1.5　三角函数的应用 课时作业 2024—2025学年北师大版数学九年级下册

5 三角函数的应用 方位角在三角函数中的应用 1.如图,一条东西向的大道上,A,B两景点相距20 km,C景点位于A景点北偏东60°方向上,位于B景点北偏西30°方向上,则A,C两景点相距 (　　) A.10 km B.10 km C.10 km D. km 2.(2024本溪月考)如图,l是南北方向的海岸线,码头A与灯塔B相距24 km,海岛C位于码头A北偏东60°方向.一艘勘测船从海岛C沿北偏西30°方向往灯塔B行驶,沿线勘测石油资源,勘测发现位于码头A北偏东15°方向的D处石油资源丰富.若规划修建从D处到海岸线的输油管道,则输油管道的最短长度是多少?(结果保留根号) 仰角、俯角在三角函数中的应用 3.如图,在一艘小船A上测得海岸上高为36 m的灯塔BC的顶部C处的仰角是30°,则船离灯塔的水平距离AB等于 (　　) A.36 m B.12 m C.18 m D.36 m 4.如图,平地上一幢建筑物AB与铁塔CD都垂直于地面,BD=50 m,在建筑物的顶部分别观测铁塔底部的俯角为45°,铁塔顶部的仰角为60°.则铁塔CD的高度为　　　　m(结果保留根号).  1.小亮在龙舟竞渡中心广场点P处观看 400 m直道竞速赛,如图,赛道AB为东西方向,赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上,终点B位于点P的北偏东60°方向上,AB=400 m,则点P到赛道AB的距离为(结果保留整数,参考数据:≈1.732)(　　) A.50 m B.100 m C.87 m D.173 m 2.如图,某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度,在河的南岸点A处,测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向,然后向西走80 m到达C点,测得点B在点C的北偏东60°方向,则这段河的宽度为 (　　) A.80(+1)m B.40(+1)m C.40(3-)m D.40(-1)m 3.如图,某天在一大型广场的监控中发现B处有一可疑人员,值班人员马上通知在B处的正西方向A处的便衣警察前往拦截.可疑人员以80 m/min的速度向西北方向行走,警察沿北偏东60°方向逼近,2 min后,在C处把可疑人员拦下,则警察的行程为　　　　m.  4.如图,某小组要测量风景区内两座小山山顶之间的滑行索道(索道近似看成线段)AD的长度.在山脚下的M处测得左侧山顶A的仰角为53°,测得右侧山顶D的仰角为67°,已知左侧山高AB为800 m,在左侧山顶A处测得右侧山顶D的仰角为22°,求滑行索道AD的长度.(精确到0.1 m,图中的点A,B,C,D,M均在同一平面内,B,M,C在同一水平线上.参考数据:sin 53°≈0.80,cos 53°≈0.60,tan 53°≈1.33,sin 22°≈0.37,cos 22°≈0.93,tan 22°≈0.39,sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,tan 67°≈2.36) 5.(应用意识)如图,某动物园三角形观赏区ABE紧邻四边形熊猫馆ABCD.经测量,点C在点B的正东方向,点A在点B的北偏东45°方向,点E在点B的正北方向且在点A的正西方向,点D在点A的正东方向且在点C的北偏东60°方向.AD长30 m,CD长40 m.(参考数据:≈1.41,≈1.73) (1)求AB的长度(结果精确到1 m); (2)天气炎热时,饲养员会在点D处为熊猫放置冰块帮助熊猫降温.熊猫甲从B出发沿B→A→D到达点D,熊猫乙从B出发沿B→C→D到达点D,请计算说明哪只熊猫选择的路线较近? 【详解答案】 课堂达标 1.B　解析:根据题意可知: ∠CAB=30°,∠CBA=60°, ∴∠ACB=180°-(60°+30°)=90°, ∵AB=20 km, ∴AC=AB×cos 30°=20×=10(km). ∴A,C两景点相距10 km. 故选B. 2.解:如图,过点D作DE⊥AB,垂足为E. 由题意,得∠BAD=15°,∠BAC=60°,∠BCF=30°,AB∥FG, ∴∠ACG=∠BAC=60°,∠BCF=∠ABC=30°, ∴∠ACB=180°-∠ACG-∠BCF=90°. ∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AB=24 km, ∴AC=AB=12 km, BC=AC=12 km. 在Rt△ACD中, ∠CAD=∠BAC-∠BAD=45°, ∴CD=AC·tan 45°=12 km, ∴BD=BC-CD=(12-12) km. 在Rt△BDE中,∠ABC=30°, ∴DE=BD=(6-6) km, ∴输油管道的最短长度是(6-6) km. 3.A　解析:由题意,得CB⊥AB, 在Rt△ABC中,BC=36 m,∠CAB=30°, ∴AB==36(m), ∴船离灯塔的水平距离AB等于36 m, 故选A. 4.(50+50)　解析:如图,过点A作AE⊥CD,垂足为E. 由题意,得AE=BD=50 m, 在Rt△ADE中,∠EAD=45°, ∴DE=AE·tan 45°=50 m. 在Rt△ACE中,∠CAE=60°, ∴CE=AE·tan 60°=50 m, ∴CD=DE+CE=(50+50)m, ∴铁塔CD的高度为(50+50)m. 课后提升 1.D　解析:如图,过点P作PC⊥AB,垂足为C. 设PC=x m, 在Rt△APC中,∠APC=30°, ∴AC=PC·tan 30°=x(m), 在Rt△CBP中,∠CPB=60°, ∴BC=CP·tan 60°=x(m). ∵AB=400 m, ∴AC+BC=400, ∴x+x=400, ∴x=100≈173,∴PC=173 m, ∴点P到赛道AB的距离约为173 m, 故选D. 2.B　解析:过点B作BD⊥CA交CA的延长线于点D,如图. 设BD=x m, ∵∠BCA=30°, ∴CD=x(m). ∵∠BAD=45°, ∴AD=BD=x m. ∵AC=80 m,∴x-x=80, 解得x==40(+1), 故这段河的宽度为40(+1)m. 故选B. 3.160　解析:如图,过点C作CD⊥AB于点D. 在Rt△BCD中,BC=80×2=160(m),∠BCD=45°, ∵cos∠BCD=, ∴CD=BC·cos∠BCD=160×=80(m). 在Rt△ACD中,∠CAD=30°, 则AC=2CD=160(m), 故警察的行程为160 m. 4.解:如图,过点A作AE⊥CD,垂足为E. 由题意,得AB=CE=800 m,AE=BC, 设CM=x m, 在Rt△ABM中,∠AMB=53°, ∴BM=≈≈601.50(m), ∴AE=BC=BM+CM=(x+601.50)m. 在Rt△DCM中,∠DMC=67°, ∴DC=CM·tan 67°≈2.36x(m). 在Rt△ADE中,∠DAE=22°, ∴DE=AE·tan 22°≈0.4(x+601.50)m. ∵DE+CE=CD, ∴0.4(x+601.50)+800=2.36x, 解得x≈530.92, ∴AE=530.92+601.50=1 132.42(m), 在Rt△ADE中,AD=≈≈1 217.7(m), ∴滑行索道AD的长度约为1 217.7 m. 5.解:(1)如图,过C作CH⊥DE于点H. 在Rt△CDH中,∠DCH=60°,∠DHC=90°, ∴∠D=30°. ∵CD=40 m,∴CH=CD=20 m. ∵∠E=∠EBC=∠CHE=90°, ∴四边形BCHE是矩形, ∴BE=CH=20 m. ∵∠ABE=45°, ∴AB=BE=20≈28(m), ∴AB的长约为28 m. (2)∵∠DHC=90°,∠DCH=60°, ∴DH=CH=20 m. ∵∠E=90°,∠ABE=45°, ∴∠ABE=∠BAE=45°,∴AE=BE=20 m, ∵AD=30 m, ∴EH=AE+AD-DH=20+30-20=(50-20)m, ∴BC=EH=(50-20)m, ∴熊猫甲从B出发沿B→A→D到达点D的路程=20+30≈58(m), 熊猫乙从B出发沿B→C→D到达点D的路程=50-20+40=90-20≈55(m), ∵58>55, ∴熊猫乙选择的路线较近. 学科网（北京）股份有限公司 $$