专题10 立体几何-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（河北专用）

专题10 立体几何 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 考点预测 · 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质 · 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质 · 点，线，面的位置关系 要点自测 （1） 平面的概念及基本性质 性质 文字描述 符号描述 图形描述 公理1 如果一条直线上的_______在一个平面上，那么这条直线上的________都在这个平面上. 公理2 如果两平面有____________，那么他们有且只有一条通过这个点的_______. 公理3 经过不在______的三点，有且只有一个平面. C AB⇒ 存在唯一平面α，且A∈α，B∈α，C∈α 公理3 的推论 推论1：经过直线和直线外一点，有且只有一个平面 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面 （2） 直线、平面平行的判定和性质 直线与直线 位置关系 相交 在同一平面内，有且只有______公共点 平行 在同一平面内，没有公共点 异面 ____在任何一个平面内，没有公共点 异面直线所成的角 经过空间任一点分别作两条异面直线的平行线，这两条直线所成的锐角(或直角). 直线与平面 位置关系 直线在平面内 直线_______点都在平面内，记作：lα. 平行 直线与平面没有公共点，记作：l//α. 相交 直线与平面_______一个公共点，记作：l∩α=A. 判定定理 如果______一条直线与这个平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行 性质定理 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线与两平面的_______平行 平面与平面 位置关系 平行 两平面没有公共点，记作：α//β. 相交 令平面有且仅有一条公共直线直线，记作：α∩β=l 判定定理 如果一个平面内有__直线平行于另一平面，则这两个平面平行 推论：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一平面内两相交直线，则这两个平面平行 性质定理 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的______平行 （三）直线、平面垂直的判定和性质 直线与平面 直线与平面垂直的概念 如果一条直线l与平面α内任意一条直线都垂直，那么直线l与平面垂直，记作：l⊥α 直线与平面垂直的 判定定理 直线和平面内的____ ______垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 直线与平面垂直的 性质定理 ①如果两条直线和一个平面垂直，那么这两条直线_______； ②如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线垂直于平面内的所有直线. 直线与平面所成的角 平面的一条斜线和______所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角； 斜线与平面所成角的范围是:_______； 直线与平面所成角的范围是:_______； 平面与平面 二面角 从一条直线出发的两个________构成的图形叫做二面角.记作：二面角α-l-β . 平面与平面垂直的概念 如果两平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直 平面与平面垂直的 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的_________，那么这两个平面互相垂直 平面与平面垂直的 性质定理 如果两个互相垂直,那么在一个平面内垂直于____的直线垂直于另一个平面 （四）柱、锥、球的概念和性质 棱柱 棱柱的概念 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，由这些面围成的几何体. 棱柱的分类 棱柱按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……，侧棱垂直于底面的棱柱叫________，底面是正多边形的直棱柱叫________. 棱柱的性质 侧棱都相等，侧面都是________； 两个底面与平行于它的截面是全等的多边形. 过不相邻的两条侧棱的截面是____________. 棱锥 棱锥的概念 一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形所围成的多面体. 棱锥的分类 棱锥按底面多边形的______分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……，如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心，这样的棱锥叫______. 棱锥的性质 正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的____________，各等腰三角形底边上的高叫正棱锥的______. 正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个____________. 正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影组成一个____________. 圆柱 圆柱的概念 以______的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体. 圆柱的性质 平行于底面的截面是全等的______. 轴截面是全等的______. 圆锥 圆锥的概念 以直角三角形一直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体. 圆锥的性质 平行底面的截面是圆. 轴截面是全等的______. 球 球的概念 以______所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体. 球的性质 球心和截面圆心的连线______截面. 经过球心的截面叫做______，不经过球心的平面叫做______. （五）柱、锥、球的面积和体积公式 棱柱 直棱柱侧面积 S直棱柱= 直棱柱表面积 S直棱柱表= 棱柱的体积 V棱柱= 棱锥 正棱锥侧面积 S正棱锥侧= 正棱锥表面积 S正棱锥侧表= 棱锥的体积 V棱锥= 圆柱 圆柱的侧面积 S圆柱侧= 圆柱的表面积 S圆柱表= 圆柱的体积 V圆柱= 圆锥 圆锥的侧面积 S圆锥侧= 圆锥的表面积 S圆锥表= 圆锥的体积 V圆锥= 球 球的表面积 S球= 球的体积 V球= 考点突破 考点1 点，线，面的位置关系 【例1】下列命题中正确的是（    ） A．两个平面可以有且仅有一个公共点 B．三条相互平行的直线必在同一个平面内 C．两两相交的三条直线一定共面 D．过不在一直线上的三点有且仅有一个平面 【突破训练】已知，是两个平面，，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 考点2 直线与直线的位置关系 【例2】如图所示，在棱长为的正方体中，为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【突破训练】在正方体中，分别为、、、的中点，则异面直线与所成的角等于（    ） A． B． C． D． 考点3 直线与平面的位置关系 【例3】已知正方体的棱长为为的中点，则到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【突破训练】已知长方体中，，为的中点，则点 到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 考点4 平面与平面的位置关系 【例4】如图所示，在四面体中，和都是等边三角形，且，则二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 【突破训练】如图，在正方体中，二面角的平面角等于（    ） A． B． C． D． 考点5 立体几何综合题 【例5】三棱柱中，底面，且各棱长均相等，为的中点．F为AB的中点.    (1)证明：平面平面； (2)证明：平面平面． 【突破训练】如图，在四面体中，，是的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小. 【例6】如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的平面角的余弦值. 【突破训练】如图，在四棱锥中，平面，底面是一个直角梯形，，. (1)若为的中点，证明：直线平面； (2)求二面角的余弦值. 【例7】如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点． (1)判断直线与平面的位置关系，并说明理由； (2)求三棱锥的体积． 【突破训练】正方体中，，分别是，的中点.      (1)求异面直线与所成角； (2)求证：平面 模拟演练 一、单选题 1．下列命题正确的是（    ） A．若直线上有无数个点不在平面内，则 B．若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行 C．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 D．若直线与平面平行，则平面内有无数条直线与平行 2．正方体中，为中点，则直线，所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在四棱锥中，平面，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在三棱锥中，平面平面，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．正方体的棱长为是的中点，则三棱锥的体积是（    ） A． B． C． D．2 6．正方体的棱长为4，E是的中点，则E到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 7．是空间四边形，且和成角，、分别是和的中点，则和所成的角是（    ） A． B． C．或 D． 8．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面都是等边三角形，是的中点，则异面直线和所成角的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在长方体中，已知为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 10．如图，在空间四面体中，若棱与成60°角，且，则连接、、、四条棱的中点E、F、G、H所得的四边形的面积等于 .    11．在长方体中，，，，则二面角的大小的正切值为 ． 三、解答题 12．如图，三棱锥中，平面，，为中点，为中点，为中点.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 13．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面，、分别为棱、的中点. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离. 14．如图，已知的棱长为2. (1)求四棱锥的体积； (2)求直线和平面所成角的余弦值. 15．如图，在正三棱柱中，已知，、分别是、的中点. (1)求正三棱柱的表面积； (2)求证：平面平面； (3)求证：直线平面. $$ 专题10 立体几何 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 考点预测 · 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质 · 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质 · 点，线，面的位置关系 要点自测 （1） 平面的概念及基本性质 性质 文字描述 符号描述 图形描述 公理1 如果一条直线上的____两个点____在一个平面上，那么这条直线上的___所有点_____都在这个平面上. 公理2 如果两平面有______一个公共点______，那么他们有且只有一条通过这个点的__交线______. 公理3 经过不在____一条直线____的三点，有且只有一个平面. C AB⇒ 存在唯一平面α，且A∈α，B∈α，C∈α 公理3 的推论 推论1：经过直线和直线外一点，有且只有一个平面 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面 （2） 直线、平面平行的判定和性质 直线与直线 位置关系 相交 在同一平面内，有且只有____1____公共点 平行 在同一平面内，没有公共点 异面 ___不_____在任何一个平面内，没有公共点 异面直线所成的角 经过空间任一点分别作两条异面直线的平行线，这两条直线所成的锐角(或直角). 直线与平面 位置关系 直线在平面内 直线____所有____点都在平面内，记作：lα. 平行 直线与平面没有公共点，记作：l//α. 相交 直线与平面____有____一个公共点，记作：l∩α=A. 判定定理 如果__平面外____一条直线与这个平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行 性质定理 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线与两平面的___交线_____平行 平面与平面 位置关系 平行 两平面没有公共点，记作：α//β. 相交 令平面有且仅有一条公共直线直线，记作：α∩β=l 判定定理 如果一个平面内有_两条相交_直线平行于另一平面，则这两个平面平行 推论：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一平面内两相交直线，则这两个平面平行 性质定理 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的__交线______平行 （三）直线、平面垂直的判定和性质 直线与平面 直线与平面垂直的概念 如果一条直线l与平面α内任意一条直线都垂直，那么直线l与平面垂直，记作：l⊥α 直线与平面垂直的 判定定理 直线和平面内的____两条相交直线 ________垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 直线与平面垂直的 性质定理 ①如果两条直线和一个平面垂直，那么这两条直线____平行____； ②如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线垂直于平面内的所有直线. 直线与平面所成的角 平面的一条斜线和___平面___所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角； 斜线与平面所成角的范围是:_[0,90]_； 平面与平面所成角的范围是:_[0,180]____； 平面与平面 二面角 从一条直线出发的两个_半平面__构成的图形叫做二面角.记作：二面角α-l-β . 平面与平面垂直的概念 如果两平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直 平面与平面垂直的 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的__垂线_，那么这两个平面互相垂直 平面与平面垂直的 性质定理 如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于____两个平面交线 ____的直线垂直于另一个平面 （四）柱、锥、球的概念和性质 棱柱 棱柱的概念 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，由这些面围成的几何体. 棱柱的分类 棱柱按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……，侧棱垂直于底面的棱柱叫__直棱柱__底面是正多边形的直棱柱叫___正棱柱___. 棱柱的性质 侧棱都相等，侧面都是_____四边形___； 两个底面与平行于它的截面是全等的多边形. 过不相邻的两条侧棱的截面是___矩形_________. 棱锥 棱锥的概念 一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形所围成的多面体. 棱锥的分类 棱锥按底面多边形的边数 分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……，如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心，这样的棱锥叫正棱锥 . 棱锥的性质 正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的三角形，各等腰三角形底边上的高叫正棱锥的斜高. 正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形。 正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影组成一个直角三角形。 圆柱 圆柱的概念 以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体. 圆柱的性质 平行于底面的截面是全等的 圆 . 轴截面是全等的___矩形___. 圆锥 圆锥的概念 以直角三角形一直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体. 圆锥的性质 平行底面的截面是等圆. 轴截面是全等的___等腰三角形___. 球 球的概念 以半圆直径 所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体. 球的性质 球心和截面圆心的连线___垂直___截面. 经过球心的截面叫做大圆 ，不经过球心的平面叫做小圆 （五）柱、锥、球的面积和体积公式 棱柱 直棱柱侧面积 S直棱柱= 直棱柱表面积 S直棱柱表= 棱柱的体积 V棱柱= 棱锥 正棱锥侧面积 S正棱锥侧= 正棱锥表面积 S正棱锥侧表= 棱锥的体积 V棱锥= 圆柱 圆柱的侧面积 S圆柱侧= 圆柱的表面积 S圆柱表= 圆柱的体积 V圆柱= 圆锥 圆锥的侧面积 S圆锥侧= 圆锥的表面积 S圆锥表= 圆锥的体积 V圆锥= 球 球的表面积 S球= 球的体积 V球= 考点突破 考点1 点，线，面的位置关系 【例1】下列命题中正确的是（    ） A．两个平面可以有且仅有一个公共点 B．三条相互平行的直线必在同一个平面内 C．两两相交的三条直线一定共面 D．过不在一直线上的三点有且仅有一个平面 【答案】D 【详解】在A中，两个平面有一个公共点时，这两个平面交于一条直线，故A错误； 在B中，在正方体中，AB、DC、三条直线互相平行，但不共面， 故三条互相平行的直线可以在不同的平面内，故B错误； 在C中，在正方体中，两两相交的三条直线AB、AD、不共面， 故两两相交的三条直线不一定共面，故C错误； 在D中，过不在一直线上的三点有且仅有一个平面，定理正确，故D正确.      故选：D. 【突破训练】已知，是两个平面，，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【详解】对于选项AB：若，，则，故A错误；B正确； 对于选项C：若，，则或，故C错误； 对于选项D：若，，则，故D错误； 故选：B. 考点2 直线与直线的位置关系 【例2】如图所示，在棱长为的正方体中，为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接，，， 因为为的中点，， 所以， 因为，，，， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以， 所以为异面直线与所成的角（或其补角）， 因为为等边三角形，所以， 故， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 【突破训练】在正方体中，分别为、、、的中点，则异面直线与所成的角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，连接， 由题意， 所以异面直线与所成的角是或其补角， 由正方体性质知是等边三角形，， 所以异面直线与所成的角是. 故选：B. 考点3 直线与平面的位置关系 【例3】已知正方体的棱长为为的中点，则到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，作，垂足为， 因为平面，平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 即的长即为到平面的距离， 在直角中，，，则， ， 故选：B． 【突破训练】已知长方体中，，为的中点，则点 到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，, 故三棱锥体积为 所以三角形面积为, 设点 到平面的距离为， 得 故选：A 考点4 平面与平面的位置关系 【例4】如图所示，在四面体中，和都是等边三角形，且，则二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取中点，连接，因为和都是等边三角形， 则，所以为二面角的平面角， 又，则，，所以， 所以二面角的大小为. 故选：C. 【突破训练】如图，在正方体中，二面角的平面角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为平面，平面， 所以， 又因为，平面平面， 所以即为二面角的平面角， 因为，所以二面角的大小是45°． 故选：B． 考点5 立体几何综合题 【例5】三棱柱中，底面，且各棱长均相等，为的中点．F为AB的中点.    (1)证明：平面平面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）如图，连结， 因为点分别是和的中点，所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以，且平面，平面， 所以平面， 因为，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 且平面，平面， 所以平面，且，平面 所以平面平面    （2）因为平面，且平面， 所以平面平面，平面平面， 因为是等边三角形，且点是的中点， 所以，且平面， 所以平面，且平面， 所以平面平面. 【突破训练】如图，在四面体中，，是的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【详解】（1）在四面体中，由，是的中点， 得，而平面， 所以平面. （2）由（1）知，是二面角的平面角， 在等腰中，，，则， 同理，而，因此是正三角形，， 所以二面角的大小为. 【例6】如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的平面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）连接，交于点， 由底面是正方形，可知为的中点， 又是的中点，是的中位线， ， 又平面，平面， 平面. （2）设，， 底面，底面，， 即是直角三角形，， 又E是的中点，， 同理可得，且，，平面， 平面，， 在直角中，， ，， 又，二面角的平面角为， . 二面角的平面角的余弦值为. 【突破训练】如图，在四棱锥中，平面，底面是一个直角梯形，，. (1)若为的中点，证明：直线平面； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明过程见解析(2) 【详解】（1）取的中点，连接， 因为为的中点，所以，且， 又底面是一个直角梯形，，， 所以，， 故，，四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面， 所以， 又⊥，，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 故即为二面角的平面角， 又，所以， 故二面角的余弦值为. 【例7】如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点． (1)判断直线与平面的位置关系，并说明理由； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)平面，理由见解析(2) 【详解】（1）平面，理由如下： 连接，如图所示， 因为直三棱柱中，为的中点， 所以，且 因为，分别，的中点， 所以，， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 故平面． （2）因为直三棱柱，所以平面平面， 又平面，则点到底面的距离即为点到底面的距离， 又因为底面，所以点到平面的距离为， 由（1）得，，则， 所以三棱锥的体积为：． 【突破训练】正方体中，，分别是，的中点.      (1)求异面直线与所成角； (2)求证：平面 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）连接，， 因为且，所以四边形为平行四边形， 所以，则或其补角为异面直线与所成的角， 在正方体中，可得，即为等边三角形， 所以，所以异面直线与所成角为；    （2）取的中点，连接，， 因为，分别是，的中点， 所以，， 而，所以， 又因为平面，平面，平面， 平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 因为平面， 所以平面． 模拟演练 一、单选题 1．下列命题正确的是（    ） A．若直线上有无数个点不在平面内，则 B．若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行 C．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 D．若直线与平面平行，则平面内有无数条直线与平行 【答案】D 【详解】A选项，当时，在直线上，除了之外，其余点有无数个都不在内，故A选项错误； B选项，若两条平行直线中的一条与一个平面平行，另一条有可能在平面内，就不与平面平行，B选项错误； C选项，若直线与平面平行，则与平面内的直线平行或异面，C选项错误； D选项，若直线与平面平行，则平面内有无数条直线与平行，D选项正确. 故选：D 2．正方体中，为中点，则直线，所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取的中点，连接，， ∵，∴为平行四边形，∴， ∵为中点，为中点，∴， ∴，∴（或其补角）为直线，所成的角. 设正方体的棱长为2，则， ，， ∴， ∴， ∴直线，所成角的正弦值为. 故选：C. 3．如图，在四棱锥中，平面，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为平面平面，所以，， 又，，平面， 所以平面，又平面， 所以，又， ， 因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角， 即，在中，， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 4．如图，在三棱锥中，平面平面，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取的中点，连接，过作于，连接， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以是二面角的平面角， 设，又，， 所以，所以， 又，所以，又的中点，所以， 在中，， 在中，可得， 所以二面角的余弦值为. 故选：C. 5．正方体的棱长为是的中点，则三棱锥的体积是（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】如图所示， 连结，连结与AC交于点O，连结. 由图可知，因为正方体棱长为2，所以根据图中几何关系与勾股定理易得， ，，， ，， ，， 所以在中，， 即. 又因为在正方体中，，O是AC中点， 所以， 又平面ACF， 所以平面ACF， 于是三棱锥的高即为. 又在中，， 所以， 所以三棱锥的体积， 故答案选：D. 6．正方体的棱长为4，E是的中点，则E到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，在正方体中，易得，， 正方体中，平面，平面，所以， ， ，又， 所以， 所以E到直线的距离为， 故选：D 7．是空间四边形，且和成角，、分别是和的中点，则和所成的角是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】 取中点，连结， ∵在空间四边形中，，且异面直线与所成的角为， 分别为边和的中点， 且 且， 是异面直线AB与CD所成的角（或所成角的补角）， ∵异面直线与所成的角为， ∴或， ∵，得是异面直线和所成的角， 当时， ， 当时，， ∴异面直线和所成的角为或. 故选：C. 8．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面都是等边三角形，是的中点，则异面直线和所成角的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】    连接BD，AC交O.连接EO,则O为BD中点，是的中点，则根据三角形中位线定理， 在中，且.所以（或其补角）就是异面直线BE和PA所成的角. 设正方形ABCD的边长为.因为侧面都是等边三角形，所以. 在中，是PC的中点，，，根据等腰三角形三线合一，， 由勾股定理可得. 在中，，则.且. 在中，根据余弦定理. 将，，代入可得：. 故选：B 二、填空题 9．如图，在长方体中，已知为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】/ 【详解】平面，在平面上的射影是， 依题意可知四边形是正方形， 与所成角为，与所成角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为： 10．如图，在空间四面体中，若棱与成60°角，且，则连接、、、四条棱的中点E、F、G、H所得的四边形的面积等于 .    【答案】 【详解】由题意，连接，记，如下图：    由题意可知，，，， 所以四边形为菱形，则， 由棱与成，则结合图形可得， 在中，，， 菱形的面积. 故答案为：. 11．在长方体中，，，，则二面角的大小的正切值为 ． 【答案】 【详解】在长方体中，平面，平面， 则，过作于，连接，平面， 则平面，又平面，于是，是二面角的平面角， 由，，得， 在中，. 故答案为： 三、解答题 12．如图，三棱锥中，平面，，为中点，为中点，为中点.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【详解】（1）连，由为中点，为中点，得， 又平面，平面， 所以平面. （2）设，由平面，平面， 得，则，取中点，则， 又平面，则平面， 又平面，于是平面平面，又平面面， 过点在平面内作于，于是平面，连，    则为直线与平面所成的角， 在中，，，， 在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值. 13．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面，、分别为棱、的中点. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）因为、分别为棱、的中点，则， 因为四边形为正方形，则，所以，， 所以，、、、四点共面， 因为四边形为正方形，则， 因为平面，平面，则， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，则， 因为，为的中点，则， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，平面平面. （2）因为，平面，平面， 所以，平面， 所以，点到平面的距离等于点到平面的距离， 因为平面，平面，则， 因为，，、平面， 所以，平面， 因为平面，则， 因为，，、平面， 所以，平面， 因为平面，平面，则， 所以，， 所以，点到平面的距离等于. 14．如图，已知的棱长为2. (1)求四棱锥的体积； (2)求直线和平面所成角的余弦值. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）正方体的棱长为2， 由正方体性质可得平面，则四棱锥的高为， . （2）因为平面， 直线在平面上的射影为直线， 就是直线和平面所成的角. 在中，，，， ， . 15．如图，在正三棱柱中，已知，、分别是、的中点. (1)求正三棱柱的表面积； (2)求证：平面平面； (3)求证：直线平面. 【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析 【详解】（1）正三棱柱的侧面积为：.底面积为. 所以正三棱柱的表面积为：. （2）如图： 因为为等边三角形，为的中点，故， 又三棱柱为直三棱柱，故平面平面， 因为平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （3）连接，交与点，连接. 因为四边形为正方形，所以为中点， 又为中点，所以，又平面,平面， 所以平面. $$