（x﹣80）2+3200， ∵， ∴当x＝80时，w有最大值，最大值为3200元， 答：当产品产量为80kg时，获得的利润最大，最大利润为3200元； （2）设当产品产量为x千克时，获得的利润为P元． 根据题意，得，即，其中70≤x≤80． 该函数图象的对称轴为直线x＝80﹣a． ①若a＞10，则当x＝70时，P有最大值，即P＝3150﹣70a＜2450， ②若0＜a≤10，则当x＝80﹣a时，P有最大值，将x＝80﹣a代入，得． 当P＝2450时，． 解得a1＝10，a2＝150（不合题意，舍去）． 综上所述，a的值为10． 22．【解答】（1）证明：连接OD， ∵BC切⊙O于D， ∴半径OD⊥BC， ∵EF∥BC， ∴OD⊥EF， ∴＝， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴AD平分∠BAC； （2）解：连接DE，DF， ∵EF∥BC， ∴∠DEF＝∠EDB， ∵＝， ∴∠DEF＝∠BAD， ∴∠EDB＝∠BAD， ∵∠EBD＝∠ABD， ∴△BDE∽△BAD， 同理证明：△CDF∽△CAD， ∴BD：AB＝BE：BD，CD：CA＝CF：CD， ∴BD：（4+5）＝4：BD， ∴BD＝6， ∵EF∥BC， ∴AF：FC＝AE：EB＝5：4， 设CD＝x， ∴CA＝CB＝x+6， ∴CF＝（x+6）， ∵CD2＝CF•CA， ∴x2＝（x+6）•（x+6）， ∴x＝12，或x＝﹣（舍）， ∴CD的长是12． 23．【解答】解：（1）∵在⊙O中，∠BOC＝100°， ∴∠BAC＝50°， ∵＝， ∴AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝65°， ∴＝130°， 故答案为：130； （2）连接AO，延长AO交BC于D，则AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝5， ∴在直角△ABD中，由勾股定理，得AD＝＝＝12； 在直角△OBD中，由勾股定理，得OB2＝（12﹣OB）2+52， 解得OB＝，即⊙O的半径是． 声明：试题解析著作权属所有，未经书 学科网（北京）股份有限公司 $$