11.2.1三角形的内角（第一课时） 教学设计2024-2025学年人教版数学八年级下册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 八年级 学期 秋季 课题 三角形的内角（第一课时） 教科书 书 名：义务教育教科书数学八年级上册教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2013年9月 教学目标 1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形的内角和等于180°，能用三角形内角和等于180°进行角度计算和简单推理，并初步学会利用辅助线解决问题，体会转化思想在解決问题中的应用。 2.在实验、观察、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯，在灵活运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和简单推理的能力。 3.培养学生的合作精神，体会数学知识内在的联系与严谨性，数学与现实生活的联系，会应用数学知识解决些简单的实际问题，增强应用意识，使学生进一步形成数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点。 教学重难点 教学重点： 三角形内角和等于180°。 教学难点： 三角形内角和等于180°的证明及应用，初步学会利用辅助线解决问题。 教学过程 一、情境导入 同学们大家好，欢迎来到今天的数学课堂。我们今天来共同探究三角形的内角和。 一天，三类三角形依据自己的特征，讲述了自己对三角形内角和的理解，同学们你们来当一次小法官，给它们评判一下吧！ 三角形1号：我的形状最大，那我的内角和也应当是最大的！ 三角形2号：我还有一个角是钝角呢！所以我的内角和才是最大的！ 三角形3号：我的形状最小，那我的内角和也是最小的！ 谈到三角形的内角和，我们早在在小学就已经学习过：任意三角形的内角和都是180°！（与三角形的形状、大小无关）因此，它们几个的说法都是不正确的！ 我们一起来回顾一下当时是如何探究得到这一结论的！ 方法一（测量法）：用量角器分别测量三角形的三个内角的度数，再求和，得到180°.这种方法叫做测量法，它的缺点是容易出现误差！ 方法二（转化法）：将三角形三个内角撕下来拼到一起，发现是一个平角，得到180°.这种方法叫做转化法，是通过将“未知的三角形的内角和”转化成“已知的平角”，从而得到三角形的内角和！ 通过测量或转化的方法，可以验证三角形的内角和等于180°．但是，由于测量常常有误差，这种只是“验证”而不是“数学证明”，不能完全让人信服，又由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用转化法一一验证所有三角形的内角和等于180°.所以，需要我们探索寻找一种更好的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于180°. 二、探索新知 【活动一】 在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下来拼到一起，得到一个平角。从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？ 给大家两分钟时间，试着动手画一画、剪一剪、拼一拼！ 现在请同学们说一说你的发现，展示一下你们的探究成果吧！ 生1：我是把∠A固定，∠B和∠C分别拼在∠A的左右，三个角合起来形成一个平角，出现一条过点A的直线！移动后的∠B和∠C各有一条边在这条直线上！ 生2：我是把∠C固定，∠A和∠B依次拼接在∠C的右侧，三个角合起来形成一个平角！我也发现了有一条过点C的直线，移动后的∠A和∠B各有一条边在这条直线上！ 非常好，这两位同学都发现了其中的“玄机”！你们用了哪种方法呢，是否有同样的发现？ 我们以第一位同学的图为例，大家再观察直线L与△ABC的边BC有什么关系？由这个图你能想出证明“三角形的内角和等于180°”的方法吗？ 生2：我发现了！直线L平行于BC！ 真聪明！相信其他同学们也都发现了这一点！ 【活动二】 那么我们就可以由上述拼合过程得到启发：过△ABC的顶点A作直线L平行于△ABC的边BC，那么由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于180°”这个结论了！一起来证明一下吧！ 已知：△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°. 给大家两分钟时间，请同学们拿出练习本，试着证一证！ 证明：如图，过点A作直线L，使L∥BC. ∵L∥BC, ∴∠2=∠4（两直线平行，内错角相等). 同理，∠3=∠5. ∵∠1、∠4、∠5组成平角， ∴∠1+∠4+∠5=180°（平角定义） ∴∠1+∠2+∠3=180°（等量代换） 即∠A+∠B+∠C=180° 因此，我们就运用推理的方法证明了： 三角形内角和定理：任意一个三角形的内角和都等于180°！ 有了以上证明方法的启发，请同学们结合刚才第二位同学的剪拼方法，试着在练习本上自己来探索一下其他证明方法吧！ 证法二：延长BC到D，过点C作L∥BA. ∵L∥BA， ∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等）. ∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）. ∵∠1、∠2、∠ACB组成平角， ∴∠1+∠2+∠ACB=180°（平角定义） ∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换） 这样也可以证明三角形内角和定理！感兴趣的同学课下还可以再探寻其他证明方法！ 三、例题精讲 来试着练练手吧！ 例1.如图，在△ABC中,∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线。求∠ADB的度数。 解：∵∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线 ∴∠BAD=∠BAC=20°. 在△ABD中， ∠ADB =180°-∠B-∠BAD =180°-75°-20° =85°. 例2. 如图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB呢？ 分析：A，B，C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个内角．如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求出∠ACB. 解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30° 由AD∥BE，得 ∠BAD+∠ABE=180°. ∴∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°. ∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60° 在△ABC中， ∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°. 答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90° 尝试一题多解，课后试着找找其他解决方法！ 四、巩固练习、拓展应用 1.求三角形中一个未知角的度数 （1）在△ABC中，若∠A=95°，∠B=40°，则∠C的度数为 . （2）如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A的度数为 . 2.判断 （1）一个三角形的三个内角度数分别是：90°、75°、25°。 （ ） （2）一个三角形至少有两个内角是锐角。 （ ） （3）钝角三角形的内角和比锐角三角形的内角和大。 （ ） （4）直角三角形的两个锐角和等于90°。 （ ） 3.实际问题 爸爸给跳跳买了一个等腰三角形的风筝，它的一个底角是70°，那么它的顶角是多少度呢？ 五、课堂小结 同学们，今天我们一起探究了三角形内角和，你有哪些收获呢？ 你们知道吗？三角形的内角和等于180度是法国著名的数学家帕斯卡在1635年他12岁时独自发现的，今天凭着同学们的聪明智慧也研究出了三角形的内角和是180度，老师为你们感到骄傲，老师相信在你们的勤奋学习和刻苦钻研下，你们就是下一个帕斯卡”！ 六、课后作业 1.复习今天所学内容. 2.探索三角形内角和定理的其他证明方法. 3.依据三角形内角和是180°，算一算四边形、五边形内角和是多少？ 七、板书设计 11.2.1三角形内角 三角形内角和定理： 三角形内角和定理证明： 草稿 任意一个三角形的内角和都等于180° 过程 备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。 学科网（北京）股份有限公司 $$