4.1数列的概念与简单表示法课后训练-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.1　数列的概念 数列的概念与简单表示法 A级——基础过关练 1．已知数列1，，，，，…，则3是它的(　　) A．第30项 B．第31项 C．第32项 D．第33项 2．在数列{an}中，an＝，则{an}(　　) A．是常数列 B．不是单调数列 C．是递增数列 D．是递减数列 3．已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中的数值最大的项是(　　) A．第5项 B．第6项 C．第4项或第5项 D．第5项或第6项 4．若数列an＝＋＋…＋，则a5－a4＝(　　) A． B．－ C． D． 5．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－kn＋5，则“k≤2”是“数列{an}为递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．`(多选)下列式子中不能作为数列1，0，1，0，1，0，1，0，…的通项公式的有(　　) A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝ 7．若数列{an}的通项公式为an＝n2(n－2)，其中n∈N*，则a5＝________ 8．323是数列{n(n＋2)}的第________项． 9．已知数列{an}的通项公式为an＝n－，则an的最小值为________． 10．已知数列{an}的通项公式是an＝． (1)求数列的第10项． (2)是不是数列中的项？ (3)判断数列{an}的增减性． B级——综合运用练 11．(多选)(2024年临城开学考试)费马数是以数学家费马命名的一组自然数，具有如下形式：Fn＝22n＋1(n＝0，1，2，…)．若bn＝(n∈N*)，则(　　) A．数列{bn}的最大项为b1 B．数列{bn}的最大项为b6 C．数列{bn}的最小项为b1 D．数列{bn}的最小项为b5 12．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则数列的奇数项的通项公式a2n－1＝________，数列的第20项与21项的和为________． 13．已知函数f(x)＝(x≥1)，构造数列an＝f(n)(n∈N*)． (1)求证：an＞－2． (2)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？ C级——创新拓展练 14．已知无穷数列，，，，…． (1)求出这个数列的一个通项公式． (2)该数列在区间内有没有项？若有，有几项？若没有，请说明理由． 答案解析 1、【答案】C 【解析】因为3＝＝，所以3是数列的第32项．故选C． 2、【答案】D 【解析】在数列{an}中，an＝＝1＋，由反比例函数的性质得{an}是n∈N*时的单调递减数列．故选D． 3、【答案】A 【解析】an＝－2＋，因为n∈N*，5＜＜6，且a5＝55，a6＝54，所以数值最大的项为第5项．故选A． 4、【答案】C 【解析】依题意知a5－a4＝－＝＋－＝．故选C． 5、【答案】A 【解析】根据题意，已知数列{an}的通项公式为an＝n2－kn＋5，若数列{an}为递增数列，则有an＋1－an＝[(n＋1)2－k(n＋1)＋5]－(n2－kn＋5)＝2n＋1－k＞0(n∈N*)，所以k＜2n＋1．因为n∈N*，所以k＜3，所以当k≤2时，数列{an}为递增数列．而当数列{an}为递增数列时，k≤2不一定成立，所以“k≤2”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件．故选A． 6、【答案】ACD 【解析】对于A，当n＝1时，a1＝0，故A错误；对于B，奇数项为1，偶数项为0，故B正确；对于C，当n＝1时，a1＝，故C错误；对于D，当n＝1时，a1＝0，故D错误．故选ACD． 7、【答案】75 【解析】因为an＝n2(n－2)，所以a5＝25×3＝75． 8、【答案】17 【解析】由n2＋2n＝323，解得n＝17(负值已舍去)，所以323是数列{n(n＋2)}的第17项． 9、【答案】1－ 【解析】因为an＝n－＝＝－，易知数列{an}为递增数列，则数列{an}的最小项为a1，即最小值为1－． 10、解：(1)数列的第10项为a10＝＝． (2)令an＝，即＝，解得n＝7． ∴是数列中的项，且是数列的第7项． (3)(方法一，比较an＋1与an的大小) ∵an＋1－an＝－＝－＝＞0， ∴an＋1＞an． ∴数列{an}为递增数列． (方法二，从函数角度判断) an＝＝， ∵f(n)＝1＋为关于n的减函数且其值恒正， ∴an＝为关于n的增函数，故数列{an}为递增数列． 11、【答案】BD 【解析】bn＝＝，因为函数f(n)＝2n－36单调递增，且当n≤5时，bn＜0，当n≥6时，bn＞0，所以数列{bn}的最大项为b6，最小项为b5． 12、【答案】2(n－1)n　420 【解析】由数列的前10项可知，数列的偶数项的通项公式a2n＝2n2，所以a20＝2×102＝200，奇数项的通项公式a2n－1＝2(n－1)n，所以a21＝a2×11－1＝2×10×11＝220，所以a20＋a21＝200＋220＝420． 13、(1)证明：因为f(x)＝＝＝－2＋，所以an＝－2＋． 因为n∈N*，所以an＞－2． (2)解：数列{an}为递减数列． 因为an＝－2＋， 所以an＋1－an＝－＝－＝＜0，即an＋1＜an． 所以数列{an}为递减数列． 14、解：(1)因为数列的分子依次为4，9，16，25，…，可看成与项数n的关系式为(n＋1)2，而每一项的分母恰好比分子大1，所以通项公式的分母可以为(n＋1)2＋1．所以数列的一个通项公式为an＝(n＝1，2，…)． (2)当≤an≤时，可得≤≤． 由≥，解得(n＋1)2≥9，可得n≥2． 由≤，解得(n＋1)2≤36，可得n≤5． 所以2≤n≤5．综上所述，该数列在内有项，并且有4项． 学科网（北京）股份有限公司 $$