1.4解直角三角形课时作业 2024-2025学年北师大版数学九年级下册

4 解直角三角形 已知两边解直角三角形 1.(2024池州青阳县期末)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,CD是△ABC的高,则 tan∠BCD的值是 (　　) A. B. C. D. 2.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(4,3),直线OA与x轴正半轴的夹角为α,那么sin α的值是 (　　) A. B. C. D. 3.(2024淄博张店区期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=,AB=2.解这个直角三角形. 已知一边及一锐角解直角三角形 4.如图,在Rt△ABC中,斜边AB的长为m,∠A=35°,则直角边BC的长是 (　　) A.msin 35° B.mcos 35° C. D. 5.已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,AB=6,解这个直角三角形. 已知一边及一锐角三角函数值解直角三角形 6.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,sin A=,则tan A= (　　) A. B. C. D. 7.在△ABC中,∠C=90°,AB=13,tan A=,则BC的长为　　　　.  8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=,BC=6,求AC的长和sin A的值. 9.如图,在矩形ABCD中,DE⊥AC于点E,设∠ADE=α,且sin α=,AB=4,求AD的长. 1.(2024衡阳期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=5,cos B=,则AC等于 (　　) A. B.3 C.4 D.5 2.如图,延长Rt△ABC斜边AB到点D,使BD=AB,连接CD,若tan∠BCD=,则tan A= (　　) A. B.1 C. D. 3.如图,CD是Rt△ABC斜边上的高线,若sin A=,BD=1,则AD=　　　　.  4.在△ABC中,∠ABC=30°,AB=4,AC=4,则BC=　　　　　.  5.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,sin C=,D是边BC上一点,连接AD. (1)求∠CAB的度数; (2)若AC=6,BD=3,求CD的长度. 6.如图,在△ABC中,sin B=,点F在BC上,AB=AF=5,过点F作EF⊥CB交AC于点E,且AE∶EC=3∶5,求BF的长与sin C的值. 7.(推理能力)如图,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,点E为AD的中点,过点A作AF∥BC,交BE的延长线于点F,连接CF. (1)求证:四边形ADCF为矩形; (2)若BC=6,sin∠BAD=,求EF的长. 【详解答案】 课堂达标 1.B　解析:∵∠ACB=90°, ∴∠BCD+∠ACD=90°. ∵CD⊥AB,∴∠ADC=90°, ∴∠DCA+∠A=90°, ∴∠BCD=∠A. 在Rt△ABC中,tan A=, ∴tan ∠BCD=tan A=, 故选B. 2.A　解析:如图,过点A作x轴的垂线,垂足为B. 由点A的坐标为(4,3)可知, OB=4,AB=3, ∴AO==5. 在Rt△AOB中, sin α=. 故选A. 3.解:由题可知,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=,AB=2, ∴BC== . ∵tan A==1, ∴∠A=45°, ∴∠B=90°-∠A=90°-45°=45°. 4.A　解析:在Rt△ABC中,sin A=, ∵AB=m,∠A=35°, ∴BC=msin 35°, 故选A. 5.解:在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∠B=60°,AB=6, ∴∠A=90°-60°=30°, ∴BC=AB=3, ∴AC==3. 6.A　解析:在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,sin A=,且sin A=, ∴AB==5, ∴AC==4, ∴tan A=, 故选A. 7.5　解析:在Rt△ABC中,∠C=90°, tan A=, ∴设BC=5x,则AC=12x, ∴AB==13x. ∵AB=13, ∴13x=13, 解得x=1, ∴BC=5x=5. 8.解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=,BC=6, ∴,∴AC=8, ∴AB==10, ∴sin A=. 9.解:∵四边形ABCD为矩形, ∴AD=BC,∠BAD=90°. ∵DE⊥AC, ∴∠ADE+∠DAE=90°. 而∠BAC+∠DAE=90°, ∴∠BAC=∠ADE=α. 在Rt△ABC中,∵sin∠BAC=, ∴. 设BC=4x,则AC=5x, ∴AB=3x, ∴3x=4,解得x=, ∴BC= ∴AD=. 课后提升 1.B　解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°, ∴cos B=. ∵AB=5, ∴BC=4, ∴AC==3. 故选B. 2.A　解析:如图,过B作BE∥AC交CD于点E. ∵AC⊥BC, ∴BE⊥BC,∴∠CBE=90°. ∵AB=BD, ∴AC=2BE. 又∵tan∠BCD=,设BE=x,则AC=2x,BC=3x, ∴tan A=, 故选A. 3.2　解析:∵CD是Rt△ABC斜边上的高线, ∴∠CDA=90°,∴∠A+∠ACD=90°. 又∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCD=90°, ∴∠A=∠BCD. ∵sin A=, ∴sin ∠BCD=. ∵BD=1, ∴BC=, ∴CD=. ∵sin A=, ∴AC=. ∴AD==2. 4.8或4　解析:①当∠ACB为锐角时,如图1,过点A作AD⊥BC,垂足为D. 图1 在Rt△ABD中,∵∠ABC=30°,AB=4, ∴AD=AB=2,BD=cos 30°×AB=6. 在Rt△ADC中,DC==2, ∴BC=BD+DC=6+2=8. ②当∠ACB为钝角时,如图2,过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D. 　 图2 在Rt△ABD中,∵∠ABC=30°,AB=4, ∴AD=AB=2,BD=cos 30°×AB=6, 在Rt△ADC中,DC==2, ∴BC=BD-DC=6-2=4. 综上所述,BC的长为8或4. 5.解:(1)在Rt△ABC中, ∵sin C=, ∴∠C=30°, ∴∠CAB=90°-30°=60°. (2)在Rt△ABC中,∠C=30°, cos C=, 即, ∴BC=3, ∴CD=BC-BD=3-3. 6.解:过点A作AD⊥CB,垂足为点D,如图, ∵sin B=,∴. ∵AB=5,∴AD=4,∴BD=3. ∵AB=AF,AD⊥CB, ∴BF=2BD=6. ∵EF⊥CB,AD⊥CB, ∴EF∥AD, ∴. ∵AE∶EC=3∶5,DF=BD=3, ∴CF=5,∴CD=8. 在Rt△ACD中,AC==4, ∴sin C=. 7.解:(1)证明:∵AD是BC边上的中线, ∴BD=CD. ∵点E是AD的中点, ∴AE=ED. ∵AF∥BC, ∴∠AFE=∠DBE,∠FAE=∠BDE. 在△AFE和△DBE中, ∴△AFE≌△DBE(AAS), ∴AF=BD, ∴AF=DC. 又∵AF∥BC, ∴四边形ADCF为平行四边形. ∵AB=AC,AD为BC边上的中线, ∴AD⊥BC, ∴∠ADC=90°, ∴四边形ADCF为矩形. (2)∵BC=6,AD为BC边上的中线, ∴BD=BC=3. ∵在Rt△ABD中,sin∠BAD=, ∴AB==5, ∴AD==4. 又∵点E为AD的中点, ∴ED=AD=2, ∴在Rt△EBD中,BE=, ∴EF=BE=. 学科网（北京）股份有限公司 $$