精品解析：四川省宜宾市普通高中2024-2025学年高三上学期第一次诊断性考试数学试卷

宜宾市普通高中2022级第一次诊断性考试 数学 考试时间120分钟．满分150分. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，在复平面内，网格中每个正方形的边长都为1，点 对应的复数分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的几何意义即可根据向量的模长求解. 【详解】由图可知：,所以, 故选：A 2. 下列函数中，既是奇函数，又在是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义分别进行判断即可． 【详解】对于A，是偶函数，不满足条件． 对于B，，函数 是奇函数，由于 均在单调递增，故在单调递增，符合条件， 对于C,，则 是奇函数， 在单调递增,且为正，函数在单调递减，不满足条件． 对于D，，函数 是奇函数，当时，， ，，此时，不是增函数，不满足条件． 故选：B． 3. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数的关系求解即可. 【详解】由得， ， ，即， 解得或， ， ， . 故选：C. 4. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项分布的期望和方差公式即可求解，进而根据二项分布的概率公式求解即可. 【详解】因为，所以，解得， 所以． 故选：C． 5. 已知向量满足,,且,则（　　） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律，数量积求模，垂直关系的向量即可求解. 【详解】因为，则， 又因为， 由得， 则，则， 故选：A. 6. 从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片数字之积是3的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，用列举法分析“从六张卡片中无放回随机抽取2张”和“抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数”的情况数目，由古典概型公式计算可得答案. 【详解】根据题意，从六张卡片中无放回随机抽取2张， 有，，，，，，，，，，，，，，共15种取法， 其中抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数有，，，，，，，，共9种情况， 则抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数的概率. 故选：C. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据得到 ，根据得到，由得到. 【详解】， ， ， ， ， ， . 故选：D. 8. 是函数在上有零点的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，令，根据，得到当时在无零点，即是函数在上有零点的不充分条件；分别讨论当，时函数在上是否有零点，得到是函数在上有零点的必要条件. 【详解】由知， ， 令，则， ， ， ， 作出函数，的图象如下图， 当时，， 在单调递增， 又， 在无零点； ， 是函数在上有零点的不充分条件； 当时，， 在单调递减， 又， 在无零点； 当时，当时，， 故存在唯一的，使得， 且时，时， 在单调递减，在单调递增， 而，， 若即，则在无零点； 若即，则在有一个零点； 综上，当时，在无零点； 当时，在有一个零点； 当时， 在无零点； 而当时，不管在有无零点， 当函数在上有零点时都有， 是函数在上有零点的必要条件. 是函数在上有零点的必要不充分条件. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 某社会机构统计了某市四所大学年毕业生人数及自主创业人数如下表： A大学 B大学 C大学 D大学 毕业生人数（千人） 自主创业人数（千人） 根据表中的数据得到自主创业人数关于毕业生人数的经验回归方程为，则（ ） A. 与正相关 B. C. 当时，残差为 D. 样本的相关系数 为负数 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据回归直线的斜率可判断A选项；将样本中心点的坐标代入回归直线方程，求出的值，可判断B选项；利用残差的概念可判断C选项；利用样本的相关系数的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为回归直线的斜率为，所以，与正相关，A对； 对于B选项，由表格中的数据可得，， 所以，样本中心点为， 将样本中心点的坐标代入回归直线方程得，解得，B对； 对于C选项，当时，， 所以，当时，残差为，C对； 对于D选项，因为与正相关，所以，样本的相关系数 为正数，D错. 故选：ABC. 10. 设函数，则（ ） A. 是的极大值点 B. 在单增 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】求导，根据函数的单调性可得极值点，即可判断A，根据复合函数的单调性原则即可求解B，代入化简即可求解C，举反例即可求解D. 【详解】对于A, ，， 由，得到或 ，由，得到， 所以单调递增区间为， ；减区间为， 故 在处取到极大值，在处取到极小值，故A正确， 由于 在单调递增，且， 在单调递减，因此在单调递减，故B错误， 对于C，因为，即， 故C正确， 对于D，取，则，不满足，故D错误， 故选：AC 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记.若与均为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据与是偶函数，得到关于直线对称，关于对称，可判断C；再对两边同时求导得到关于点对称，进而得到4是的一个周期，可判断B和D；无法确定的值可判断A. 【详解】是偶函数， ，即， 函数关于直线对称， ，的值无法确定，故A错误，C正确； 对两边同时求导得， 即，所以， 关于点对称，且 ， 是偶函数， ①， 关于直线对称， ， ， ②， 由①②得， ， ， ， 4是函数的一个周期， ，故B正确； ，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的常数项为______． 【答案】160 【解析】 【分析】由题意利用二项式定理可得解. 【详解】二项式的展开式的通项公式， 令，可得 ， 所以展开式中的常数项为. 故答案为：160. 13. 设曲线在处的切线与直线垂直，则___________ 【答案】1 【解析】 【分析】由直线的斜率求出切线的斜率，导函数在切点处的值即为切线斜率，建立等式，求得的值. 【详解】直线的斜率， ∵切线与直线垂直，∴切线的斜率， ，当时，，∴， 故答案为：1. 14. 如图，一张圆形纸片的直径，现对折成半圆，取半圆弧上的三等分点 ，现沿边将裁剪，剪去两个全等且关于线段的中垂线对称的与，展开得到一个镂空的图案.若，则两个镂空的四边形和面积之和的最小值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】据题意，设圆的半径为 ，，由正弦定理将表示出来，代入面积公式，得到面积取最小值，即可可求解面积之和. 【详解】设圆的半径为 ，， 由于 是半圆的三等分点，故，所以， 在中，由正弦定理可得， 所以， 在中，由正弦定理可得， 所以， 因为的面积 ， 由于，则，故时，即时，的面积的最小值为， 故四边形和面积之和为, 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，正四棱柱中，为的中点， ， . （1）求证：平面 平面； （2）求平面 与平面 的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面 的法向量为，则，取； 设平面的法向量为，则，取； 因为 ，即， 所以平面 平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面 、平面的法向量，利用空间向量法证明即可； （2）求出平面 的法向量，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面 的法向量为，则，取， 设平面 与平面 的夹角为 ，则， 所以平面 与平面 的夹角的余弦值为. 16. 现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得分，没有命中得分；向乙靶射击一次，命中的概率为，命中得分，没有命中得分。假设该射手完成以上三次射击，且每次射击的结果相互独立. （1）求该选手恰好命中一次的概率； （2）求该射手的总得分的分布列及其数学期望. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 4 期望为2 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率计算公式及互斥事件的概率计算公式即可得出； （2）由题意，的所有可能取值为0，1，2，3，4，相互独立事件的概率计算公式、互斥事件的概率计算公式及数学期望的计算公式计算即可． 【小问1详解】 记：“该射手恰好命中一次”为事件，“该射手第一次射击甲靶命中”为事件，“该射手第二次射击甲靶命中”为事件，“该射手射击乙靶命中”为事件． 由题意知，， 所以 ． 【小问2详解】 根据题意，的所有可能取值为0，1，2，3，4． ，， ， ， ， 故的分布列是 0 1 2 3 4 ． 17. 已知函数，在锐角中，内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式以及辅助角公式可得，即可根据三角函数的性质求解， （2）根据余弦定理可得，，即可代入得，利用二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由可得， 由得，故或， 解得或， ， 结合为锐角，故 【小问2详解】 ， 由于为锐角三角形，由余弦定理可得，即， 故， 令，则对称轴为， 故当时，取最小值，， 故 18. 已知O为坐标原点，双曲线 的离心率为，且过点. （1）求C的标准方程； （2）过C的右焦点F的直线与双曲线C的左、右两支分别交于两点A、B，点Q是线段的中点，过点F且与垂直的直线交直线 于M点，点N满足； ①证明：点M在一条定直线上； ②求四边形面积的最小值. 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据双曲线过定点，结合离心率列方程组可得曲线方程； （2）①由已知直线斜率一定存在，可设直线与，联立直线与双曲线，结合韦达定理可得点Q及直线 方程，联立直线与 可得点M，进而得证； ②由已知 ，结合弦长公式可得 ，则面积，设，则，设，利用导数法求解最值即可得解. 【小问1详解】 由已知双曲线离心率，即， 则双曲线方程为，又曲线过点，即，解得， 所以双曲线方程为； 【小问2详解】 由（1）得， ①由已知直线的斜率k存在且，设直线，， 且， 联立直线与双曲线，得，恒成立，且，即，解得，又Q为A，B中点， 则，则，即， 则直线，又直线过点，且过点F，则， 联立与，即，解得，即， 即点M在直线上； ②，，又点N满足， 则四边形为平行四边形，且 ， 则， 设，则，则， 设，则， 令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取最小值为， 即当时，的最小值为. 19. 已知函数. （1）当时，判断的单调性； （2）若函数恰有两个极值点. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：的所有零点之和大于3. 【答案】（1）在单调递增，在单调递减， （2）①， ②由①知，且在单调递增，在单调递减， 由于， 当当 所以在和上各有一个零点， 结合可知共有3个零点， ， 若，则， 故的三个零点可以表示为， 故， 由于，故等号取不到，因此 因此的零点之和大于3，得证. 【解析】 【分析】（1）求导，由导函数的正负求解； （2）求导，构造函数，对分类讨论，即可解①，根据的单调性可得在和上各有一个零点，即可根据可得函数的三个零点为，利用基本不等式即可求解②. 【小问1详解】 时，，定义域为，则， 令，解得，，解得 ， 故在单调递增，在单调递减， 【小问2详解】 ①， 则， 记，则， ， 令，解得 ，，解得， 故在单调递减，在单调递增，， 若，则在单调递增，此时无极值点，不符合， 当，则， 当因此在有一个实数根， 现证明： 设 ， 则当 时，单调递减，当时，单调递增，故当 ，故 当且仅当时取等号， 故，所以 ， 所以在上有一个实数根，故恰有两个极值点，符合题意， 故 ②略. 【点睛】方法点睛： 1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜宾市普通高中2022级第一次诊断性考试 数学 考试时间120分钟．满分150分. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，在复平面内，网格中每个正方形的边长都为1，点 对应的复数分别为，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，既是奇函数，又在是增函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量满足,,且,则（　　） A. 1 B. C. D. 2 6. 从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片数字之积是3的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 是函数在上有零点的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 某社会机构统计了某市四所大学年毕业生人数及自主创业人数如下表： A大学 B大学 C大学 D大学 毕业生人数（千人） 自主创业人数（千人） 根据表中的数据得到自主创业人数关于毕业生人数的经验回归方程为，则（ ） A. 与正相关 B. C. 当时，残差为 D. 样本的相关系数 为负数 10. 设函数，则（ ） A. 是的极大值点 B. 在单增 C. D. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记.若与均为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的常数项为______． 13. 设曲线在处的切线与直线垂直，则___________ 14. 如图，一张圆形纸片的直径，现对折成半圆，取半圆弧上的三等分点 ，现沿边将裁剪，剪去两个全等且关于线段的中垂线对称的与，展开得到一个镂空的图案.若，则两个镂空的四边形和面积之和的最小值为___________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，正四棱柱中，为的中点， ， . （1）求证：平面 平面； （2）求平面 与平面 的夹角的余弦值． 16. 现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得 分，没有命中得 分；向乙靶射击一次，命中的概率为，命中得分，没有命中得 分。假设该射手完成以上三次射击，且每次射击的结果相互独立. （1）求该选手恰好命中一次的概率； （2）求该射手的总得分的分布列及其数学期望. 17. 已知函数，在锐角中，内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若，求的取值范围. 18. 已知O为坐标原点，双曲线 的离心率为，且过点. （1）求C的标准方程； （2）过C的右焦点F的直线与双曲线C的左、右两支分别交于两点A、B，点Q是线段的中点，过点F且与垂直的直线交直线 于M点，点N满足； ①证明：点M在一条定直线上； ②求四边形面积的最小值. 19. 已知函数. （1）当时，判断的单调性； （2）若函数恰有两个极值点. （i）求实数 的取值范围； （ii）证明：的所有零点之和大于3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $