精品解析：云南省红河哈尼族彝族自治州弥勒市庆来学校综合高中2024-2025学年高三上学期10月期中数学试题

庆来学校综合高中2024-2025学年秋季学期10月期中考试卷 高三数学 一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ） A. B. C. D. 4. 若不等式的解集是，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 某校要调查该校名学生的身体健康情况，其中男生名，女生名，现按性别用分层抽样的方法从中抽取名学生的体检报告，则女生应抽取的人数为（ ） A. B. C. D. 6. 绝对值不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 7. 圆的圆心到直线的距离为1，则（ ） A. 2 B. C. D. 8. 若是非零向量且满足，，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. 3 B. 1 C. D. 11. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 12. 在中，，，，则角B的大小为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13. 如图，函数的图像是曲线，则______； 14. 计算的值是______； 15. 函数的定义域是______； 16. 设复数的共轭复数是，若复数，，且是实数，则实数等于______． 三、解答题（本大题共5小题，满分52分，应写出文字说明及演算步骤） 17. 已知是各项均为正数的等比数列，，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 18. 为了了解某职校学生的体能情况，抽取了该校高一年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将取得数据整理后，画出频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右前三个小组频率分别为0.1，0.3，0.4，第一小组的频数为10． （1）求第四小组的频率； （2）参加这次测试的学生有多少人； （3）若次数在75次以上（含75次）为达标，试估计该年级学生跳绳测试的达标率． 19. 如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面． （1）求证：平面； （2）若，直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 20. 已知椭圆的右顶点为，离心率为，过点及左焦点的直线交椭圆于两点，右焦点设为． （1）求椭圆的方程； （2）求的面积． 21. 如图，渔船甲位于岛屿的南偏西方向的处，且与岛屿相距海里，渔船乙以海里/时的速度从岛屿出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用小时追上． （1）求渔船甲的速度； （2）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 庆来学校综合高中2024-2025学年秋季学期10月期中考试卷 高三数学 一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集与补集的概念运算即可. 【详解】已知集合， ，. 故选：B. 2. 设，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合一元二次不等式的解法求解判断即可. 【详解】由，即得：或， 所以当时，可以得到，则是的充分条件， 但当时，不一定得到，则是的不必要条件， 因此，是的充分不必要条件， 故选：. 3. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图的数据可知，原几何体是一个底面以2为直径的圆，3为高的圆柱，和直径为的球组成，再由圆柱和球的表面积公式求值即可. 【详解】由三视图可知，原几何体是一个底面以2为直径的圆，3为高的圆柱， 和直径为的球组成的， 则圆柱的表面积为， 球的表面积为， 所以该几何体的表面积是. 故选：C. 4. 若不等式的解集是，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意找出不等式对应方程的根为和，再根据根与系数的关系列出关于的方程组进行求解即可. 【详解】由题意可知，关于的二次方程的两根分别为，且有， 由根与系数关系可得，解得， 因此. 故选：B. 5. 某校要调查该校名学生的身体健康情况，其中男生名，女生名，现按性别用分层抽样的方法从中抽取名学生的体检报告，则女生应抽取的人数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出抽样比，再由女生总数乘以抽样比即可. 【详解】由题意可知，抽样比为， 由女生为名，可得女生应抽取的人数为. 故选：A. 6. 绝对值不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据含有绝对值的不等式的解法求解即可. 【详解】因为， 所以或， 解得：或， 所以该不等式的解集为：或. 故选：. 7. 圆的圆心到直线的距离为1，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将圆的一般方程化成标准方程，得到圆心坐标，再根据点到直线距离公式求出的值即可. 【详解】将圆：化成标准方程为， 圆心坐标为， 所以圆心到直线的距离， 解得：. 故选：. 8. 若是非零向量且满足，，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量垂直及向量数量积的性质可得，联立可得，再代入向量的夹角公式即可求解. 【详解】因为，， 所以， 即， 所以，则， 因为所以，即. 故选：. 9. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知利用诱导公式求得的值，再由诱导公式及二倍角公式求得的值. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：. 10. 是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的定义可得，再将代入中求值即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以， 又当时，， 所以， 所以. 故选：D. 11. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数定义域，分两种情况去绝对值，将函数化为分段函数，可得答案. 【详解】对于函数，定义域为：， 当时，函数， 当时，函数， 即， 故其图象为， 故选：. 12. 在中，，，，则角B的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式得，再由同角三角函数的平方关系求出的值，再由正弦定理求值即可. 【详解】由， 可得，在中， ，则， 所以， 又，， 根据正弦定理得，， 解得，因为，所以或， 因为，所以舍去，. 故选：A. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13. 如图，函数的图像是曲线，则______； 【答案】2 【解析】 【分析】观察函数图像，得出的值，再由的值，即可得出的值. 【详解】观察函数图像可知，， 所以. 故答案为：2. 14. 计算的值是______； 【答案】## 【解析】 【分析】根据指数幂的运算法则和对数的运算法则计算即可. 【详解】 . 故答案为：. 15. 函数的定义域是______； 【答案】且 【解析】 【分析】首先让根式有意义，即负数不能开偶次方根，再使分式有意义，即分母不能为零，最后二者取交集，即可得到答案. 【详解】由题意可得，解得：， 所以函数的定义域为：且. 故答案为：且. 16. 设复数的共轭复数是，若复数，，且是实数，则实数等于______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义，和复数的乘法计算出，再由是实数，列方程求解即可. 【详解】已知复数，，则， ， 因为是实数， 所以，解得. 故答案为：. 三、解答题（本大题共5小题，满分52分，应写出文字说明及演算步骤） 17. 已知是各项均为正数的等比数列，，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设 的公比为 ，再由等比数列的通项公式求值即可. （2）根据等差数列的定义证明数列为等差数列，再由等差数列的前项和公式求值即可. 【小问1详解】 已知是各项均为正数的等比数列， 设 的公比为， 且，， 则有，即， 解得 （舍去）或 ， 因此 的通项公式为 . 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 则， 所以， 所以数列为首项为1，公差为2的等差数列， 则数列的前项和为. 18. 为了了解某职校学生的体能情况，抽取了该校高一年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将取得数据整理后，画出频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右前三个小组频率分别为0.1，0.3，0.4，第一小组的频数为10． （1）求第四小组的频率； （2）参加这次测试的学生有多少人； （3）若次数在75次以上（含75次）为达标，试估计该年级学生跳绳测试的达标率． 【答案】（1） （2）人 （3） 【解析】 【分析】 (1)根据频率分布直方图，以及前三个小组的频率，那么第四个小组的频率用1减去前三个小组的频率即可得出. （2）根据频率=频数÷样本容量，通过第一小组的频率和频数即可求出总人数. （3）次数在75次以上，即为后三组，达标率等于达标次数的频率之和. 【详解】（1）由累积频率为1知，第四小组的频率为. （2）设参加这次测试的学生有x人，则， ∴．即参加这次测试的学生有100人． （3）次数在75次以上，即为后三组，达标率为 ，即， 所以估计该年级学生跳绳测试的达标率为． 19. 如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面． （1）求证：平面； （2）若，直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由四边形是菱形，得到，再由平面，得到，然后利用直线与平面垂直的判定可得平面； （2）由平面，得是直线与平面所成的角，可得，再由已知求得，由，求出菱形的面积，代入棱锥体积公式即可求解. 【小问1详解】 因为四边形是菱形，所以， 又因为平面，平面， 所以，又，平面，平面， 故平面； 【小问2详解】 因为平面，所以是直线与平面所成的角， 于是， 因此，又，所以三角形是等边三角形， 所以菱形的面积为， 故四棱锥的体积. 20. 已知椭圆的右顶点为，离心率为，过点及左焦点的直线交椭圆于两点，右焦点设为． （1）求椭圆的方程； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知结合椭圆的隐含条件求得的值，则椭圆的方程可求； （2）根据两点的坐标写出直线的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式求，再由点到直线距离公式求点到直线的距离，代入三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 由题意可得，，又离心率， 所以，则， 因此椭圆方程为． 【小问2详解】 如图所示： ∵， ∴直线的方程为， 由，得， ∵，所以直线与椭圆有两个公共点， 设，，则， ∴， 又点到直线的距离， 故． 21. 如图，渔船甲位于岛屿的南偏西方向的处，且与岛屿相距海里，渔船乙以海里/时的速度从岛屿出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用小时追上． （1）求渔船甲的速度； （2）求的值． 【答案】（1）14海里/时 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意推出，利用余弦定理求出，然后推出渔船甲的速度； （2）在中，直接利用正弦定理求出的值. 【小问1详解】 依题意，，，，． 在中，由余弦定理，得 ， 解得， 所以渔船甲的速度为海里/时． 【小问2详解】 在中，因为，，，， 由正弦定理，得， 即，所以的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $