河南省郑州市2024-2025学年八年级上学期期末数学复习（平行线的证明近三年组题汇编）

河南省郑州市2024-2025学年八年级上学期期末数学复习（平行线的证明章节重难点近三年组题汇编） 一、单选题 1．（23-24八年级上·河南郑州·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．面积相等的两个三角形全等 B．相等的角是对顶角 C．两直线平行，内错角相等 D．若，，则 2．（23-24八年级上·河南郑州·期末）下列命题中，真命题是（   ） A．1的平方根是它本身 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．三角形的外角大于任何一个内角 D．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合 3．（21-22八年级上·河南郑州·期末）下列命题中，真命题有（    ） ①若，，则；②两直线平行，同旁内角相等；③对顶角相等；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤三角形的一个外角大于它的内角． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（20-21七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，现给出下列条件：① ，② ，③ ，④，⑤ ．其中能够得到ABCD的条件的个数（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（22-23八年级下·河南郑州·期末）用反证法证明“在同一平面内，若，则”时，应假设（    ） A．不平行 B．不垂直于 C．不垂直于 D．a，b都不垂直于c 6．（22-23八年级上·河南郑州·期末）下列说法不正确的是（    ） A．“相等的角是对顶角”是假命题 B．“两直线平行，同位角相等”是真命题 C．命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“一个三角形是等边三角形” D．“若，则”是假命题的反例可以是 7．（22-23八年级上·河南郑州·期末）郑州市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，．当为（    ）度时，与平行． A．15 B．65 C．66 D．115 8．（21-22八年级上·河南郑州·期末）定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 已知：如图，和是直线，被直线截出的内错角，且 求证：∥． 下列说法正确的是（    ） A．证法只要测量够组内错角进行验证，就能证明该定理 B．证法用特殊到一般的数学方法证明了该定理 C．证法用严谨的推理证明了该定理 D．和说法都正确 二、填空题 9．（22-23八年级上·河南郑州·期末）“两直线平行，同位角互补”是 命题（填真、假） 10．（23-24八年级上·河南郑州·期末）命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．请将“等腰三角形的两底角相等”改写为“如果……那么……”的形式： ． 11．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，，则 ． 12．（23-24八年级上·河南郑州·期末）小明和小颖在做三角形摆放游戏，他们将一副三角板如图所示叠放在一起，使位于内部，三角板的位置保持不变，改变三角板的位置， 时，． 13．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G，若∠MFD＝∠BEF＝58°，射线GP⊥EG于点G，则∠PGF＝ ． 14．（21-22八年级上·河南郑州·期末）如图，已知，，平分外角，平分外角，平分，平分外角，则 ．    15．（21-22八年级上·河南郑州·期末）如图，直线被直线所截，，． ∵， ∴． ( ) 16．（21-22八年级上·河南郑州·期末）如图所示，△中，，BP，CP，BM，CM分别是∠ABC，∠ACD，∠PBC，∠PCB的平分线，则∠M的度数为 ． 三、解答题 17．（22-23八年级上·河南郑州·期末）求证：两条直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直．（提示：先画图，写出已知，求证，然后进行证明） 18．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，，，，． (1)直线与有怎样的位置关系？并证明你的结论； (2)若，求的度数． 19．（21-22八年级上·河南郑州·期末）阅读（1）题的说理过程，写出（2）题的说理过程． （1）已知：如图，对说明理由． 理由：作，则有（ 平行于同一条直线的两条直线平行）． ，（两直线平行，内错角相等） （ 等量代换） （2）已知：如图，．对说明理由． 20．（21-22八年级上·河南郑州·期末）如图，在中，与的平分线相交于点．    (1)若，则的度数是　 　； (2)如图，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系； (3)如图，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，求的度数． 21．（21-22八年级上·河南郑州·期末）小明在学习中遇到这样一个问题： 如图1，在中，，平分，于点．猜想，，的数量关系． (1)小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入，的值求的值，得到下面几组对应值： /度 10 30 30 20 20 /度 70 70 60 60 80 /度 30 15 20 30 上表中__________，于是得到，，的数量关系为__________； (2)小明继续探究，如图2，在线段上任取一点，过点作于点，请尝试写出，，之间的数量关系，并说明理由； (3)小明突发奇想，交换，两个字母位置，如图3，过的延长线上一点作交的延长线于点，当，时，的度数为__________． 22．（22-23八年级上·河南郑州·期末）（1）如图，把沿折叠，使点A落在点处，试探究与的关系； （2）如图2，若，作的平分线，与的外角平分线交于点N，求的度数； （3）如图3，若点落在内部，作，的平分线交于点，此时, 满足怎样的数量关系？并给出证明过程．    23．（22-23八年级上·河南郑州·期末）将一副三角板如图1所示摆放，直线，    (1)如图2，现将三角板绕点A以每秒2°的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒（），当旋转到时，_______； (2)若三角板不动，而三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒（），求当旋转到时，t的值是多少？ (3)若三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设时间为t秒（），若边与三角板的一条直角边（边，）平行时，则所有满足条件的t的值为__________． 24．（23-24八年级上·河南郑州·期末）已知直线，点B为一动点，连接、． (1)当点B运动到直线，之间某一位置时，如图①所示，求证：； (2)当点B运动到直线下方某一位置时，如图②所示，判断、、之间的数量关系，并加以证明． (3)当点B运动到直线上方某一位置时，如图③所示，的角平分线与的角平分线交于点G，当时，__________． 25．（23-24八年级上·河南郑州·期末）【探究发现】在学习完八年级上册数学之后，小明对几何推理证明问题兴趣浓厚，他从中华人民共和国国旗中的五角星开始了探究，已知国旗中五角星的五个角均相等，他画出了图①所示的五角星，并利用所学的知识很快得出五个角的度数，此度数为 ； 【拓展延伸】如图②，小明改变了这五个角的度数，使它们均不相等，小明发现的和是一个定值并进行了证明，请你猜想出结果并加以证明； 【类比迁移】如图③，小明将点A落在上，点C落在上，那么存在怎样的数量关系？请直接写出结果． 26．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，已知，点C，D分别在射线，上，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点P． (1)如图①，当时，______； (2)如图②，当点C，D在射线，上任意移动时（不与点O重合），的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出的度数． (3)如图③，在第（2）问的基础上，若，其他条件不变，请直接写出的度数． 参考答案： 1．C 【分析】本题考查判断命题的真假，根据全等三角形的判定，对顶角，平行线的性质，等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、面积相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题； B、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题； C、两直线平行，内错角相等，原命题是真命题； D、，，可能等于，原命题是假命题； 故选C． 2．D 【分析】本题考查了命题与定理的知识，利用平方根的定义、平行线的性质、三角形的外角的性质及等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、1的平方根是，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、三角形的外角大于任何一个不相邻的内角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合，正确，是真命题，符合题意． 故选：D． 3．A 【分析】根据平行线的性质、对顶角的概念、三角形外角性质等逐个判断即可． 【详解】解：对于①：平行于同一直线的两直线平行，故①正确； 对于②：两直线平行，同旁内角互补，故②错误； 对于③：对顶角相等，故③正确； 对于④：当该点在已知直线上时，过这点不存在与已知直线平行的直线，故④错误； 对于⑤：三角形的外角也可能等于它的外角，此时三角形为直角三角形，故⑤错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形外角性质等，属于基础题，记牢各性质即可． 4．B 【分析】根据两直线平行的判定定理逐个判断即可．平行线的判定：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 【详解】解：①∵∠1=∠B，∴AB∥CD，故本小题正确； ②∵∠2=∠5，∴AB∥CD，故本小题正确； ③∵∠3=∠4，∴AD∥BC，故本小题错误； ④∵∠1=∠D，∴AD∥BC，故本小题错误； ⑤∵∠B+∠BCD=180°， ∴AB∥CD，故本小题正确． 故答案为：B． 【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解答此题的关键． 5．A 【分析】根据反证法的第一步，假设结论的对立面成立，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：应假设不平行； 故选A． 【点睛】本题考查反证法．解题的关键是掌握反证法的第一步是假设结论的对立面成立． 6．C 【分析】根据对顶角的概念，平行线的判定，等边三角形的定义，绝对值的定义判断各项，即可得出结论． 【详解】解：A．“相等的角是对顶角”是假命题，正确，故A选项不符合题意； B．“两直线平行，同位角相等”是真命题，正确，故B选项不符合题意； C．命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“三角形的三个内角都相等”，错误，故C选项符合题意； D．，，故“若，则”是假命题的反例可以是正确，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了判断命题的真假，命题的条件，用反例法证明命题的真假，熟练掌握知识点是解题的关键． 7．B 【分析】根据平行线的判定定理与性质定理即可求解． 【详解】,， ， ， ， 要使与平行，则有， ． 故答案为：B． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 8．C 【分析】对比两种证明方法是否具有严谨性即可求解． 【详解】解：证法1利用测量的方法总是有误差的，不严谨且说法不正确；而证法2推理证明的过程严谨，所以说法A、B、D都不正确， 故选：C 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握内错角相等，两直线平行，此题基础题． 9．假 【分析】本题主要考查的是平行线的性质与真假命题的判断，平行线的性质有：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．解题关键是掌握平行线的性质与真假命题的判断． 根据平行线的性质作出判断即可． 【详解】解：根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等， 所以，两直线平行，同位角互补是假命题． 故答案为：假． 10．如果两个角为等腰三角形的底角，那么这两个角相等． 【分析】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．命题中的条件是一个三角形是等腰三角形，放在“如果”的后面，结论是它的两个底角相等，应放在“那么”的后面． 【详解】解：题设为：一个三角形是等腰三角形，结论为：这个三角形的两个底角相等， 故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角为等腰三角形的底角，那么这两个角相等． 故答案为：如果两个角为等腰三角形的底角，那么这两个角相等． 11．/105度 【分析】本题考查了全等三角形的性质：对应角相等，可得，最后根据三角形内角和即可求解； 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故答案为： 12．30 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理求解即可，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解此题的关键． 【详解】解：， 时，． 故答案为：30． 13．61或119． 解：如图，①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE＝90°， ∵∠MFD＝∠BEF＝58°， ∴CD∥AB， ∴∠GEB＝∠FGE， ∵EG平分∠BEF， ∴∠GEB＝∠GEF∠BEF＝29°， ∴∠FGE＝29°， ∴∠PGF＝∠PGE﹣∠FGE＝90°﹣29°＝61°； ②当射线GP′⊥EG于点G时，∠P′GE＝90°， 同理：∠P′GF＝∠PGE+∠FGE＝90°+29°＝119°． 则∠PGF的度数为61°或119°． 故答案为：61或119． 14．115°/115度 【分析】由三角形外角的性质即三角形的内角和定理可求解∠DBC+∠ECB＝260°，再利用角平分线的定义可求解∠FBC+∠FCB＝130°，即可得∠GBC+∠GCB＝65°，再利用三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC， ∴∠DBC+∠ECB＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC， ∵∠ACB+∠A+∠ABC＝180°， ∴∠DBC+∠ECB＝∠A+180°＝80°+180°＝260°， ∵BF平分外角∠DBC，CF平分外角∠ECB， ∴∠FBC∠DBC，∠FCB∠ECB， ∴∠FBC+∠FCB（∠DBC+∠ECB）＝130°， ∵BG平分∠CBF，CG平分∠BCF， ∴∠GBC∠FBC，∠GCB∠FCB， ∴∠GBC+∠GCB（∠FBC+∠FCB）＝65°， ∴∠G＝180°﹣（∠GBC﹣∠GCB）＝180°﹣65°＝115°． 故答案为：115°． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，求解∠FBC+∠FCB＝130°是解题的关键． 15．同旁内角互补，两直线平行 【分析】根据平行线的判定定理作出判断． 【详解】由图可知，与互为同旁内角， 则根据平行线判定定理：同旁内角互补，两直线平行， 可得． 故答案为：同旁内角互补，两直线平行． 【点睛】本题考查平行线的判定，解决本题的关键是熟知平行线判定定理． 16．102.5° /102.5度 【分析】先根据三角形外角的性质和角平分线的性质求出∠P=∠A=25º，再根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出∠M=90º+∠P=102.5º． 【详解】∵∠ACD、∠ PCD 分别是△ABC、△ PBC 的一个外角 ∴∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠P+∠PBC 又 ∵BP、 CP 分别是∠ABC 、∠ACD 的平分线 ∴∠PBC=∠ABC， ∠PCD=∠ACD ∴∠ACD=∠P+∠ABC ∴∠A=2∠P ∴∠P=∠A=25º ∵△PBC中，BM 、CM 分别是∠PBC和∠PCB 的平分线 ∴∠MBC=∠PBC ，∠MCB=∠PCB ∴∠M=180º-∠MBC-∠MCB =180º- (∠PBC+∠PCB) =180º- (180º-∠P) =90º+∠P =90º+×25º =102.5º 故答案为102.5º 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角定理和角平分线的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． 17．见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，找出角度之间的数量关系是解题关键．由平行线的性质可知，再结合角平分线的定义和三角形内角和定理，得出，即可证明结论． 【详解】解： 如图，已知，直线分别交、于点、，、分别平分、． 求证：． 证明：， ， 、分别平分、， ，， ， 18．(1)，证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理以及外角的性质，解题的关键是： （1）利用三角形外角的性质求出，进而求出，结合，推出，即可推出； （2）利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，延长交于点P， ∵，，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴． 19．见解析 【分析】根据阅读材料和平行线的判定与性质即可写出说理过程． 【详解】解：理由： 作，则有（平行于同一条直线的两条直线平行）， ，（两直线平行，同旁内角互补）， （等量代换）． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用． 20．(1)； (2)，理由见解答过程； (3)或或或． 【分析】（）根据角平分线定义及三角形内角和定理得，则，再根据可得的度数； （）由三角形的外角定理及三角形三角形内角和定理得，再由角平分线定义得，由此得，之间的数量关系； （）先求出，根据得，然后分四种情况讨论即可； 此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角定理，角平分线定义，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角定理，理解角平分线定义是解题的关键． 【详解】（1）在中，， ∵与 的平分线相交于点， ∴，， ∴ ， ∴ ∵， ∴， 故答案为：； （2），之间的数量关系是，理由如下： ∵，，， ∴， ∵点是和的角平分线的交点， ∴， ∴， ∴， ∴，之间的数量关系是； （3）∵平分,平分，， ∴，， ∴ ， 即， ∴， 由（）可知: ， ∴， ∴， 如果在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，那么有以下四种情况： 当时, 则， ∴， 此时， 当时，则， ∴，则， 此时， 当时，则， ∴， 此时， 当时，则， ∴， ∴， 此时， 综上所述，的度数是或或或． 21．(1)20； (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）先求出，根据角平分线的定义得，然后根据得，据此可求出的度数，进而可得的值；由得，再由角平分线的定义得，然后可得出之间的数量关系； （2）过点A作于F，由（1）可知，再根据得，然后由平行线的性质得，据此可得之间的数量关系； （3）过点B作交于点G可得，进而得，根据求出，再由角平分线的定义得，然后再求出，进而由三角形外角定理得，据此即可得出的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即：． 之间的关系是：． 理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故答案为：20，． （2）解：之间的数量关系是：．理由如下： 如图：过点A作于F，    由（1）可知：， ∵， ∴． （3）解：如图：过点B作交EF于点G，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的外角定理、垂直的定义、平行线的判定和性质、角平分线的定义等知识点，熟练掌握三角形的内角和定理和三角形的外角定理是解答本题的关键． 22．（1）；（2）；（3），理由见详解 【分析】（1）由折叠的性质可知，根据外角定理得到，，代入即可得到； （2）先根据（1）的结论求出得到，再由角平分线的定义得到，再根据三角形外角定理进行角的转化即可得到； （3）由折叠的性质可知，根据三角形内角和定理证明，根据角平分线的性质得到，，进而证明，代入即可得到． 【详解】解：（1），理由如下： 如图1，与交于点M．    由折叠的性质可知， ∵为外角， ∴， ∵为外角， ∴， ∴； （2）由（1）得， ∵， ∴， ∴, ∵的平分线，与的外角平分线交于点N， ∴， ∵为的外角，为的外角， ∴； （3）解：，理由如下； 由折叠的性质可知， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查了折叠的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知三角形内角和定理和三角形外角的性质并进行角的转化是解题的关键． 23．(1) (2) (3)10或40 【分析】（1）设直线与，分别交于P，Q，根据平行线的性质得到，再利用外角的性质求出，再除以速度可得时间； （2）延长交于点P，根据平行线的性质得到，再表示出，得到方程，解之即可； （3）分，，表示出相应角，利用平行线的性质，三角形内角和与外角的性质得到方程，解之即可得到t值． 【详解】（1）解：如图，， 设直线与，分别交于P，Q， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；    （2）如图，延长交于点P， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴；        （3）如图，当时， 设直线与，分别交于P，Q， 此时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：；    如图，当时， 延长，，分别与交于P，Q， 此时，，， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， 解得：；      综上：所有满足条件的t的值为10或40． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角板的特征，三角形内角和和外角的性质，解决本题的关键是找到相对应的情形，本题图形比较抽象，关键是准确画出图形，找到符合题意的情形，不要漏解． 24．(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角的性质．正确作出辅助线是解题关键． （1）过点B作直线，即可证，结合平行线的性质即可得出； （2）过点B作直线，即可证，结合平行线的性质即可得出； （3）过点B作直线，即可证，结合平行线的性质可得出，．根据，可求出．再由角平分线的定义结合三角形外角的性质可求出． 【详解】（1）证明：如图，过点B作直线， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴； （2）解：． 证明：如图，过点B作直线， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴； （3）解：如图，过点B作直线， ∵， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵的角平分线与的角平分线交于点G， ∴，， ∴． 故答案为：． 25．探究发现：；拓展延伸：，证明见解析；类比迁移： 【分析】本题主要考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的数量关系． 探究发现：如图①，根据外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，再根据三角形内角和是，再根据五角星的五个角均相等，求出答案即可； 拓展延伸：如图②，根据外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，再根据三角形内角和是求出答案即可； 类比迁移：如图③，根据平角定义可得，，根据三角形外角性质得，然后等量代换即可． 【详解】解：探究发现： 如图①所示： ， ， 故答案为：； 拓展延伸： 如图②所示： ∵， ∴； 类比迁移： 如图③所示： ∵，， ∴， 即． 26．(1) (2)不变化； (3) 【分析】本题考查了三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，以及三角形的内角和是的定理．题目难度由浅入深，由特例到一般，是学生练习提高的必备题． （1）根据三角形的内角和是，可求，所以，又由平角定义，可求，所以，又根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，可求，； （2）根据，得出，，根据角平分线定义得出，．根据三角形外角的性质得出； （3）根据，得出，，根据角平分线定义得出，．根据三角形外角的性质得出． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：． （2）解：不变化，． ∵， ∴，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵， ∴． （3）解：∵， ∴，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$