空间向量及其运算讲义-2025届高三数学一轮复习

空间向量及其运算 1．空间向量的有关概念 名称 概念 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共线向量 定理 对空间任意两个向量，∥ ⇔存在，使 共面向量 定理 若两个向量不共线，则向量与向量共面 ⇔存在唯一的有序实数对，使 空间向量 基本定理 定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组使得 推论：设是不共面的四点，则对平面内任一点P都存在唯一的三个有序实数，使且 3．空间向量的数量积 (1)定义：. (2)运算律 ①交换律：；②分配律：； 4．空间向量的坐标表示 若，，则 ⑴． ⑵． ⑶．⑷． ⑸．⑹． ⑺∥．⑻． 1．O为空间任意一点，若，则四点(　　) A．一定不共面　　　　　　 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断 2．已知向量，则下列向量中与成夹角的是（ ） A． B． C． D． 3．在棱长为的正四面体中，分别是的中点，则（ ） A． B． C． D． 4．在空间直角坐标系中，已知，，，，若分别表示三棱锥在，，坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ） A． B．且 C．且 D．且 考点一 向量的线性运算 【例1】如图，空间四边形中，点在线段上，且，点为的中点，点在线段上，且，设，试用向量表示． 【方法技巧】用已知向量表示某一向量的方法 (1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立． 【变式】在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 考点二 共线、共面向量定理的应用 【例2】在平行六面体中，为的重心，设，，，试用表示，，并证明三点共线． 【方法技巧】 （1） 证明点共线的方法 证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明三点共线，即证明共线，亦即证明． (2)证明点共面的方法 证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明四点共面， 只要能证明或对空间任一点，有． 【变式】如图，已知斜三棱柱，点分别在和上，且满足，． （1）向量是否与向量，共面？ （2）直线是否与平面平行？ 考点三 数量积的应用 【例3】如图，已知空间四边形 的每条边和对角线长都等于1，点 分别是的中点，计算： (1) ；(2). 【温馨提醒】注意向量夹角的确定，避免首尾相连的向量夹角确定错误． 【变式】在空间四边形中，则的值为（ ） A． B． C． D． 1．设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点，球面上有两个点，的坐标分别为，，则（ ） A． B． C． D． 2．如果三点在同一条直线上（ ） A． B． C． D． 3．已知，，，若，，三向量共面，则（ ） A． B． C． D． 4．如图所示，在三棱柱中，底面， ，，点、分别是棱、 的中点，则直线和的夹角是（ ） A． B． C． D． 5．已知平行六面体中，，，，，，则　　 　． 6．三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为____________． 7．如图，已知空间四边形的各边和对角线的长都等于，点、分别是、的中点． (1)求证：，； (2)求的长． 8．直三棱柱中，，，、分别为、的中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 空间向量及其运算 1．空间向量的有关概念 名称 概念 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共线向量 定理 对空间任意两个向量，∥ ⇔存在，使 共面向量 定理 若两个向量不共线，则向量与向量共面 ⇔存在唯一的有序实数对，使 空间向量 基本定理 定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组使得 推论：设是不共面的四点，则对平面内任一点P都存在唯一的三个有序实数，使且 3．空间向量的数量积 (1)定义：. (2)运算律 ①交换律：；②分配律：； 4．空间向量的坐标表示 若，，则 ⑴． ⑵． ⑶．⑷． ⑸．⑹． ⑺∥．⑻． 1．O为空间任意一点，若，则四点(　　) A．一定不共面　　　　　　 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断 【答案】B 【解析】∵， 且，∴四点共面． 2．已知向量，则下列向量中与成夹角的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵， ∴ 这两向量的夹角的余弦值为,从而夹角为． 3．在棱长为的正四面体中，分别是的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ． 4．在空间直角坐标系中，已知，，，，若分别表示三棱锥在，，坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】D 【解析】，，故选D． 考点一 向量的线性运算 【例1】如图，空间四边形中，点在线段上，且，点为的中点，点在线段上，且，设，试用向量表示． 【解析】 ． 【方法技巧】用已知向量表示某一向量的方法 (1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立． 【变式】在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ． 考点二 共线、共面向量定理的应用 【例2】在平行六面体中，为的重心，设，，，试用表示，，并证明三点共线． 证明：. ． ∵，∴三点共线． 【方法技巧】 （1） 证明点共线的方法 证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明三点共线，即证明共线，亦即证明． (2)证明点共面的方法 证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明四点共面， 只要能证明或对空间任一点，有． 【变式】如图，已知斜三棱柱，点分别在和上，且满足，． （1）向量是否与向量，共面？ （2）直线是否与平面平行？ 【解析】（1）∵，. ∴ ， ∴由共面向量定理知向量与向量，共面． （2）当时，点重合，点重合， 在平面内， 当时，不在平面内， 又由(1)知与，共面， ∴∥平面. 考点三 数量积的应用 【例3】如图，已知空间四边形 的每条边和对角线长都等于1，点 分别是的中点，计算： (1) ；(2). 【解析】设，，，则， . (1) ，， ∴. (2) ， . ∴ . 【温馨提醒】注意向量夹角的确定，避免首尾相连的向量夹角确定错误． 【变式】在空间四边形中，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，令设，，. 则 . 1．设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点，球面上有两个点，的坐标分别为，，则（ C ） A． B． C． D． 【解析】． 2．如果三点在同一条直线上（ C ） A． B． C． D． 【解析】，， 由得，，解得． 3．已知，，，若，，三向量共面，则（B ） A． B． C． D． 【解析】由题意知， 即， ∴，解得. 4．如图所示，在三棱柱中，底面， ，，点、分别是棱、 的中点，则直线和的夹角是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以为原点，建立空间直角坐标系，如图： 设，则，，，， 则． 设直线和的夹角为，则 ， ∴． 5．已知平行六面体中，，，，，，则　　 　． 【解析】 ，∴． 6．三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为____________． 【解析】如图，设 则， ∵底面边长和侧棱长都相等，且， 设棱长为1，∴，∴， ，， 设异面直线的夹角为， ∴． 7．如图，已知空间四边形的各边和对角线的长都等于，点、分别是、的中点． (1)求证：，； (2)求的长． 【解析】(1)证明：设，，. 由题意可知，， 且、、三向量两两夹角均为. ， ， ∴.同理可证. (2)由(1)可知 ， ∴ . ∴.∴的长为. 8．直三棱柱中，，，、分别为、的中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【解析】(1)证明：设，，， 根据题意，，且. ∴，. ∴，∴，即. (2) ，∴，. ， ∴. 即异面直线与所成角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$