精品解析：河南省安阳市林州市第一中学2024-2025学年高一上学期11月月考数学试题

2024-2025学年高一上学期11月检测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知幂函数，满足，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知x，y满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 若数集具有性质P：对任意的，，与中至少有一个属于，则称集合为“权集”，则（ ） A. 为“权集” B. 为“权集” C. “权集”中元素可以有0 D. “权集”中一定有1 4. 若函数是定义域为，且对，且，有成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若正数m，n满足，则的最小值为（ ） A 3 B. C. D. 7. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的定义域是 C. 函数 D. 的最小值为 8. 已知函数，若对于任意的实数、、，均存在以、、为三边边长的三角形，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．多选题（共3小题，每题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分.） 9. 根据已学函数的图象与性质来研究函数的图象与性质，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，在为增函数 B. 若，，方程一定有4个不同实根 C. 设函数在区间上最大值为M，最小值为N，则8 D. 若，对任意，恒成立，则实数m的取值范围是 10. 下列说法中，正确的有（ ） A. 最小值是2 B. “方程有一正一负根”的充要条件是“” C. 不等式的解集为 D. 命题“”否定为“” 11. 定义：如果关于的一元二次方程有两个不同的实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“和谐方程”．下列命题正确的是（ ） A. 方程是“和谐方程” B. 若关于的方程是“和谐方程”，则 C. 若关于的方程是“和谐方程”，则的函数图象与轴交点的坐标是和 D. 若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是“和谐方程” 三．填空题（共3小题，每题5分，共15分.） 12. 一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围是______. 13. 已知集合，，若，则实数__________. 14. 若定义在上的函数同时满足；①为奇函数；②对任意的，，且，都有.则称函数具有性质P.已知函数具有性质P，则不等式的解集为______. 四．解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知，若：，：. （1）写出q的一个充分不必要条件； （2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 16. 定义在上的函数满足，且当时，． （1）求，的值，并判断函数的奇偶性； （2）判断并用定义证明函数在上的单调性. 17. 已知全集，集合，集合，集合． （1）求， （2）若，求实数的取值范围． 18. 某市为迎接国庆游客，出台了一系列政策.已知该市最多能容纳游客35万人，每万名游客平均可创造160万元的经济效益.已知该市维持旅游市场的成本分为固定成本和流动成本两部分，其中固定成本为300万元/年，每接待万名游客需要投入的流动成本为（单位：万元）， 当游客人数不超过14万人时，； 当游客人数超过14万人时，． （1）写出该市旅游净收入（万元）关于游客人数（万人）的函数解析式；（注：旅游净收入旅游收入固定成本流动成本）； （2）当游客人数达到多少万人时，该市的旅游净收入能达到最大？ 19. 我们知道，函数图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若定义在上函数的图象关于点对称，且当时，. （1）求的值； （2）设函数. （ⅰ）函数的图像关于点对称，求m的值. （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高一上学期11月检测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知幂函数，满足，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的概念求得，结合幂函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为是幂函数，所以， 因此，所以是定义在上的增函数， 又因为，所以，解得， 故选：A. 2. 已知x，y满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先确定目标式与已知代数式的线性关系，再应用不等式性质确定范围即可. 【详解】令， 则， 由，， 所以，即. 故选：B 3. 若数集具有性质P：对任意的，，与中至少有一个属于，则称集合为“权集”，则（ ） A. 为“权集” B. 为“权集” C. “权集”中元素可以有0 D. “权集”中一定有1 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的新定义，验证选项A、B，集合“权集”中不能有0，判定C错误，举例验证，判定D错误，即可求解. 【详解】因为与均不属于数集，所以A错误； 因为，，，，，都属于数集，所以B正确； 由“权集”的定义可知不能有0，所以C错误； 易知是“权集”，所以“权集”中不一定有1，故D错误. 故选：B. 4. 若函数是定义域为，且对，且，有成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先研究的奇偶性和单调性，然后利用适当的变形转化原不等式，再求解. 【详解】设，对任意的有， 故，所以在上单调递增，而原不等式等价于， 即.故原不等式等价于，即，故原不等式的解集为. 故选：C. 5. 已知使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，将问题转化为不等式的解集是的子集，然后分类讨论，代入计算，即可得到结果. 详解】由可得，解得， 因为使不等式成立的任意一个，都满足不等式， 则不等式的解集是的子集， 由可得， 当时，即，不等式解集为，满足； 当时，不等式解集为，则，无解； 当时，不等式解集为，则可得， 解得，所以； 综上所述，实数的取值范围为. 故选：B 6. 已知函数，若正数m，n满足，则的最小值为（ ） A 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式可得，据此得出，再由“1”的技巧及基本不等式得解. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以由可得，即， 由， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 7. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的定义域是 C. 函数 D. 的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用换元法求出，再逐项判断即可； 【详解】设，则， 所以，即， 对于A，不存在，故A错误； 对于B，定义域为，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，由函数的单调性可得在定义域上为增函数，所以的最小值为，故D正确； 故选：D. 8. 已知函数，若对于任意的实数、、，均存在以、、为三边边长的三角形，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对实数分、、三种情况讨论，求出函数的最大值和最小值，由题意得出，由此可求出实数的取值范围. 【详解】当时，，当且仅当时，等号成立，且，，此时，； ①若时，函数在区间上单调递减，则，即， 那么，当时，，， 由题意可得，则有，解得，此时，； ②当时，且当时，，则，，成立，此时； ③当时，函数在区间上单调递增，则，即，则，， 由题意可得，则有，解得，此时. 综上所述，. 故选B. 【点睛】本题考查函数最值的应用，同时也考查了分段函数的最值，解题的关键就是将题意转化为关于函数最值相关的不等式求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 二．多选题（共3小题，每题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分.） 9. 根据已学函数的图象与性质来研究函数的图象与性质，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，在为增函数 B. 若，，方程一定有4个不同实根 C. 设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则8 D. 若，对任意，恒成立，则实数m的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意，类比，通过单调性，奇偶性，恒成立问题逐选项判断即可. 【详解】解：，当，则 ，易知在为增函数， 则在为减函数，故A错误． 设，又为奇函数，则，即是偶函数，当时，的图象如图， 所以，方程一定有4个不同实根，故B正确; 易知在为奇函数，则， 又，所以．故C正确． 由，得， 整理得：，即恒成立． 当时，，因为在上无最大值，因此此时不合题意； 当时，，因为在上的最小值为2，所以，即，解得或舍去．综合可得：．故D正确． 故选：BCD. 10. 下列说法中，正确的有（ ） A. 的最小值是2 B. “方程有一正一负根”的充要条件是“” C. 不等式的解集为 D. 命题“”的否定为“” 【答案】BD 【解析】 【分析】分和两种情况结合基本不等式即可判断A选项；方程有一正一负根的充要条件是， 解该不等式即可判断B选项；原不等式可化为，由分式不等式的方法求解可以判断C选项；由全称量词命题的否定可以判断D选项. 【详解】对于A，当时， ，当且仅当时取等号； 当时，有，当且仅当时取等号， 所以只有当时，的最小值才是2，故A错误； 对于B，方程有一正一负根的充要条件是， 解得，故B正确； 对于C，不等式等价于，即，即， 即为，解得，所以原不等式的解集为，故C错误； 对于D，“”的否定为“”故D正确. 故选：BD 11. 定义：如果关于的一元二次方程有两个不同的实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“和谐方程”．下列命题正确的是（ ） A. 方程是“和谐方程” B. 若关于的方程是“和谐方程”，则 C. 若关于的方程是“和谐方程”，则的函数图象与轴交点的坐标是和 D. 若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是“和谐方程” 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用“和谐方程”的定义进行判断即可；对于B，设，利用根与系数的关系即可求出的值；对于C，由关于的方程是“和谐方程”，利用“和谐方程”的定义得到，代入即可求出函数图象与轴交点的坐标；对于D，由点在反比例函数的图象上得到，代入，利用“和谐方程”的定义检验是否为“和谐方程”. 【详解】由，则方程的两根为， 又， 则方程不是“和谐方程”，故A错误； 若关于的方程是“和谐方程”，设， 又，， 解得，或， ，故B正确； 若关于的方程是“和谐方程”，设， 又，，， 则，即， 又，解得方程的两根为， 即的函数图象与轴交点的坐标是和，故C正确； 点在反比例函数的图象上， ，， 则关于的方程， 解得方程的两根为，又， 即关于的方程是“和谐方程”，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：本题关键是对新定义“和谐方程”的理解，再结合根与系数的关系进行求解即可. 三．填空题（共3小题，每题5分，共15分.） 12. 一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次不等式恒成立的条件，求的取值范围. 【详解】一元二次不等式对一切实数都成立， 则有，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知集合，，若，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知集合的元素，分类讨论求参数值，再根据集合的性质确定的值. 【详解】若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 若，则，此时，符合要求； 若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 14. 若定义在上的函数同时满足；①为奇函数；②对任意的，，且，都有.则称函数具有性质P.已知函数具有性质P，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】不妨设，根据题意，转化为，构造函数，得到函数在上为单调递减函数，且为偶函数，再分和，两种情况讨论，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】因为对任意的，，且，都有， 不妨设，则，可得，则， 构造函数，则，， 所以函数在上为单调递减函数， 又因为为奇函数，所以， 所以函数为上的偶函数， 所以函数在为单调递增函数， 当时，即时，有， 由，可得， 所以，解得，此时无解； 当时，即时，由，可得， 所以，解得或， 综上可得，不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于涉及到函数的综合性质问题的求解问题： 1、若涉及到函数性质的综合应用问题，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定某一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题； 2、若涉及的复合函数的单调性问题时，解答时关键是将函数解析式进行等价转化，再根据函数的性质的有关结论进行判断、求解； 3、若涉及到函数性质的组合型问题，解答的关键是要熟练掌握函数的有关性质，以及一些常用结论，明确它们之间的逻辑关系，提升逻辑推理能力； 4、若涉及的函数的新定义问题，关键是理解新定义函数的概念，根据新定义函数的概念丙挖掘其隐含条件，对比选项结论进行判断分析，得以解决. 四．解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知，若：，：. （1）写出q的一个充分不必要条件； （2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1）(只要是集合的真子集即可). （2） 【解析】 【分析】（1）求出的解集，根据充分不必要条件的定义求解； （2）该问题可以转化为⫋，列出不等关系式求解. 【小问1详解】 由：，得，解得， 命题： 从而的一个充分不必要条件是(只要是集合的真子集即可). 【小问2详解】 命题：，即， 由于，从而，则， 由于p是q的必要不充分条件，从而⫋， 所以，解得，所以. 当时，，满足⫋. 综上可知，实数的取值范围是. 16. 定义在上的函数满足，且当时，． （1）求，的值，并判断函数的奇偶性； （2）判断并用定义证明函数在上的单调性. 【答案】（1），，偶函数 （2）函数在上单调递增，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由得，由得，根据定义可判断函数为偶函数. （2）由定义法可证明函数在上单调递增． 【小问1详解】 ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，定义域为， ∵，∴函数为偶函数. 【小问2详解】 函数在上单调递增．证明如下： . ，且， 则， ∵，∴，即， ∴在上单调递增． 17. 已知全集，集合，集合，集合． （1）求， （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或， （2）或 【解析】 【分析】（1）先解不等式得出集合、，再由集合的运算可得结果； （2）因为，所以，分和两种情况求解即可. 【小问1详解】 根据题意：集合， 集合或 或， 【小问2详解】 因为，所以， 若，则 若，则，得时，可得， 实数的取值范围为或 . 18. 某市为迎接国庆游客，出台了一系列政策.已知该市最多能容纳游客35万人，每万名游客平均可创造160万元的经济效益.已知该市维持旅游市场的成本分为固定成本和流动成本两部分，其中固定成本为300万元/年，每接待万名游客需要投入的流动成本为（单位：万元）， 当游客人数不超过14万人时，； 当游客人数超过14万人时，． （1）写出该市旅游净收入（万元）关于游客人数（万人）的函数解析式；（注：旅游净收入旅游收入固定成本流动成本）； （2）当游客人数达到多少万人时，该市的旅游净收入能达到最大？ 【答案】（1） （2）9万 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，分别求出函数解析式； （2）结合二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解. 【小问1详解】 根据题意得， 当时，， 当时，， 故； 【小问2详解】 当时，， 且当时，在单调递增，当时，在单调递减， 此时． 当时，， 当且仅当时，等号成立． 因为，故当时，取得最大值1250， 即为使该市旅游净收入达到最大，游客人数应为9万人． 19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若定义在上函数的图象关于点对称，且当时，. （1）求的值； （2）设函数. （ⅰ）函数的图像关于点对称，求m的值. （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）4 （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据所给函数的性质，赋值即可得解； （1）（ⅰ）由题意由为奇函数即可得解； （ⅱ）证明的单调性，求出值域，由题意转化为，再由 对称性转化为，分类讨论求的值域，满足上述条件建立不等式求解即可. 【小问1详解】 因为定义在上函数的图象关于点对称， 所以为奇函数， ∴，得， 则令，得. 【小问2详解】 （ⅰ）因为函数图象关于点对称， 所以为奇函数， 所以 为奇函数， 所以，解得. （ⅱ）先证明在上单调递增， 设任意的，且， 则 ， 由可知，，， 所以，即在上单调递增； ∴在区间上的值域为，记在区间上的值域为， 对任意，总存在，使得成立知， 由的图象关于点对称，所以只需 ①当时，在上单调递增，由对称性知， 在上单调递增，∴在上单调递增， 只需即可，得，∴满足题意； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 由对称性知，在上单调递增，在上单调递减， ∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， ∴或， 当时，，， 即，， ∴满足题意； ③当时，在上单调递减，由对称性知，在上单调递减， ∴在上单调递减， 只需即可，得，∴满足题意. 综上所述，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $