3.3幂函数课件-2025届高三数学一轮复习

第三章 函数的概念与性质 3.3 幂函数 2025年高考数学一轮基础知识复习 1 必备知识解读 知识点1 幂函数的概念 例1-1 在函数,,, 中,幂函数的个数为( ) B A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】函数 为幂函数; 函数中 的系数不是1,所以它不是幂函数; 函数不是 是常数)的形式,所以它不是幂函数; 函数与不相等,所以 不是幂函数. 2 知识点2 幂函数的图象与性质 例2-2 已知,2,3,,,则使函数 的定义域为且函数 为奇函 数的所有 的值为( ) C A.,3 B.,1 C.1,3 D. ,1,3 【解析】当 为奇函数时,,1,3,又函数的定义域为,所以 , 故或 . 3 例2-3 [教材改编P91练习T1][多选题]已知函数 的图象经过点 , 则( ) AD A.的图象经过点 B.的图象关于 轴对称 C.在定义域上单调递减 D.在内的值域为 【解析】将点的坐标代入 ,可得,则 . 易得的图象经过点 ,A正确; 根据幂函数 的图象与性质可得B,C错误,D正确. 4 知识点3 一般幂函数的图象和性质 图3.3-5 例3-4 (2024 陕西省西安市雁塔二中月考)幂函数, , , 在第一象限内的图象依次是图3.3-5中的曲线( ) D A.,,, B.,,, C.,,, D.,,, 【解析】由于在第一象限内直线的右侧,幂函数 的图 象从上到下相应的指数 由大变小,即“指大图高”,故幂函数 在第一象限内 的图象为,在第一象限内的图象为,在第一象限内的图象为 , 在第一象限内的图象为 . 5 例3-5 关于幂函数的图象,下列选项描述正确的是( ) C A.幂函数的图象一定经过点和点 B.幂函数的图象一定关于 轴或原点对称 C.幂函数的图象一定不经过第四象限 D.两个不同幂函数的图象最多有两个公共点 【解析】对于A,幂函数的图象一定经过点,不一定过点,例如 , 故A错误; 对于B,幂函数的图象既不关于 轴对称,也不关于原点对称,故B错误; 对于C,由幂函数的性质可知,幂函数的图象一定不经过第四象限,故C正确; 对于D,幂函数与的图象的交点为,, ,共3个,故D 错误. 6 知识点4 函数图象的凹凸性 例4-6 [多选题](2024 四川省绵阳市南山中学)下列幂函数中满足条件 的函数是( ) BD A. B. C. D. 【解析】满足条件 , 也即当 时,函数的图象是凹函数. 由幂函数在第一象限内的图象可知, 函数,在 上是凹函数, 因此满足,故选 . 7 关键能力构建 题型1 幂函数的定义域和值域 例7(1) 函数 的定义域是_,值域是_; 【解析】的定义域为,值域为 . (2)函数 的定义域是_,值域是_; 【解析】的定义域为,值域为 . (3)函数 的定义域是_,值域是_; 【解析】的定义域为,值域为 . 8 (4)函数 的定义域是_,值域是_. 【解析】的定义域为,值域为 . 【学会了吗|变式题】 1.(2024 河南省开封市五校期末)已知幂函数的图象过点,则 的 定义域为( ) B A. B. C. D. 【解析】设幂函数为 , 幂函数的图象过点 , 则,解得.故 , 故的定义域为 , 故满足,解得 . 10 题型2 幂函数的图象及应用 例8 (2024 四川省眉山市仁寿一中入学考试)已知某幂函数的图象经过点 , 则该幂函数的大致图象是( ) D A. B. C. D. 【解析】设幂函数为 ,由函数的图象过点,得 ,即 ,所以,解得,所以 . 函数的定义域为,且,故 为偶函 数,且函数在上单调递减,在 上单调递增.故符合题意的为D. 11 例9 若点在幂函数的图象上,点在幂函数的图象上,求当 为 何值时,有 (1) ; 【解析】当或时, ; (2) ; 【解析】当或时, ; (3) . 【解析】当,且时, . 12 【解析】设 ,由点在幂函数的图象上,得 , , 则,同理得 . 在同一平面直角坐标系中作出这两个函数的图象,如图3.3-6所示. 图3.3-6 观察图象可得: 13 【学会了吗|变式题】 2.(2024 江苏省苏州市期末)幂函数 的大致图象是( ) B A. B. C. D. 【解析】 当时,为偶数且大于0, 的定义域为 ,且在定义域上单调递增,结合选项可知, 错误,B正确.故选B. 14 题型3 幂函数的性质及应用 例10 (2024 福建省泉州七中期中)设函数,则 ( ) A A.是奇函数,且在上单调递增 B.是奇函数,且在 上单调递减 C.是偶函数,且在上单调递增 D.是偶函数,且在 上单调递减 【解析】函数的定义域为, ,则 是奇函数. 当时,和是增函数,则在 上单调递增. 15 例11 比较下列各题中两个数的大小: (1), ; 【解析】为上的增函数,且 , . (2), ; 【解析】为上的减函数,且 , . 16 (3), . 【解析】为上的偶函数, . 又函数在上单调递增,且 , ,即 . 例12 (2024 湖南省长沙市期末)已知幂函数 ,当 时,随的增大而减小,则实数 的值为_. 2 【解析】() 是幂函数, ( 的系数为1,注意该隐含条件) ,即 , 或 .(注意进行验证) 当时,,是幂函数,且满足当时,随 的增大而减小; 当时,,是幂函数,但不满足当时, 随 的增大而减小,故舍去. 实数 的值为2. 18 【学会了吗|变式题】 3.(2024 广东省汕头市期末)已知函数 是幂函数,且在 上单调递增,则实数 ( ) C A. B. 或3 C.3 D.2 【解析】由题意知,,即,解得或 , 当时,,则在 上单调递减,不合题意; 当时,,则在上单调递增,符合题意, , 故选C. 19 例13 若,则实数 的取值范围为_. 【解析】因为在定义域上是增函数,所以 解得 . 故实数的取值范围为 . 20 例14 若,则实数 的取值范围为_. , 【解析】 , 或或 解得或 . 故实数的取值范围为 . 21 题型4 幂函数的奇偶性 例15 (2024 江苏省镇江市期末)幂函数满足下列性质:(1)对定义域中任意的 , 有;(2)对中任意的, ,都有 ,请写出满足这两个性质的一个幂函数的表达式 _. (答案不唯一) 【解析】由题意知幂函数满足性质:对定义域中任意的,有 ,则 为偶函数, 又函数满足对中任意的, , 都有 , 可知函数在 上单调递减, 故 满足题目中要求. 22 【学会了吗|变式题】 4.(2024 华东师大二附中月考)已知函数 是幂函数,且 是奇函数. (1)求实数 的值; 【答案】函数 是幂函数,且是奇函数, ,解得或 , 当时,,此时函数 为偶函数,不符 合题意; 当时,,此时函数 为奇函数. 综上所述, . 23 (2)解不等式 . 【答案】由(1)可得在, 上为减函数, 或或 解得或 , 故不等式的解集为 . 24 习题课 A 基础练 知识测评 1.(2022 上海)下列幂函数中,定义域为 的是( ) C A. B. C. D. 【解析】选项A中函数的定义域为 ,选项B中函数的定义域为 ,选项C中函数的定义域为,选项D中函数的定义域为 ,故选C. 25 2.(2024 福建省厦门市期中)幂函数的图象过点 ,则它的单调递增区间是 ( ) D A. B. C. D. 【解析】设幂函数 , 为实数,的图象过点, ,解 得,,它的单调递增区间是 . 26 3.已知,,,则,, 的大小关系为( ) A A. B. C. D. 【解析】,,,所以 . 27 4.(2024 黑龙江省佳木斯四校联考期中)如图3.3-1所示,,, 为三个幂函数 在第一象限内的图象,则解析式中指数 的值依次可以是( ) D 图3.3-1 A.,2, B.,2, C.,,2 D., ,2 【解析】由题图可知,曲线对应的应该为负数,曲线对应的 应该满足 ,曲线对应的应该满足 .则D选项满足上述条件,故选D. 28 5.[多选题](2024 陕西省延安市期中)下列函数既是幂函数,又在 上单调递 减的是( ) CD A. B. C. D. 【解析】幂函数的解析式为 ,排除A,又,在 上单调递 增,排除B,而,都是幂函数,且在上单调递减,故选 . 29 6.(2024 山东省聊城市期中)有一种密钥密码系统可以保证信息的安全传输,其加密、 解密原理为:发送方根据加密密钥把明文转为密文(加密),接收方根据加密密钥 把密文转为明文(解密).现在已知加密密钥为 为常数),如“4”通过加密 后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是_. 9 【解析】由题目可知加密密钥 是常数)是一个幂函数,所以要想求得解密 后得到的明文,就必须先求出 的值.由题意得 ,解得,则 .由 ,得 . 30 7.(2024 广东省东莞市七校联考期中)已知幂函数 是偶 函数. (1)求函数 的解析式; 【答案】 幂函数 是偶函数, ,且是偶数,解得 , 函数的解析式为 . (2)若,求 的取值范围. 【答案】在上单调递增,在 上单调递减,且为偶函数, 则由,得,解得 , 的取值范围是 . 31 B 综合练 高考模拟 8.(2024 上海市黄浦区格致中学期中)函数,,且, 互质)的图象如图3. 3-2所示,则( ) C 图3.3-2 A.,是奇数, B.是偶数,是奇数, C.是偶数,是奇数, D.是奇数,是偶数, 【解析】由函数图象可知是偶函数,而,是互质的,故是偶数, 是奇数. 又当时,的图象在的图象下方,故 . 32 9.[多选题](2024 广东省珠海市期末)已知函数 是幂 函数,对任意,,且,满足.若, ,且 的值为负值,则下列结论可能成立的有( ) BC A., B., C., D.以上都可能 33 【解析】由于函数为幂函数,故,即 ,解得 或.当时,,当时,.由对任意 , ,且,满足知,函数在 上为增函数, 故.易知,故函数是奇函数.由 , 即,得,所以,此时,当时, , 故;当时,,故,则;当时,由 得,,故或或,则或或 .综上可知, ,且或或.故选 . 34 10.(2024 江苏省扬州一中期中)有四个幂函数:; ; ; .某同学研究了其中的一个函数,并给出这个函数的三个性 质: (1)是偶函数;(2)值域是,且;(3)在 上单调递增. 如果给出的三个性质中,有两个正确,一个错误,则他研究的函数是_(填序号). ② 【解析】对于函数①,是一个奇函数,值域是,且 ,在 上单调递减,所以三个性质中有两个不正确;对于函数②, 是一 个偶函数,其值域是,且,在 上单调递增,所以三个性质中有两 个正确,符合条件;同理可判断函数③④不符合条件. 35 11.(2024 黑龙江省哈一中期末)已知幂函数 . 【答案】 是幂函数, ,即,解得或 . (1)若的定义域为,求 的解析式; 【答案】的定义域为,,故 . 36 (2)若为奇函数,,使成立,求实数 的取值范围. 【答案】为奇函数, , ,使成立,即,使 成立, 当时, , 又在上单调递减,,即 . 故实数的取值范围为 . 37 感谢观看 $$