2025年九年级中考数学二次函数压轴题专题练习02多结论问题

专题02 二次函数与多结论 二次函数与多结论问题涉及二次函数图象与系数的关系，通过数形结合思想判断多个结论的正确性。需要掌握二次函数的基本性质及图象特征。二次函数是初中数学的重点内容，而多结论问题则是对二次函数知识点综合运用能力的考察。这类问题通常会给出一个二次函数表达式或图象，然后列出多个结论，要求判断哪些结论是正确的。 ★二次函数的性质★ 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． ★二次函数图象与系数的关系★ 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． ★二次函数图象上点的坐标特征★ 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． ★多结论问题的解题策略★ 1.数形结合：结合二次函数的图象和性质，对给出的结论进行分析和判断。 2.逐一验证：对每个结论进行逐一验证，确保判断的准确性 一、图象信息 例1 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，回答下列问题： （1）填空（填“＞”“＜”或“＝”）： ①a 　 　0； ②b 　 　0； ③c 　 　0； ④b2﹣4ac 　 　0； ⑤a+b+c 　 　0； ⑥4a﹣2b+c 　 　0； ⑦9a+3b+c 　 　0； ⑧3a+c 　 　0； ⑨若点，（3，y2）均在该二次函数图象上，则y1　 　y2； （2）若点（﹣m，﹣6），（2+m，n）均在该二次函数图象上，则n的值为 　 　； （3）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m（m＜0）的实数根的情况为 　 　； （4）若图象与x轴的交点为（p，0），（q，0），p＜q，当y＞0时，x的取值范围为 　 　． 对应练习： 1.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象经过点（0，2），其对称轴为直线x＝﹣1．下列结论中正确的有（　　）个． ①3a+c＞0 ②若点（﹣4，y1），（3，y2）均在二次函数图象上，则y1＜y2 ③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个相等的实数根 ④满足ax2+bx+c＞2的x的取值范围为﹣2＜x＜0 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024•滑县三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象经过点（0，2），其对称轴为直线x＝﹣1．下列结论：①3a+c＞0；②若点（﹣4，y1），（3，y2）均在该二次函数的图象上，则y1＞y2；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣2有两个相等的实数根；④满足ax2+bx+c＞2的x的取值范围为﹣2＜x＜0．其中正确的结论是（　　） A．①②④ B．②③ C．②④ D．②③④ 3．（2023•齐齐哈尔）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论： ①abc＞0； ②b＝2a； ③3a+c＝0； ④关于x的一元二次方程ax2+bx+c+k2＝0（a≠0）有两个不相等的实数根； ⑤若点（m，y1）（﹣m+2，y2）均在该二次函数图象上，则y1＝y2． 其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 4.（2024春•阳明区校级月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＞0；②7a﹣3b+c＜0；③若（﹣2，y1），（﹣4，y2），（1，y3）为抛物线上的三个点，则y2＞y3＞y1；④对于图象上的两个不同的点（m，n），（﹣1，k），总有n＞k；⑤关于x的方程ax2+bx+c＝﹣b（a≠0）有两个不等实根．其中正确结论的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 5．（2024•德阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（﹣，n），与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc＞0；②5b+2c＜0；③若抛物线经过点（﹣6，y1），（5，y2），则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝4无实数根，则n＜4．其中正确结论是 　 　（请填写序号）． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（﹣，n）， ∴﹣＝﹣． ∴a＝b， ∵抛物线开口方向向下，即a＜0， ∴b＜0， 当x＝0时，y＝c＞0， ∴abc＞0，故①正确． 由图象可得：当x＝1时，y＝a+b+c＜0， ∴5b+2c＜0，故②正确． ∵直线x＝﹣是抛物线的对称轴， ∴点（﹣6，y1）到对称轴的距离大于点（5，y2）到对称轴的距离， ∴y1＜y2，故③错误． ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝4无实数根， ∴顶点A（﹣，n）在直线y＝4的下方， ∴n＜4，故④正确． 故正确的有①②④． 故答案为：①②④． 6．（2024秋•东城区校级月考）已知函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列4个结论： ①abc＜0； ②（4a+c）2＜（2b）2； ③若（x1，y1），（x2，y2）是抛物线上的两点，则当|x1+1|＞|x2+1|时，y1＜y2； ④抛物线的顶点坐标为（﹣1，m），则关于x的方程ax2+bx+c＝m﹣1无实数根． 其中所有正确结论的序号是 　 　． 二、表格信息 例2 已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表： x ﹣4 ﹣3 ﹣1 1 5 y 0 5 9 5 ﹣27 下列结论： ①abc＞0； ②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根； ③当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5； ④若点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）均在二次函数图象上，则y1＝y2； ⑤满足ax2+（b+1）x+c＜2的x的取值范围是x＜﹣2或x＞3． 其中正确结论的序号为 　 　． 对应练习： 1．（2023秋•临猗县期末）如表是二次函数y＝ax2+bx+c的x，y的部分对应值： x … 0 1 2 … y … ﹣1 m ﹣1 n … 则对于该函数的性质的判断： ①该二次函数有最大值； ②不等式y＞﹣1的解集是x＜0或x＞2； ③方程ax2+bx+c＝0的两个实数根分别位于和之间； ④当x＞0时，函数值y随x的增大而增大． 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024•鹤壁一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的y与x的部分对应值如下表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 6 0 ﹣2 m 6 … 下列结论：①m＝3；②抛物线y＝ax2+bx+c有最小值；③当x＜2时，y随x增大而减少；④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2．其中正确的是（　　） A．②③④ B．②③ C．①②④ D．②④ 3．（2023秋•西湖区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），y与x的部分对应值如表所示： x … ﹣1 0 2 3 4 … y … 6 1 ﹣3 ﹣2 m … 下面有四个论断：①抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0的顶点为（2，﹣3）；②关于x的方程ax2+bx+c＝﹣2的解为x1＝1，x2＝3；③当x＝﹣0.5时，y的值为正，其中正确的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2024秋•天津期中）已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x ⋯ ﹣1 0 1 2 3 ⋯ y ⋯ 3 0 ﹣1 m 3 ⋯ 有以下结论： ①抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上； ②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1； ③方程ax2+bx+c＝0的根为0和m； ④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2．其中正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣4 0 2 2 0 ﹣4 … 下列结论：①抛物线开口向下；②当x＞1时，y随x的增大而减小；③线的对称轴是直线；④y＝ax2+bx+c（a≠0）函数的最大值为2．其中所有正确的结论为　 　．2024/11/14 1:31:55；用户：冯琳老师；邮箱：orFmNt1sLcmaqKdlDgZ60wM学号：22208507 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次函数与多结论 二次函数与多结论问题涉及二次函数图象与系数的关系，通过数形结合思想判断多个结论的正确性。需要掌握二次函数的基本性质及图象特征。二次函数是初中数学的重点内容，而多结论问题则是对二次函数知识点综合运用能力的考察。这类问题通常会给出一个二次函数表达式或图象，然后列出多个结论，要求判断哪些结论是正确的。 ★二次函数的性质★ 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． ★二次函数图象与系数的关系★ 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． ★二次函数图象上点的坐标特征★ 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． ★多结论问题的解题策略★ 1.数形结合：结合二次函数的图象和性质，对给出的结论进行分析和判断。 2.逐一验证：对每个结论进行逐一验证，确保判断的准确性 一、图象信息 例1 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，回答下列问题： （1）填空（填“＞”“＜”或“＝”）： ①a 　＜　0； ②b 　＞　0； ③c 　＞　0； ④b2﹣4ac 　＞　0； ⑤a+b+c 　＞　0； ⑥4a﹣2b+c 　＜　0； ⑦9a+3b+c 　＜　0； ⑧3a+c 　＜　0； ⑨若点，（3，y2）均在该二次函数图象上，则y1　＞　y2； （2）若点（﹣m，﹣6），（2+m，n）均在该二次函数图象上，则n的值为 　﹣6　； （3）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m（m＜0）的实数根的情况为 　两个不相等的实数根　； （4）若图象与x轴的交点为（p，0），（q，0），p＜q，当y＞0时，x的取值范围为 　p＜x＜q　． 【解答】解：（1）由函数图象可知：抛物线开口向下， ∴①a＜0； ∵对称轴在y轴左边，即x＝﹣＞0，又a＜0， ∴②b＞0； ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴③c＞0； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴④b2﹣4ac＞0； ∵当x＝1时，y＞0， ∴⑤a+b+c＞0； ∵当x＝﹣2时，y＜0， ∴⑥4a﹣2b+c＜0； ∵当x＝3时，y＜0， ∴⑦9a+3b+c＜0； ∵﹣＝1， ∴b＝﹣2a， ∵当x＝﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0， ∴⑧3a+c＜0； ∵对称轴为直线x＝1， ∴点到对称轴的距离小于点（3，y2）到对称轴的距离， ∴y1＞y2； 故答案为：＜，＞，＞，＞，＞，＜，＜，＜，＞； （2）∵＝1， ∴点（﹣m，﹣6），（2+m，n）关于对称轴对称， ∴n＝﹣6， 故答案为：﹣6； （3）由图象可知，抛物线与直线y＝m（m＜0）有两个交点， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m（m＜0）有两个不相等的实数根， 故答案为：两个不相等的实数根； （4）若图象与x轴的交点为（p，0），（q，0），p＜q，当y＞0时，x的取值范围为p＜x＜q， 故答案为：p＜x＜q． 对应练习： 1.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象经过点（0，2），其对称轴为直线x＝﹣1．下列结论中正确的有（　　）个． ①3a+c＞0 ②若点（﹣4，y1），（3，y2）均在二次函数图象上，则y1＜y2 ③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个相等的实数根 ④满足ax2+bx+c＞2的x的取值范围为﹣2＜x＜0 A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：由题意，∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝﹣1， ∴b＝2a． 又由图象，可得当x＝1时，y＝a+b+c＜0， ∴3a+c＜0，故①错误． ∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1， ∴点（﹣4，y1）到对称轴的距离小于点（3，y2）到对称轴的距离， ∵抛物线开口向下， ∴y1＞y2，故②错误． 由题意，令y＝﹣1， ∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1有两个不同的交点． ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根，故③错误． ∵当x＝0时，y＝2， 又∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1， ∴当x＝﹣2时，y＝2． 又抛物线开口向下， ∴满足ax2+bx+c＞2的x的取值范围为﹣2＜x＜0，故④正确． 故选：A． 2．（2024•滑县三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象经过点（0，2），其对称轴为直线x＝﹣1．下列结论：①3a+c＞0；②若点（﹣4，y1），（3，y2）均在该二次函数的图象上，则y1＞y2；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣2有两个相等的实数根；④满足ax2+bx+c＞2的x的取值范围为﹣2＜x＜0．其中正确的结论是（　　） A．①②④ B．②③ C．②④ D．②③④ 【解答】解：①∵抛物线开口向下， ∴a＜0． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴b＝2a， 由图象可得x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0， ∵b＝2a， ∴3a+c＜0．故①错误，不符合题意； ②∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1． 故当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小， ∵|﹣1﹣（﹣4）|＝3，|﹣1﹣3|＝4， ∴点（﹣4，y1）到对称轴的距离小于点（3，y2）到对称轴的距离， ∴y1＞y2，故②正确，符合题意； ③∵图象经过点（0，2），其对称轴为直线x＝﹣1． ∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣2有两个交点， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不等的实数根，故③错误，不符合题意； ④∵图象经过点（0，2），对称轴为直线x＝﹣1， ∴二次函数必然经过点（﹣2，2）， ∴ax2+bx+c＞2时，x的取值范围﹣2＜x＜0，故④正确，符合题意； 综上，②④正确． 故选：C． 3．（2023•齐齐哈尔）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论： ①abc＞0； ②b＝2a； ③3a+c＝0； ④关于x的一元二次方程ax2+bx+c+k2＝0（a≠0）有两个不相等的实数根； ⑤若点（m，y1）（﹣m+2，y2）均在该二次函数图象上，则y1＝y2． 其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴在y轴右侧， ∴b＜0， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0，故①正确， ∵x＝﹣＝1， ∴b＝﹣2a，故②错误， ∵抛物线与x轴的一个交点为（3，0），对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0）， ∴a﹣b+c＝0， ∵b＝﹣2a， ∴3a+c＝0，故③正确， 方程ax2+bx+c+k2＝0（a≠0）的解可看作y＝ax2+bx+c（a≠0）与y＝﹣k2的交点， ∵﹣k2≤0， ∴当y＝﹣k2过抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）顶点时，两函数只有一个交点，即方程ax2+bx+c+k2＝0有两个相等的实数根，故④错误， ∵点（m，y1）（﹣m+2，y2）关于直线x＝1对称， ∴y1＝y2，故⑤正确． 故选：B． 4.（2024春•阳明区校级月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＞0；②7a﹣3b+c＜0；③若（﹣2，y1），（﹣4，y2），（1，y3）为抛物线上的三个点，则y2＞y3＞y1；④对于图象上的两个不同的点（m，n），（﹣1，k），总有n＞k；⑤关于x的方程ax2+bx+c＝﹣b（a≠0）有两个不等实根．其中正确结论的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴在y轴左侧， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴c＜0， ∴abc＜0，故①错误，不合题意； ∵x＝﹣＝﹣1， ∴b＝2a， ∵x＝1时，y＝a+b+c＝0， ∴a+2a+c＝0， ∴3a+c＝0， ∵a＞0，b＝2a， ∴4a﹣3b＝﹣2a＜0， ∴7a﹣3b+c＜0，故②正确，符合题意； ∵（﹣2，y1），（﹣4，y2），（1，y3）为抛物线上的三个点，且点（﹣4，y2）到对称轴直线x＝﹣1的距离最大，点（﹣2，y1）到对称轴的距离最小， ∴y2＞y3＞y1，故③正确，符合题意； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1， ∴当x＝﹣1时的函数值最小， ∴对于图象上的两个不同的点（m，n），（﹣1，k），总有n＞k，故④正确，符合题意； ∵a+b+c＝0，b＝2a， ∴c＝﹣3a， ∵抛物线为y＝ax2+2ax﹣3a， ∵y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a， ∴函数的最小值为﹣4a， ∵b＝2a，a＞0， ∴﹣4a＜﹣2a， ∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y＝﹣b一定有两个交点， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝﹣b（a≠0）有两个不等实根．故⑤正确，符合题意． 故选：B． 5．（2024•德阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（﹣，n），与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc＞0；②5b+2c＜0；③若抛物线经过点（﹣6，y1），（5，y2），则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝4无实数根，则n＜4．其中正确结论是 　①②④　（请填写序号）． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（﹣，n）， ∴﹣＝﹣． ∴a＝b， ∵抛物线开口方向向下，即a＜0， ∴b＜0， 当x＝0时，y＝c＞0， ∴abc＞0，故①正确． 由图象可得：当x＝1时，y＝a+b+c＜0， ∴5b+2c＜0，故②正确． ∵直线x＝﹣是抛物线的对称轴， ∴点（﹣6，y1）到对称轴的距离大于点（5，y2）到对称轴的距离， ∴y1＜y2，故③错误． ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝4无实数根， ∴顶点A（﹣，n）在直线y＝4的下方， ∴n＜4，故④正确． 故正确的有①②④． 故答案为：①②④． 6．（2024秋•东城区校级月考）已知函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列4个结论： ①abc＜0； ②（4a+c）2＜（2b）2； ③若（x1，y1），（x2，y2）是抛物线上的两点，则当|x1+1|＞|x2+1|时，y1＜y2； ④抛物线的顶点坐标为（﹣1，m），则关于x的方程ax2+bx+c＝m﹣1无实数根． 其中所有正确结论的序号是 　①②④　． 【解答】解：①抛物线图象开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴在直线y轴左侧， ∴a，b同号，b＞0， ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴abc＜0，故①正确； ②（4a+c）2﹣（2b）2＝（4a+c+2b）（4a+c﹣2b）， 当x＝2时ax2+bx+c＝4a+c+2b， 由图象可得4a+c+2b＞0， 由图象知，当x＝﹣2时， ax2+bx+c＝4a+c﹣2b， 由图象可得4a+c﹣2b＜0， ∴（4a+c）2﹣（2b）2＜0， 即（4a+c）2＜（2b）2，故②正确； ③|x1+1|＝|x1﹣（﹣1）|， |x2+1|＝|x2﹣（﹣1）|， ∵|x1+1|＞|x2+1|， ∴点（x1，y1）到对称轴的距离大于点（x2，y2）， ∴y1＞y2，故③错误； ④∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，m）， ∴y≥m， ∴ax2+bx+c≥m， ∴ax2+bx+c＝m﹣1无实数根，故④正确， 综上所述，①②④正确， 故答案为：①②④． 二、表格信息 例2 已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表： x ﹣4 ﹣3 ﹣1 1 5 y 0 5 9 5 ﹣27 下列结论： ①abc＞0； ②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根； ③当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5； ④若点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）均在二次函数图象上，则y1＝y2； ⑤满足ax2+（b+1）x+c＜2的x的取值范围是x＜﹣2或x＞3． 其中正确结论的序号为 　①②④　． 【解答】解：把（﹣4，0），（﹣1，9），（1，5）代入y＝ax2+bx+c得： ， 解得 ∴abc＞0，故①正确； ∵a＝﹣1，b＝﹣2，c＝8， ∴y＝﹣x2﹣2x+8， 当y＝9时，﹣x2﹣2x+8＝9， ∴x2+2x+1＝0， ∵Δ＝22﹣4×1×1＝0， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，9）， 又∵a＜0， ∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大；当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；当x＝﹣1时，函数取最大值9， ∵x＝﹣3与x＝1时函数值相等，等于5， ∴当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y≤9，故③错误； ∵， ∴点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）关于对称轴x＝﹣1对称， ∴y1＝y2，故④正确； 由ax2+（b+1）x+c＜2 得ax2+bx+c＜﹣x+2，即﹣x2﹣2x+8＜﹣x+2，画函数 y＝﹣x2﹣2x+8和y＝﹣x+2图象如下： 由， 解得， ∴A（2，0），B（﹣3，5）， 由图形可得，当x＜﹣3或x＞2时，﹣x2﹣2x+8＜﹣x+2，即ax2+（b+1）x+c＜2，故⑤错误； 综上，正确的结论为①②④， 故答案为：①②④． 对应练习： 1．（2023秋•临猗县期末）如表是二次函数y＝ax2+bx+c的x，y的部分对应值： x … 0 1 2 … y … ﹣1 m ﹣1 n … 则对于该函数的性质的判断： ①该二次函数有最大值； ②不等式y＞﹣1的解集是x＜0或x＞2； ③方程ax2+bx+c＝0的两个实数根分别位于和之间； ④当x＞0时，函数值y随x的增大而增大． 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：当x＝0时，y＝﹣1； 当x＝2时，y＝﹣1； 当x＝，y＝﹣； 当，； ∴二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1， ∴x＞1时，y随x的增大而增大，x＜1时，y随x的增大而减小． ∴a＞0即二次函数有最小值， 则①④错误； 由图表可得：不等式y＞﹣1的解集是x＜0或x＞2； 由图表可得：方程ax2+bx+c＝0的两个实数根分别位于﹣＜x＜0和2＜x＜之间；则②③正确． 故选：B． 2．（2024•鹤壁一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的y与x的部分对应值如下表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 6 0 ﹣2 m 6 … 下列结论：①m＝3；②抛物线y＝ax2+bx+c有最小值；③当x＜2时，y随x增大而减少；④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2．其中正确的是（　　） A．②③④ B．②③ C．①②④ D．②④ 【解答】解：由表中数据知，抛物线对称轴为直线， ∴m＝0， 故①错误，不符合题意； ∵抛物线的顶点坐标是（1，﹣2），图象开口向上，有最小值， 故②正确，符合题意； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴当x＜1时，y随x的增大而减小， 故③错误，不符合题意； ∵抛物线与x轴交点坐标为（0，0）和（2，0）， ∴当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2， 故④正确，符合题意． 故选：D． 3．（2023秋•西湖区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），y与x的部分对应值如表所示： x … ﹣1 0 2 3 4 … y … 6 1 ﹣3 ﹣2 m … 下面有四个论断：①抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0的顶点为（2，﹣3）；②关于x的方程ax2+bx+c＝﹣2的解为x1＝1，x2＝3；③当x＝﹣0.5时，y的值为正，其中正确的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）经过（﹣1，6），（0，1），（2，﹣3）， ∴， 解得， ∴二次函数为y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3， ∴抛物线的顶点为（2，﹣3），故①正确， 当x2﹣4x+1＝﹣2时，x1＝1，x2＝3，故②正确， 当x＝﹣0.5时，y＝+2+1＝＞0，故③正确， 故选：D． 4．（2024秋•天津期中）已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x ⋯ ﹣1 0 1 2 3 ⋯ y ⋯ 3 0 ﹣1 m 3 ⋯ 有以下结论： ①抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上； ②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1； ③方程ax2+bx+c＝0的根为0和m； ④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2．其中正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：由表格可知， 抛物线的对称轴是直线x＝＝1，故②错误； 抛物线的顶点坐标是（1，﹣1），有最小值，故抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上，故①正确； 由抛物线关于直线x＝1对称知，当y＝0时，x＝0或x＝2，故方程ax2+bx+c＝0的根为0和2，故③错误； 当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2，故④正确， 故选：C． 5．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣4 0 2 2 0 ﹣4 … 下列结论：①抛物线开口向下；②当x＞1时，y随x的增大而减小；③线的对称轴是直线；④y＝ax2+bx+c（a≠0）函数的最大值为2．其中所有正确的结论为　①②③　． 【解答】解：∵抛物线经过（﹣1，0），（0，2），（2，0）三点，代入数据李处三元一次方程组如下： ， ∴， ∴y＝﹣x2+x+2， ∵﹣1＜0， ∴抛物线开口向下，故①正确； ∵， ∴对称轴为直线，最大值为，故③正确，④错误； ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故②正确； 故答案为：①②③． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/14 1:31:55；用户：冯琳老师；邮箱：orFmNt1sLcmaqKdlDgZ60wM学号：22208507 1 学科网（北京）股份有限公司 $$