2.5.1直线与圆的位置关系第二课时学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

研修主题 ：2.5.1 直线与圆的位置关系（第二课时）课堂笔记/导纲使用说明\ 【研修目标】 1. 理解并掌握直线与圆的方程在实际生活中的应用. 2. 会用“数形结合”的数学思想解决问题 【原点整合】 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相离 公共点个数 个 个 个 判断方法 几何法：设圆心到直线的距离为 d＝ d＝r 代数法： 由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ>0 【自主研修】 例1、图 2.5-3 是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑求支柱A2P2的高度(精确到0.01 m) 【合作研修】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例2、一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？ 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图所示)， 其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9， 港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)， 则轮船航线所在直线l的方程为＋＝1，即4x＋7y－28＝0， 圆心(0,0)到l：4x＋7y－28＝0的距离d＝＝， 因为>3，所以直线与圆相离． 故轮船不会受到台风的影响． 【课堂速正】 1、如图，圆弧形拱桥的跨度AB＝12 m，拱高CD＝4 m，则拱桥的直径为________ m. 2、设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离是________． 【课堂总结】 【速正练习】 1、如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为________米． 2、已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为(　　) A. B. C．1 D．3 3、已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值是(　　) A．8 B．－4 C．6 D．无法确定 4、一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为(　　) A．2.4米 B．3.5米 C．3.6米 D．2.0米 5、已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过点A与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为________． 6、已知圆x2＋y2＋2x－2y＋2a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦长为4，则实数a的值是(　　) A．－1 B．－2 C．－3 D．－4 7、台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为________h. 参考答案 1、答案　13 解析　设圆心为O，半径为r，则由勾股定理得，|OB|2＝|OD|2＋|BD|2，即r2＝(r－4)2＋62，解得r＝，所以拱桥的直径为13 m. 2、答案　－2 解析　从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减去圆的半径2，即－2＝－2. 【速正练习】 1、答案　2 解析　如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系． 设圆心为C，圆的方程设为x2＋(y＋r)2＝r2(r>0)，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)．将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10， 则圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1米后，可设点A′(x0，－3)(x0>0)， 将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝， 所以当水面下降1米后，水面宽为2x0＝2(米)． 2、答案　A 解析　由题意知，圆C上的点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去圆的半径，即－＝. 3、答案　C 解析　因为圆上两点A，B关于直线x－y＋3＝0对称， 所以直线x－y＋3＝0过圆心， 从而－＋3＝0，即m＝6. 4、答案　B 解析　以半圆所在直径为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 易知半圆所在的圆的方程为x2＋y2＝3.62(y≥0)， 由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高， 此时x＝0.8或x＝－0.8，代入x2＋y2＝3.62， 得y≈3.5(负值舍去)． 5、答案　 解析　∵点A(1,2)在圆x2＋y2＝5上，∴过点A与圆O相切的切线方程为x＋2y＝5，易知切线在坐标轴上的截距分别为5，，∴切线与坐标轴围成的三角形的面积为. 6、答案　B 解析　圆x2＋y2＋2x－2y＋2a＝0，即 (x＋1)2＋(y－1)2＝2－2a， 故弦心距d＝＝， 再由弦心距，半弦长和半径的关系可得2－2a＝2＋4， ∴a＝－2. 7、答案　1 解析　如图，以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 则台风中心经过以B(40,0)为圆心，30为半径的圆内时城市B处于危险区， 即B处于危险区时，台风中心在线段MN上，可求得|MN|＝20， 所以时间为1 h. 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$