第十七章勾股定理数学活动 教学设计2024-2025学年人教版数学八年级下册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 八年级 学期 春季 课题 第十七章 勾股定理数学活动 教科书 书 名:义务教育教科书数学八年级下册教材 出版社:人民教育出版社 出版日期:2013年9月 教学目标 1. 理解并掌握勾股定理的内容及其证明方法,能运用勾股定理解决实际问题。 2.了解勾股定理的文化背景,体验勾股定理的探索,通过活动内容体验勾股定理与现实生活的密切联系。 3.在活动过程中,让学生感受数学源于生活,体验数学的快乐,培养生探索精神。 教学重难点 教学重点: 掌握勾股定理的内容,利用勾股定理解决具体问题。 教学难点: 利用“数形结合”的方法验证勾股定理。 教学过程 一、情景导入 2002年全球数学科学最高水平的学术大会——国际数学家大会在北京人民大会堂召开,展示在屏幕上的图片就是当时大会采用的会徽,它像一个转动的风车,欢迎世界各地的数学家们。这个标志的设计基础是1700多年前,中国古代数学家赵爽的“弦图”,是为了证明发明于中国周代的勾股定理而绘制的,经过设计变化成为含义丰富的2002年国际数学家大会的会徽。 2、 复习旧知 前几节课我们学习了勾股定理以及勾股定理的逆定理的内容,你们还记得吗? 勾股定理:在直角三角形中,斜边的平方等于两直角边的平方之和。 勾股定理逆定理:若一个三角形的三条边满足关系式=,则这个三角形是直角三角形。 三、活动探究 活动一: 首先一起来看问题一:学校需要测量旗杆的高度。同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面,并多出了一节,但这条绳子的长度也并不知道。请你应用勾股定理提出一个解决这个问题的方案。 可将旗杆顶端的绳子拉直到地面上,这时绳子底端的位置、旗杆底端的位置、旗杆底端的位置三点可以连线构成一个直角三角形,然后用勾股定理解决! 还需要测量出绳子垂到地面时多出部分的长度,和绳子拉直后绳子底端到旗杆底端的距离,然后再用勾股定理! 将旗杆顶端的绳子拉直到地面上,量出绳子底端到旗杆底端的距离,记为米,并量出绳子垂到地面时,多出部分的长度,记为米。 设旗杆的长度为米,则绳子的长度为米。 此时绳子底端的位置、旗杆底端的位置、旗杆顶端的位置,三点连线构成的是一个直角三角形,在这个直角三角形中,根据勾股定理可得: , 求解出 的值就是旗杆的长度了! 活动一课堂练习: 学校需要测量升旗杆的高度,同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面,并多出了一段,但这条绳子的长度末知,经测量,绳子多出的部分长度为2m,绳子沿地面拉直,绳子底端距离旗杆底端6m,求旗杆的高度。 解:设旗杆的长度为 m,则绳子的长度为m。 根据勾股定理得: , 解得: 所以旗杆高度为8米 活动二: 请同学们拿出准备好的四张全等的直角三角形纸片,用这四个全等的直角三角形纸片拼含有正方形的图案,要求拼图时直角三角形纸片不能互相重叠,请大家动手拼一拼,看看有哪些不同拼法! 生1:我拼好了,我的像星星: 生2:我也拼好了,拼出一个正方形! 生3:我也拼出一个正方形,比他的还大! 生4:我拼的更好看,像风车! 生5:我的最特别,像一个信封! 师:非常棒!同学们拼得都各有特点! 活动三: 设直角三角形的两条直角边长分别为,,斜边长为,在拼图过程中,你发现等量关系了吗?试计算拼出来的小正方形和大正方形的面积。你发现勾股定理的证明方法了吗? 图一正方形中的等量关系:大正方形面积等于四个直角三角形面积与小正形面积之和! 图二正方形中的等量关系:大正方形面积等于四个直角三角形面积与小正形面积之和! 让我们一起探究它与勾股定理的关系吧! 勾股定理证法1: 中间的小正方形边长为,面积为,根据大正方形面积等于四个直角三角形面积与小正形面积之和这个等量关系,大正方形面积既可以表示为,也可以表示为: ,即:, 即:=。 因此我们就把面积关系转化成了边的关系:直角三角形斜边的平方就等于两直角边的平方和。 勾股定理证法2: 中间的小正方形边长为c,面积为,大正方形边长为,面积为根据大正方形面积等于四个直角三角形面积与小正形面积之和这个等量关系,可列等式:=,化简得:=。 从而也可以得到勾股定理:直角三角形斜边的平方就等于两直角边的平方和。 同学们,是不是很神奇呀,勾股定理的证明方法可不止这些,课后大家可以探究一些其他方法! 四、巩固练习 1.已知直角三角形两条直角边长分别为6、8,则斜边长为 。 设斜边为,由勾股定理知: = 解得: 所以该直角三角形斜边为10 2.如图,等边三角形ABC的边长为6cm. (1)求高AD; (2)求 ABC的面积。 解析:根据等腰三角形的三线合一的性质得出BD=3cm,再根据勾股定理即可求出AD的值; 根据(1)得出的三角形的高,再根据三角形的面积公式进行计算即可。 解:(1)∵ ABC是等边三角形,边长为6cm, ∴BD=3cm, 在直角三角形ABD中,根据勾股定理,得:AD==3. (2) 由(1)知:3=9. 3.我国古代数学家赵爽的弦图,它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形,如图所示,如果大正方形的面积是13,小正方形的面积为1,直角三角形的较短直角边长为,较长直角边长为,那么的值为 。 五、课堂小结 1.应用勾股定理解决实际问题时,一般先将实际问题抽象为解直角三角形的问题,正确建立数学模型再求解;解题时根据题给条件进行构造,注意数形结合、方程思想的综合应用。 2.通过动手拼图,体会“数形结合”的思想,体会用面积法证明勾股定理。 六、课后作业 1.课后尝试四张全等的直角三角形纸片拼出的其他图案,看看在哪些图案中能用类似的方法证明勾股定理! 2.查阅有关书籍或在互联网上再找一些证明勾股定理的方法! 备注:教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分,如有其它内容,可自行补充增加。 学科网(北京)股份有限公司 $$