第十七章 勾股定理章末核心要点分类整合课件 2023—2024学年人教版数学八年级下册

章末核心要点分类整合 第十七章 勾股定理 结构必知 1. 勾股定理及其应用 勾股定理是反映直角三角形中三边关系的性质定理，是求线段长度的常用依据之一，是数学中从形到数的一个重要体现. 2. 勾股定理的逆定理的应用 勾股定理的逆定理是判定直角三角形的重要方法之一. 题目中若告诉三角形三边的数量关系，就需要借助勾股定理的逆定理加以判断. 核心必读 专题 勾股定理 1 链接中考 >>勾股定理是直角三角形的性质，可结合直角三角形的其他性质，解决求线段的长、判断线段的数量关系等问题，有时还需综合特殊直角三角形的性质解题. 勾股定理单独考查时，一般以填空题、选择题的形式出现. 知识必学 例 1 [中考·浙江]如图17－1，正方形ABCD由四个全等的直角三角形(△ABE，△BCF，△CDG，△DAH)和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE． 若AE＝4，BE＝3，则DE＝(　　) A．5 B．2 C． D．4 知识必学 解题秘方： 本题综合考查全等三角形的性质和勾股定理，利用Rt△DAH ≌ Rt△ABE 求出DH 和EH 的长是解题关键. 知识必学 解：∵ Rt△DAH≌Rt△ABE，∴ DH＝AE＝ 4，AH＝BE＝3. ∴ EH＝AE－AH＝ 4 －3＝1. ∵四边形EFGH 是正方形， ∴∠DHE＝90°. ∴ DE＝＝＝ . 答案：C 知识必学 专题 勾股定理的逆定理 2 链接中考 >>勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，是用三角形的三边关系说明三角形为直角三角形. 通过线段的数量关系来研究线段的位置关系，证明中经常用到. 勾股定理的逆定理在中考中很少单独考查，一般作为解答题的某一条件出现. 知识必学 [中考·北京] 如图17－2所示的网格是正方形网格，则∠PAB＋ ∠PBA＝_____°(点A，B，P 是网格线交点). 例 2 45 知识必学 解题秘方：延长AP 交格点于点D，连接BD，设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理的逆定理得∠PDB＝90 °，最后根据三角形外角的性质得出结论． 知识必学 解： 如图17－2，延长AP交格点于点D，连接BD，设每个小正方形的边长为1，则PD2＝BD2＝12＋22＝5， PB2＝12＋32＝10， ∴ PD2＋DB2＝PB2. ∴ △PDB是等腰直角三角形，且 ∠PDB＝90°. ∴∠DPB＝∠PAB＋∠PBA＝45°. 知识必学 专题 勾股定理的应用 3 链接中考 >>勾股定理作为直角三角形中最重要的性质之一，描述了直角三角形三边之间的关系，主要用来求线段的长度.在实际生活中，当我们遇到求距离、高度、宽度、长度等可以转化为求线段长度的问题时，首先看所求线段能否看成某直角三角形的一边，若不能，可以先构造直角三角形，然后再利用勾股定理进行求解. 知识必学 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：如图17－3，一根竹子，原来高一丈(一丈为十尺)，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？(　　) A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺 例 3 知识必学 解题秘方：竹子折断后刚好构成一个直角三角形，利用勾股定理建立等量关系求解. 解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10－x)尺. 根据勾股定理，得x2＋32＝(10－x)2，解得x＝4.55． 故原处还有4.55尺高的竹子． 答案：B 知识必学 专题 面积法 4 链接中考 >>利用三角形的面积之间的关系得到三角形中边之间的关系的方法叫做面积法. 利用面积法可将三角形的面积关系转化为三角形中底边或高线的关系. 方法必会 [中考·黑龙江龙东地区]如图17－4，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E， 则PD＋PE的长是 ( ) A. 4.8 B. 4.8 或3.8 C. 3.8 D. 5 例 4 方法必会 解题秘方：过点A作AF⊥BC于点F，连接AP，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得AF的长，根据S△ABC＝S△ABP＋S△ACP，代入数值计算即可． 方法必会 解：如图17－4，过点A作AF⊥BC于点F，连接AP. ∵在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，∴ BF＝4 . ∴ AF＝＝3. ∵ S△ABC＝S△ABP＋S△ACP， ∴×8×3＝×5×PD＋×5×PE， 即12＝×5× (PD＋PE). ∴ PD＋PE＝ 4 .8． 答案：A 方法必会 专题 分类讨论思想 5 链接中考 >>当被研究的问题包含多种情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来分类讨论，得出各种情况下相应的结论，这种处理问题的思维方法称为分类讨论思想. 方法必会 [中考·齐齐哈尔]已知长方形纸片ABCD，AB＝5， BC＝4，点P在边BC上，连接AP，将△ABP沿AP所在的直线折叠，点B的对应点为B′，把纸片展平，连接BB′，CB′，当△BCB′为直角三角形时，线段CP的长为_______． 例 5 2或 方法必会 解： ∵ 四边形ABCD 是长方形，AB＝5，BC＝ 4， ∴ DC＝AB＝5，AD＝BC＝4，∠D＝∠DCB＝90°. 由折叠得AB′＝AB＝5，B′P＝BP. 分以下三种情况讨论：①如图17－5 ①， △BCB′为直角三角形，且∠BB′C＝90°， ∴ ∠PB′C＋∠PB′B＝90°，∠PCB′＋∠PBB′＝90°. 易知∠PB′B＝∠PBB′，∴∠PB′C＝ ∠PCB′. ∴ B′P＝CP. ∴ CP＝BP＝BC＝×4＝2. 方法必会 ②如图17－5 ②，△BCB′为直角三角形，且∠BCB′＝90°， ∵∠BCB′＝ ∠C＝90°，∴点B′在DC 上. ∴B′D＝＝＝3. ∴ B′C＝DC－B′D＝5－3＝2 . ∵ B′C2＋CP2＝B′P2，且B′P＝BP＝4－CP， ∴ 22＋CP2＝ (4－CP)2， 解得CP＝. 方法必会 ③ ∵ ∠B′BC 是等腰三角形B′PB的底角， ∴∠B′BC ≠ 90°. 综上所述，线段CP的长为2或. 方法必会 1. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点. 以格点为顶点画三角形. (1)使三角形的三边长分别为 3，2，； 类型 巧用勾股定理解网格问题 1 好题必解 解：如图①中的△ABC即为所求的三角形． 好题必解 (2)使三角形的周长为＋＋. 好题必解 2. [中考·徐州]如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使C，A两点重合，点D落在点G处．已知AB＝4，BC＝8． (1)求证：△AEF是等腰三角形； 类型 巧用勾股定理解折叠问题 2 好题必解 证明：由折叠性质可知，∠AEF＝∠CEF，由长方形性质可得AD∥BC，∴∠AFE＝∠CEF. ∴∠AEF＝∠AFE. ∴AE＝AF，即△AEF为等腰三角形． 好题必解 (2)求线段FD的长． 解：由折叠可得AE＝CE，设CE＝x＝AE， 则BE＝BC－CE＝8－x. 在Rt△ABE中，由勾股定理得AB2＋BE2＝AE2， 即42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5. 由(1)可得AF＝AE＝5， ∴FD＝AD－AF＝BC－AF＝8－5＝3. 好题必解 方法1 展开法 3. 如图，桌子上有一个长方体盒子，长、宽、高分别是 12 cm，8 cm，30 cm，在AB的中点C处有一 滴蜜糖，一只小虫从E 处沿盒子表面爬到C 处去吃. 那么小虫爬行的最短路程为________. 25 cm 类型 巧用勾股定理解最短距离问题 3 好题必解 方法2 对称法 4. [中考·广州]如图，正方形ABCD的边长为4，点E 在边BC 上，且BE＝1，F为对角线BD上一动点，连接CF，EF，则CF＋EF的最小值为_______. 好题必解 5. [中考·潍坊] 如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C位于码头A北偏东60°方向．一艘勘测船从海岛C沿北偏西30°方向往灯 塔B行驶，沿线勘测石油资源，勘测 发现位于码头A北偏东15°方向的D处 石油资源丰富． 类型 巧用勾股定理解实际问题 4 好题必解 若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米(结果保留根号)？ 解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E， 由题意得∠BAD＝15°，∠BAC＝60°， ∠BCF＝30°，AB∥FG， ∴∠ACG＝∠BAC＝60°，∠BCF＝∠ABC＝30°. ∴∠ACB＝180°－∠ACG－∠BCF＝90°. 好题必解 好题必解 6. [中考·福建] 如图，已知直线l1∥l2． (1)在l1，l2所在的平面内求作直线l，使得l∥l1∥l2，且l与l1 间的距离恰好等于l与l2间的距离(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； 类型 巧用勾股定理解面积问题 5 好题必解 解：如图，直线l就是所求作的直线． 好题必解 (2)在(1) 的条件下，若l1与l2间的距离为2，点A，B，C分别在l，l1，l2上，且△ABC为等腰直角三角形，求△ABC的面积． 好题必解 好题必解 好题必解 好题必解 好题必解 7. 【发现问题】 小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽． 【提出问题】 销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？ 类型 巧用勾股定理解方案问题 6 好题必解 【分析问题】 某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽. 该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽， 行上相邻两籽、列上相邻两籽的间 距都为d(n，k均为正整数，n＞k ≥ 3， d＞0)，如图①所示． 好题必解 小明设计了如下三种铲籽方案． 方案1：图②是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为______，共铲______行，则铲除全部籽的路径总长为_________； (n－1)d 2k 2(n－1)dk 好题必解 方案2：图③是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为_________； 2(k－1)dn 好题必解 方案3：图④是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长． 好题必解 好题必解 【解决问题】 在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价． 好题必解 好题必解 解：如图②中的△ABC的三边长分别为，，，周长为＋＋. ∵AB＝24千米，∴AC＝AB＝12千米． ∴BC＝＝＝12(千米)． 在Rt△ACD中，∠CAD＝∠BAC－∠BAD＝45°. ∴CD＝AC＝12千米．∴BD＝BC－CD＝(12－12)千米． ∵在Rt△BDE中，∠ABC＝30°， ∴DE＝BD＝(6－6)千米． 答：输油管道的最短长度是(6－6)千米． 解：①当∠BAC＝90°，AB＝AC时，如图①所示． ∵l∥l1∥l2，直线l1与l2间的距离为2，且l与l1间的距离等于l与l2间的距离，根据图形的对称性可知BC＝2， ∴AB＝AC＝. ∴S△ABC＝AB·AC＝1. ②当∠ABC＝90°，BA＝BC时，如图②所示． 分别过点A，C作直线l1的垂线，垂足为M，N， ∴∠AMB＝∠BNC＝90°. ∵l∥l1∥l2，直线l1与l2间的距离为2，且l与l1间的距离等于l与l2间的距离，∴CN＝2，AM＝1. ∵∠MAB＋∠ABM＝90°，∠NBC＋∠ABM＝90°， ∴∠MAB＝∠NBC.∴△AMB≌△BNC.∴BM＝CN＝2. 在Rt△ABM中，由勾股定理得AB2＝AM2＋BM2，∴AB＝. ∴S△ABC＝AB·BC＝. ③当∠ACB＝90°，CA＝CB时，如图③所示． 同理可得，S△ABC＝. 综上所述，△ABC的面积为1或. 解：由图得斜着铲每两个点之间的距离为＝， 根据题意得一共有2n列，2k行， 斜着铲相当于有n条线段长，共有(2k－1)个， ∴铲除全部籽的路径总长为×(2k－1)nd. 解：由上得2(n－1)dk－2(k－1)dn＝2ndk－2dk－2ndk＋2dn＝2d(n－k)>0， ∴方案1的路径总长大于方案2的路径总长． 2(k－1)dn－×(2k－1)dn＝dn. ∵n>k≥3，且n，k均为正整数，d>0，2－>0， 当k＝3时，(2－)×3－2＋＝4－>0， ∴当k≥3时，>0.∴2(k－1)dn－×(2k－1)dn>0.∴方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是选择最短的路径，减少对菠萝的损耗(评价合理即可)． $$