1.1　锐角三角函数 课时作业 2024-2025学年 北师大版数学九年级下册

1锐角三角函数 第1课时　正切 正切 1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,则tan A= (　　) A. B. C. D. 2.如图,在由边长为1的小正方形构成的网格中,点A,B,C都在格点上,则tan B的值为 (　　) A. B. C. D. 正切与梯子的倾斜程度的关系 3.如图,梯子与地面所成的锐角为∠BAC.对于∠BAC的正切值与梯子倾斜程度的关系,下列叙述正确的是 (　　) A.tan∠BAC的值越大,梯子越缓 B.tan∠BAC的值越小,梯子越陡 C.tan∠BAC的值越大,梯子越陡 D.梯子的倾斜程度与∠BAC的正切值无关 坡度 4.如图,河堤横断面迎水坡AB的坡度是1∶,堤高BC=6 m,则坡面AB的长是 (　　) A.2 m B.6 m C.6 m D.12 m 5.如图,一辆小车沿斜坡向上行驶13 m,斜坡的坡度是1∶2.4,则小车上升的高度是 (　　) A.5 m B.6 m C.65 m D.12 m 6.如图是一斜坡的横截面,某人沿着斜坡从P处出发,走了13 m到达M处,此时在铅垂方向上上升了5 m,那么该斜坡的坡度是　　　　.  1.(2024扬州江都区期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,若各边都扩大3倍,则tan A的值 (　　) A.缩小为原来的 B.扩大3倍 C.不变 D.不能确定 2.(2024商丘民权县期末)如图,在4×4的正方形网格中,点A,B,C都在格点上,则tan∠ABC的值是(　　) A. B. C. D.2 3.如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上,点C在OB上,OC∶BC=1∶2,连接AC,过点O作OP∥AB交AC的延长线于点P.若P(1,1),则tan∠OAP的值是 (　　) A. B. C. D.3 4.(2024济南历城区期末)有6个大小相同的小正方形,恰好如图放置在△ABC中,则tan B的值等于　　　　.  5.在△ABC中,∠C=90°,AB=15,tan A=,则BC=　　　　.  6.如图,已知tan α=,如果F(4,y)是射线OA上的点,那么F点的坐标为　　　　.  7.如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,斜坡AB的坡度为,坝顶宽BC=2.8 m,坝高BE=4.2 m,斜坡CD=7.5 m. (1)斜坡AB和CD谁比较陡? (2)求坝底AD的长(结果精确到0.1 m). 8.如图,有一斜坡AC,其坡度为i=1∶2,顶部A处的高AB为5 m,B,C在同一水平地面上. (1)求斜坡AC的水平宽度BC的长; (2)矩形DEFG为长方体货柜的侧面图,其中DE=3 m,EF=2 m.将该货柜沿斜坡向上运送,当CF= 4 m,求点D离地面的高.(≈2.236,结果精确到0.1 m) 9.(几何直观)如图,矩形ABCD中,AB=10,BC=8,E为AD边上一点,沿CE将△CDE对折,使点D正好落在AB边上,求tan∠AFE的值. 【详解答案】 课堂达标 1.C　解析:由正切的定义知,tan A=, ∴tan A=,故选C. 2.B　解析:由题图得,AC=4,BC=3. ∵∠C=90°, ∴tan B=,故选B. 3.C　解析:由题图知,梯子与地面所成的锐角为∠BAC,∠BAC的正切值越大,∠BAC越大,梯子越陡,故选C. 4.D　解析:∵坡AB的坡度是1∶,∴BC∶AC=1∶,∵BC=6 m,∴AC=6 m,∴AB==12(m),故选D. 5.A　解析:如图,作BC⊥AC. 在Rt△ABC中,∵AB=13 m,BC∶AC=1∶2.4=5∶12,∴设BC=5k m,AC=12k m. ∵AB2=BC2+AC2, ∴132=(5k)2+(12k)2, ∴k=1(负值舍去),∴BC=5 m,故选A. 6.5∶12　解析:如图,由题意可知, PM=13 m,MC=5 m, ∴PC==12(m), ∴MC∶PC=5∶12. ∴该斜坡的坡度是5∶12. 课后提升 1.C　解析:在Rt△ABC中,∠C=90°, 当各边都扩大3倍,即BC与AC都扩大3倍, 所以BC与AC比值不变, 所以tan A的值不变. 故选C. 2.D　解析:根据网格可得:AC==2,BC=, AB==5, ∵AC2+BC2=20+5=25,AB2=25, ∴AC2+BC2=AB2, ∴△ABC是直角三角形, ∴tan∠ABC==2. 故选D. 3.C　解析:如图,过点P作PQ⊥x轴于点Q, ∵OP∥AB, ∴△OCP∽△BCA, ∴CP∶CA=OC∶BC=1∶2. ∵∠AOC=∠AQP=90°, ∴CO∥PQ, ∴OQ∶AO=CP∶AC=1∶2. ∵P(1,1), ∴PQ=OQ=1, ∴AO=2, ∴tan∠OAP=. 故选C. 4.　解析:如图, 设小正方形的边长为1. 依题意得:FH∥BC,EH=1,FH=2, ∴∠B=∠EFH, ∴tan B=tan∠EFH=. 5.　解析:∵tan A=, ∴设BC=t,AC=3t, ∴AB=t. ∵AB=15, ∴t=15, 解得t=, 即BC=. 6.(4,2)　解析:如图,过F作FC⊥x轴于点C. ∵F(4,y), ∴OC=4,CF=y, 在Rt△OFC中,tan α=, 即,∴CF=2, 即y=2.∴F点的坐标为(4,2). 7.解:(1)由题意,得CF=BE=4.2 m,又知CD=7.5 m, ∴由勾股定理,得DF=≈6.2 m, 则斜坡CD的坡度为4.2∶6.2≈0.7. ∵斜坡AB的坡度==0.4. ∴tan D>tan A, ∴斜坡CD比较陡. (2)∵AB的坡度为,BE=4.2 m, ∴AE=4.2÷=10.5(m). ∴AD=AE+EF+DF≈10.5+2.8+6.2=19.5(m). ∴坝底AD的长为19.5 m. 8.解:(1)∵i=1∶2,AB=5 m,∴BC=10 m. (2)如图,作DH⊥BC于点H,DH交AC于点I. ∵AB⊥BC,DH⊥BC, ∴AB∥DH, ∴∠A=∠GID=∠HIC, ∴Rt△DGI∽Rt△CBA∽Rt△CHI. ∴. ∵DG=EF=2 m, ∴, ∴GI=1(m),DI=(m). ∵CF=4 m,GF=DE=3 m, ∴GC=7 m,∴IC=6 m. ∵Rt△CBA∽Rt△CHI, ∴, ∵AB=5 m,BC=10 m,AC==5(m), ∴HI=(m), ∴DH=DI+HI=≈4.9(m). ∴点D离地面的高是4.9 m. 9.解:根据图形有:∠AFE+∠EFC+∠BFC=180°, 根据折叠的性质,∠EFC=∠EDC=90°, 即∠AFE+∠BFC=90°. 而Rt△BCF中,∠BCF+∠BFC=90°, ∴∠AFE=∠BCF. ∵根据折叠的性质,得CF=CD, ∴在Rt△BFC中,BC=8,CF=CD=10, 由勾股定理,得BF=6, ∴tan∠BCF=, ∴tan∠AFE=tan∠BCF=. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时　锐角三角函数 正弦和余弦 1.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=8,BC=10,则 cos B的值是 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=2BC,则cos A的值是 (　　) A. B.2 C. D. 3.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,sin A=,则AB的值是 (　　) A.5 B. C.4 D. 4.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,AB=10,则sin A=　　　　.  5.在Rt△ABC中,∠C=90°,cos B=,如果AB=14,那么AC=　　　　.  6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,求sin A,cos A的值. 正弦、余弦与梯子倾斜程度的关系 7.如图,梯子与地面的夹角为α,关于α的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系,下列叙述正确的是 (　　) A.sin α的值越小,梯子越陡 B.cos α的值越小,梯子越陡 C.梯子的长度决定倾斜程度 D.梯子的倾斜程度与α的三角函数值无关 锐角三角函数 8.如图,在△ABC中,若∠C=90°,则 (　　) A.sin A= B.sin A= C.cos B= D.cos B= 9.如图,在正方形网格中,△AOC的顶点均在格点(网格线交点)上,则cos∠AOC的值为　　　　　　.  10.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上的一点,CD=3,AD=BD=5.求∠A的三个三角函数值. 1.(2024咸阳秦都区一模)在Rt△ABC中,AC=8,BC=6,则cos A的值等于 (　　) A. B. C.或 D.或 2.(2024郑州期末)学过三角函数之后,小明同学明白了梯子的倾斜程度和∠BAC的三角函数值有关.如图,请你用∠BAC的正弦值的大小来描述梯子的倾斜程度:　　　　　　　　　　　　　.  3.已知正方形ABCD的边长为2,P是直线CD上的一点.若DP=1,则sin∠BPC的值是　　　　.  4.如图,P(12,a)在反比例函数y=的图象上,PH⊥x轴于点H,则tan∠POH的值为　　　　.  5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AC=4,BC=3. (1)求BD的长; (2)求∠ACD的正切值. 6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,∠ABC的平分线交边AC于点D,延长BD至点E,且BD=2DE,连接AE. (1)求线段CD的长; (2)求△ADE的面积. 7.(几何直观)如图,在锐角三角形ABC中,AB=15,BC=14,S△ABC=84,求: (1)tan C的值; (2)sin A的值. 【详解答案】 课堂达标 1.D　解析:∵在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=8,BC=10, ∴cos B=, 故选D. 2.D　解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2BC,∴由勾股定理得, AB=BC. 由余弦函数的定义,得 cos A=, 故选D. 3.C　解析:Rt△ABC中,∠C=90°. ∵BC=3,sin A=, ∴AB=BC÷sin A=4, 故选C. 4.　解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,AB=10, ∴BC= = =6, ∴sin A=. 5.4　解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,cos B=,AB=14, ∴cos B=, ∴BC=10, ∴AC==4. 6.解:∵∠C=90°,AC=3,BC=4, ∴AB= = =5, ∴sin A=,cos A=. 7.B　解析:A.∵正弦值随角度的增大而增大,∴α的正弦值越小,α的度数越小,梯子越缓,选项错误; B.∵余弦值随角度的增大而减小,∴α的余弦值越小,α的度数越大,梯子越陡,选项正确; C.梯子的长度不能决定梯子的倾斜程度,倾斜程度与梯子与地面的夹角有关,选项错误; D.由上可知,梯子的倾斜程度与α的三角函数值有关,选项错误; 故选B. 8.A　解析:在△ABC中,若∠C=90°,则sin A=,cos B=, 故选A. 9.　解析:∵正方形网格中,△AOC的顶点均在格点上, ∴∠ACO=90°,OC=2,AC=4, ∴AO==2, ∴cos∠AOC=. 10.解:∵在Rt△BCD中,∠C=90°,CD=3,BD=5, ∴BC==4. 又∵AC=AD+CD=8, ∴AB==4, ∴sin A=, cos A=, tan A=. 课后提升 1.C　解析:当△ABC为直角三角形时,存在两种情况: ①当AB为斜边,∠C=90°, ∵AC=8,BC=6, ∴AB==10. ∴cos A=; ②当AC为斜边,∠B=90°, ∵AC=8,BC=6, ∴AB==2, ∴cos A=; 综上所述,cos A的值等于或. 故选C. 2.∠BAC的正弦值越大,梯子越陡 解析:∵∠ACB=90°, ∴sin∠BAC=. ∵AB为定值, ∴BC越大,梯子越陡, 即∠BAC的正弦值越大,梯子越陡. 3.或　解析:如图所示. 在△BP1C中,P1C=1时, BP1=, 则sin∠BP1C=; 在△BP2C中,P2C=3时, BP2=, 则sin∠BP2C=. 4.　解析:∵P(12,a)在反比例函数y=的图象上, ∴a==5, ∵PH⊥x轴于点H, ∴PH=5,OH=12, ∴tan∠POH=. 5.解:(1)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3, ∴AB==5, ∵CD⊥AB, ∵S△ABC=AB·CD=AC·BC, ∴CD=. ∵tan B=, ∴, ∴BD=. (2)∵AB=5,BD=, ∴AD=AB-BD=, ∵CD⊥AB,∴tan∠ACD=. 6.解:(1)如图,过点D作DH⊥AB,垂足为点H, ∵BD平分∠ABC,∠C=90°, ∴设DH=DC=x, 则AD=3-x. ∵∠C=90°,AC=3,BC=4, ∴AB=5, ∵sin∠BAC=, ∴, ∴x=,经检验,x=是该分式方程的解,即线段CD的长为. (2)S△ABD=AB·DH=×5×, ∵BD=2DE, ∴=2, ∴S△ADE=. 7.解:(1)如图,过A作AD⊥BC于点D. ∵S△ABC=BC·AD=84, ∴×14×AD=84, ∴AD=12. 又∵AB=15, ∴BD==9. ∴CD=BC-BD=14-9=5. 在Rt△ADC中,AC==13, ∴tan C=. (2)如图,过B作BE⊥AC于点E. ∵S△ABC=AC·BE=84, ∴BE=, ∴sin∠BAC=. 学科网（北京）股份有限公司 $$