点、线、面的投影（课件）-《机械制图》同步教学(科学出版社.第4版)

主 编 戴珊珊 机械制图 点、线、面的投影 项目二 PART 02 点的投影 PART 01 认识投影 PART 03 直线的投影 目录 contents PART 04 面的投影 Part 1. 认 识 投 影 一、投影法概述 设平面 P 为投影面,不从属于投影面的定点 S 为投射中心,由投射中心射出的光线为投射线,影子为物体在投影面上的投影,投影法的概念图如图 2.1 所示。 若通过空间点 A 的投射线与投影面相交于点 a,则点 a 称作空间点 A 在投影面 P 上的投影图,简称投影。 上述这种用投射线通过物体向选定的面投射,并在该投影面上得到图形的方法称为投影法。 根据投影法所得到的图形,称为投影;投影法中得到投影的面,称为投影面。 二、投影法的分类 投影法分为两大类,即中心投影法和平行投影法。 (一)中心投影法 要获得投影,必须具备投射线、物体和投影面这 3 个基本条件。假设,将△ABC 平行地放在投影面 P 和投射中心 S 之间,自 S 分别向 A、B、C 引投射线并延长,使它分别与投影面 P 交于点 a、b、c,则△abc 即为△ABC 在投影面 P 上的投影,像这种投影线汇交于一点的投影法,称为中心投影法,如图 2.2 所示。 (二)平行投影法 若将图 2.2 中的投射中心移至无穷远处,则投射线都可视为相互平行,这种投射线相互平行的投影法,称为平行投影法。 在平行投影法中,按投射线是否垂直于投影面,又可分为斜投影法和正投影法。 (1)斜投影法。 投射线与投影面之间存在倾斜角的平行投影法称为斜投影法,如图 2.3 所示。 根据斜投影法所得到的图形,称为斜投影或斜投影图。 (2)正投影法。 投射线与投影面相互垂直的平行投影法称为正投影法,如图 2.4 所示。 根据正投影法所得到的图形,称为正投影或正投影图。 三、正投影的基本性质 (一)真实性 当平面图形(或直线)与投影面平行时,其投影反映实形(或实长) 的性质,称为真实性。平面、直线平行投影时的投影如图 2.5 所示。 (二)积聚性 当平面图形(或直线)与投影面垂直时,其投影积聚为一条直线(或一个点)的性质,称为积聚性。 平面、直线垂直投影时的投影如图 2.6 所示。 (三)类似性 当平面图形(或直线)与投影面倾斜时,其投影变小(或变短),但投影的形状与原来形状类似的性质,称为类似性。 平面、直线的倾斜投影如图 2.7 所示。 此外,正投影还有平行性,即空间平行线段的同面投影仍然平行;定比性,即空间平行线段的长度比在同面投影中的长度比保持不变;从属性,即多个几何元素之间的从属关系在投影中不会发生变化。 例如,直线上点的投影必在直线的同面投影上,平面上的点和直线的投影必在平面的同面投影上。 Part 2. 点 的 投 影 一、点的投影及其标记 点的三面投影的形成如图 2.8 所示。 当投影面和投影方向确定时,空间中的一个点在一个投影面上只有唯一的一个投影。 假设有一点 A,过点 A 分别向 H 面、V 面和 W 面作垂线,得到三个垂足 a、a′、a″,即为点 A 在三个投影面上的投影。 当实际画投影图时,不必画出投影面的边框,也可省略标注点 ax、ayH、ayW和 az,但须用细实线画出点的三面投影之间的连线,称为投影连线,点的三面投影画法如图 2.9 所示。 二、点在三投影面体系中的投影 (一)点的投影与点的空间位置的关系 从图 2.8(a)、图 2.8(b)中可以看出,Aa、Aa′、Aa″分别为空间点 A 到 H 面、V 面、W 面的距离,如下所示。 ①Aa = a′ax= a″ay(即 a″ayW ),反映空间点 A 到 H 面的距离。 ②Aa′= aax= a″az,反映空间点 A 到 V 面的距离。 ③Aa″ = a′az= aay (即 ayH),反映空间点 A 到 W 面的距离。 (二)点的三面投影规律 通过以上空间点和点的投影关系可总结出其投影规律,如下所述。 (1)点在两个投影面上的投影的连线,垂直于相应的投影轴。 a′a⊥OX , a′a″⊥OZ,而 aayH⊥OYH, a″ayW⊥OYW 。 (2)点的投影到投影轴的距离,等于空间点到相应的投影面的距离。 ①a′ax= a″ay= A 点到 H 面的距离 Aa。 ②aax= a″az= A 点到 V 面的距离 Aa′。 ③aay= a′az= A 点到 W 面的距离 Aa″ 。 可以用 45°辅助线或以原点为圆心作弧线来反映这一投影关系。 三、点的投影与空间直角坐标系的关系 如图 2.11 所示为点的投影与空间直角坐标系的关系。 若把投影面当作坐标面,投影轴当作坐标轴,O 即为坐标原点,则 A 点的 X 坐标等于 A 点到 W 面的距离; A 点的 Y 坐标等于 A 点到 V 面的距离; A 点的 Z 坐标等于 A 点到 H 面的距离。 四、两点的相对位置 (一)两点的相对位置的判断 两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。 两点在空间的相对位置是由空间两点在同面投影的坐标差来确定的,如图 2.12 所示。 两点的左、右相对位置由 X 坐标差(XA-XB )确定。 由于 XA﹥ XB ,所以点 A 在点 B 的左方。 两点的前、后相对位置由 Y 坐标差(YA-YB )确定。 由于 YA﹥ YB ,所以点 A 在点 B 的前方。 两点的上、下相对位置由 Z 坐标差(ZA-ZB )确定。 由于 ZA﹤ ZB ,所以点 A 在点 B 的下方。 故点 A 在点 B 的左、前、下方;反过来说,就是点 B 在点 A 的右、后、上方。 点 C 与点 B,点C 与点 A 的相对位置请读者自行分析。 (二)重影点 重影点的可见性如图 2.13 所示,在 A、B 两点的投影中,点 a′和 b′重合,这说明 A、B 两点的X、Z 坐标相同,即XA=XB 、 ZA=ZB 。 因此,A、B 两点处于正面的同一投射线上。 可见处于同一条投射线上的两点,必在相应的投影面上具有重合的投影。 这两个点称为对该投影面的一对重影点。 重影点的可见性也可根据这两点不同的投影的坐标大小来判别,判别方法如下。 (1)当两点在 V 面的投影重合时,需判断其 H 面或 W 面投影,则点在前(Y 坐标大)者可见。 (2)当两点在 H 面的投影重合时,需判断其 V 面或 W 面投影,则点在上(Z 坐标大)者可见。 (3)当两点在 W 面的投影重合时,需判断其 H 面或 V 面投影,则点在左(X 坐标大)者可见。 Part 3. 直线的投影 (一)一般位置直线 在三面投影体系中,与三个投影面都有倾斜角度的直线称为一般位置直线,图 2.14 中的直线 AB,即为一般位置直线。 直线和投影面斜交,直线和它在投影面上的投影所成的夹角叫直线对投影面的倾角,并以 α、β、γ 分别表示直线对 H、V、W 面的倾角。 对于一般位置直线 AB,先分别作出直线两端点 A、B 在三个投影面的投影,然后分别连接同一投影面上的投影 a′b′、ab、a″b″,即为直线的三面投影,如图 2.14 所示。 一、各种位置直线的投影特性 一般位置直线的投影特性为: (1)一般位置直线的各面投影都与投影轴倾斜; (2)一般位置直线的各面投影的长度均小于其本身的实际长度; (3)各个投影与投影轴的夹角均不反映直线对该投影面的夹角。 反之,若直线的三个投影相对于投影轴都是斜线,则该直线一定是一般位置直线。 (二)特殊位置直线 和某一投影面平行或垂直的直线,统称为特殊位置直线。 特殊位置直线有两种:投影面平行线和投影面垂直线。 1.投影面平行线 平行于(用符号“∥”表示)一个投影面而对其他两个投影面倾斜的直线,统称为投影面平行线。 它有三种形式:平行于 H 面的直线,称为水平线;平行于 V 面的直线,称为正平线;平行于 W 面的直线,称为侧平线。 投影面平行线的投影特性如表 2.1 所示。 从表 2.1 中可看出,投影面平行线具有以下 3 个共性。 (1)直线在它所平行的投影面上的投影反映直线的实长。 (2)直线的其他两个投影平行于投影轴。 (3)反映空间直线实长的投影与投影轴所夹的角度,等于空间直线对相应投影面的倾角。 2.投影面垂直线 垂直于一个投影面的直线,统称为投影面垂直线。 垂直于 H 面的直线,称为铅垂线;垂直于 V 面的直线,称为正垂线;垂直于 W 面的直线,称为侧垂线。 它们的投影特性如表 2.2所示。 从表 2.2 中可看出投影面垂直线具有如下两个共性。 (1)直线在它所垂直的投影面上的投影积聚为一点。 (2)直线的其他两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。 二、直线上点的投影 直线上点的投影如图 2.15 所示,它们有从属性和定比性两个特性。 (二)定比性 直线上的点分割直线之比值,在投影后保持不变。 点 K 在直线 AB 上,则ak ∶ kb = a′k′ ∶ k′b′=a″k″ ∶ k″b″= AK ∶ KB。 利用以上性质,可以求从属于直线的点的投影。 (一)从属性 如果点在一条直线上,则其点的各投影也必在该直线的各同面投影上;反之,如果某点的各投影均在直线的各同面投影上,则该点必在该直线上。 Part 4. 面 的 投 影 一、平面的表示法 由初等几何学的知识可知,不从属于同一直线的三点可以确定一个平面。 因此,平面可以用下列任何一组几何要素的投影来表示,如图 2.16 所示。 第一,不在同一平面的三点 ,如图 2.16(a)所示。 第二,一直线和线外一点,如图 2.16(b)所示。 第三,相交的两直线,如图 2.16(c)所示。 第四,平行的两直线,如图 2.16(d)所示。 第五,任意平面图形,如图 2.16(e)所示。 平面图形的边和点是由线段(直线段或曲线段)及交点组成的,因此这些线段的投影的集合,也可以表示该平面图形。 先画出各平面图形顶点的投影,然后将各顶点的同面投影依次连接,即为平面图形的投影。 此外,还可以用迹线表示一个平面,如图 2.17 所示。 迹线是平面与投影面交线的总称。 平面 P 与 H 面、V 面和 W 面的交线,分别称为水平迹线、正面迹线和侧面迹线,依次用 PH、PV和 PW表示,平面迹线如图 2.18 所示。 二、各种位置平面的投影 (一)一般位置平面 一般位置平面的投影如图 2.19 所示,△ABC 为一般位置平面。 由于△ABC 对三个投影面都倾斜,所以各面投影虽然仍是三角形,但都不是原平面的形状,而是原平面的类似形。 (二)特殊位置平面 1.投影面平行面 平行于一个投影面的平面,统称为投影面平行面。 平行于 H 面的平面,称为水平面;平行于 V 面的平面,称为正平面;平行于 W 面的平面,称为侧平面。 三种投影面平行面的投影及投影特性如表 2.3 所示。 由表 2.3 可知,投影面平行面的投影特性如下。 (1)平面在所平行的投影面上的投影反映实形。 (2)平面的其他两个投影均积聚成直线,并且平行于相应的投影轴。 2.投影面垂直面 垂直于一个投影面而与另两个投影面倾斜的平面称为投影面垂直面。 投影面垂直面又分为以下 3 种。 (1)铅垂面。 其垂直于 H 面、倾斜于 V 面和 W 面。 (2)正垂面。 其垂直于 V 面、倾斜于 H 面和 W 面。 (3)侧垂面。 其垂直于 W 面、倾斜于 V 面和 H 面。 三种投影面垂直面的投影图及其投影特性如表 2.4 所示。 由表 2.4 可知,投影面垂直面的投影特性如下。 (1)平面在所垂直的投影面上的投影积聚成一条与投影轴倾斜的直线,这条直线与投影轴的夹角分别反映该平面与相应投影面的倾角。 (2)平面的其他两个投影均为小于实形的类似形。 三、从属于平面的直线和点 (一)从属于平面的直线 直线从属于平面的条件如下。 (1)若一条直线经过某一平面内的两点,则该直线从属于该平面。 从属于平面的直线 MN 如图 2.20 所示。 △ABC 决定一个平面 P,其中 M 点和 N 点分别是AB、AC 上的两点,则直线 MN 从属于平面 P。 (2)若一条直线经过某一平面内的一点,并且平行于该平面内的另一条直线,则该直线从属于该平面。 从属于平面的直线 EF 如图 2.21 所示。 两直线 AB 和 BC 相交确定一个平面 P,其中 E 点是 AB 上的一点,若过 E 点作直线 EF,使 EF∥BC,则直线 EF 从属于平面 P。 分析:由于△ABC 的两面投影均为类似形,因此应采用辅助线法作图,为简便起见,可使辅助线过△ABC 的一个顶点或平行于某条边线。 因此,首先过点 K 在平面上作直线,则 K 点的水平投影必在此直线的投影上。 作图:求作 k′如图 2.22 所示。 (1)连接点 a、k 并延长,交 bc 于 d,在 b′c′上求得 d′。 (2)连接点 a′、d′,自 k 作垂直于 OX 轴的直线,与直线 a′d′交于 k′点,则 k′即为所求。 (二)从属于平面的点 点从属于平面的条件:如果点在平面内的任意一条直线上,则此点从属于该平面。 例 2.2 已知△ABC 平面上一点 K 的水平投影 k,求作 k′。 谢谢大家 $$