专题09 圆锥曲线-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（河北专用）

专题09 圆锥曲线 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 考点预测 · 椭圆及其性质 · 双曲线及其性质 · 抛物线及其性质 · 圆锥曲线综合题 要点自测 一、椭圆及其性质 第一定义 平面内一动点P与两定点F1 、F2距离之和为常数(大于|F1 F2|)的点轨迹 焦点 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 顶点 轴长 长轴长＝2a，短轴长＝2b，焦距＝ 焦点 焦半径 ， ， 焦点弦 左焦点弦，右焦点弦 离心率 二、双曲线及其性质 第一定义 平面内一动点P与两定点F1 、F2距离之差为常数(大于|F1 F2|)的点轨迹 焦点 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 顶点 轴长 实轴长＝2a，虚轴长＝2b，焦距＝ 焦点 焦半径 ，，左支填“－” 渐近线 离心率 3、 抛物线及其性质 定义 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 方程 图形 顶点 （０，０） 对称轴 ｘ轴 ｙ轴 焦点 准线方程 离心率 范围 考点突破 考点1椭圆及其性质 【例1】．已知表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ）. A． B． C． D． 【突破训练】方程表示椭圆，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【例2】已知椭圆的两个焦点坐标分别为，且椭圆上的点到两焦点的距离之和为8，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【突破训练】焦点在x轴上，中心为坐标原点，经过点，则椭圆的标准方程为（　　） A． B． C． D． 考点2 双曲线及其性质 【例3】双曲线的焦距为是（    ） A． B． C．5 D．10 【突破训练】若双曲线上一点到其右焦点的距离是8,则点到其左焦点的距离是（    ） A．4 B．10 C．2或10 D．4或12 【例4】直线是双曲线的一条渐近线，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．16 【突破训练】双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 考点3 抛物线及其性质 【例5】已知为拋物线上一点，且到抛物线焦点的距离为4，它到轴的距离为3，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【突破训练】已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（   ） A． B．5 C．6 D． 【例6】抛物线的顶点在原点，准线过椭圆的一个焦点，且垂直于椭圆的长轴，抛物线与椭圆的一个交点为，求此抛物线的标准方程及椭圆的标准方程． 【突破训练】已知抛物线上的点到焦点F的距离为6． (1)求抛物线C的方程； (2)过点作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段的中点，求直线l方程． 考点4 圆锥曲线综合题 【例7】已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆有且仅有一个交点，求实数的值. 【突破训练】已知椭圆的焦点为，且该椭圆经过点. (1)求的标准方程； (2)若为上一点，且，求的面积. 【例8】已知双曲线过点且它的两条渐近线方程为与. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线右支交于不同两点，求k的取值范围． 【突破训练】已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 模拟演练 一、单选题 1．“实数”是“方程表示椭圆”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 2．一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．若椭圆的离心率为，则（   ） A．1 B．4 C．1或4 D．以上都不对 4．设双曲线的焦点为，，点在双曲线右支上，且，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 5．与椭圆共焦点且过的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的离心率为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 7．若双曲线经过点，两条渐近线方程是，该双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 8．若抛物线上的一点A到焦点的距离为2，则点A的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 9．抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 10．已知直线与抛物线交两点，为坐标原点，若，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知抛物线：，若第一象限的A，B两点在抛物线上，焦点为F，，，，则直线的斜率k的值为 ． 12．已知椭圆中心在原点，长轴长为4，以双曲线的顶点为焦点，则椭圆的标准方程为 ． 13．已知、为椭圆上的两个点，且直线的方程为，则中点与原点连线的斜率为 ． 14．已知点在椭圆上，点在直线上，则的最小值为 . 三、解答题 15．已知椭圆的焦距为12，长半轴长为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 16．已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 17．已知抛物线的焦点为，且F与圆上点的距离的最小值为2． (1)求； (2)已知点，，是抛物线的两条切线，，是切点，求． 18．已知直线与抛物线交于A，B两点，F为抛物线的焦点. (1)若，求m的值； (2)求线段AB中点M的轨迹方程. $$ 专题09 圆锥曲线 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 考点预测 · 椭圆及其性质 · 双曲线及其性质 · 抛物线及其性质 · 圆锥曲线综合题 要点自测 一、椭圆及其性质 第一定义 平面内一动点P与两定点F1 、F2距离之和为常数(大于|F1 F2|)的点轨迹 焦点 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 顶点 轴长 长轴长＝2a，短轴长＝2b，焦距＝ 焦点 焦半径 ， ， 焦点弦 左焦点弦，右焦点弦 离心率 二、双曲线及其性质 第一定义 平面内一动点P与两定点F1 、F2距离之差为常数(大于|F1 F2|)的点轨迹 焦点 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 顶点 轴长 实轴长＝2a，虚轴长＝2b，焦距＝ 焦点 焦半径 ，，左支填“－” 渐近线 离心率 3、 抛物线及其性质 定义 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 方程 图形 顶点 （０，０） 对称轴 ｘ轴 ｙ轴 焦点 准线方程 离心率 范围 考点突破 考点1椭圆及其性质 【例1】．已知表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】要使表示焦点在轴上的椭圆， 需满足解得， 即实数的取值范围为. 故选：B. 【突破训练】方程表示椭圆，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【详解】由于方程表示椭圆， 所以，解得或. 故选：B 【例2】已知椭圆的两个焦点坐标分别为，且椭圆上的点到两焦点的距离之和为8，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义计算即可. 【详解】易知椭圆焦点在横轴上，可设椭圆方程， 则根据题意知，所以，即椭圆方程为：. 故选：C 【突破训练】焦点在x轴上，中心为坐标原点，经过点，则椭圆的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得的值即可得解. 【详解】由题意，所以椭圆的标准方程为. 故选：A. 考点2 双曲线及其性质 【例3】双曲线的焦距为是（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】D 【分析】由双曲线方程确定焦距即可. 【详解】由题设，则焦距为. 故选：D 【突破训练】若双曲线上一点到其右焦点的距离是8,则点到其左焦点的距离是（    ） A．4 B．10 C．2或10 D．4或12 【答案】D 【分析】通过对点的位置进行分类讨论,再结合双曲线的定义进行运算即可. 【详解】由双曲线的方程可得,所以,可得. 设右焦点为,左焦点为, 当点在左支上时,则,所以； 当点在右支上时,． 故选:D. 【例4】直线是双曲线的一条渐近线，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．16 【答案】A 【分析】根据渐近线方程求解即可. 【详解】直线是双曲线的一条渐近线，由直线的斜率为2，得，所以． 故选：A． 【突破训练】双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的性质即可求解. 【详解】由，得，， 所以渐近线方程为，即 故选：C 考点3 抛物线及其性质 【例5】已知为拋物线上一点，且到抛物线焦点的距离为4，它到轴的距离为3，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义知，抛物线上一点到准线的距离等于到焦点的距离，即可求解. 【详解】由题意得，，即，解得. 故选：. 【突破训练】已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（   ） A． B．5 C．6 D． 【答案】B 【详解】依题意，由抛物线的定义知，点到抛物线焦点的距离即点到准线的距离， 即. 故选：B. 【例6】抛物线的顶点在原点，准线过椭圆的一个焦点，且垂直于椭圆的长轴，抛物线与椭圆的一个交点为，求此抛物线的标准方程及椭圆的标准方程． 【答案】抛物线的标准方程为：；椭圆的标准方程为：. 【分析】设出抛物线的标准方程,利用可求出抛物线方程,利用椭圆与抛物线共一个焦点得到,再根据可求出椭圆方程. 【详解】设抛物线的标准方程为：， 因为在抛物线上，所以，得， 所以抛物线的标准方程为：. 因为抛物线的准线为：，所以椭圆的一个焦点为，所以，所以， 又在椭圆上，所以，所以，解得， 所以椭圆的标准方程为：. 【突破训练】已知抛物线上的点到焦点F的距离为6． (1)求抛物线C的方程； (2)过点作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段的中点，求直线l方程． 【答案】(1). (2). 【详解】（1）由题设，抛物线准线方程为， ∴抛物线定义知：，可得， ∴. （2）由题设，直线l的斜率存在且不为0，设，联立抛物线方程， 有，整理得，则，又P是线段的中点， ∴，即，故. 考点4 圆锥曲线综合题 【例7】已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆有且仅有一个交点，求实数的值. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）椭圆过点，且离心率为， 可得：，解得， 再由，可得： ， 椭圆的方程为：. （2）由（1）知椭圆的方程为：，由直线与椭圆联立 消得：，根据直线与椭圆仅有一个交点得： ，解得. 【突破训练】已知椭圆的焦点为，且该椭圆经过点. (1)求的标准方程； (2)若为上一点，且，求的面积. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）依题意，设椭圆方程为， 所以，解得. 所以椭圆的标准方程为. （2）由于，，根据抛物线的定义有： ，整理得， 所以的面积为. 【例8】已知双曲线过点且它的两条渐近线方程为与. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线右支交于不同两点，求k的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为与, 故设双曲线方程为：， 因为双曲线过，故即，故双曲线方程为：. （2）由可得， 因为直线与双曲线右支交于不同两点， 所以，故. 【突破训练】已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）由题意，知，解得，故双曲线的方程为． （2）设， 则，两式相减，得， 整理得． 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即． 经检验，直线与双曲线相交，所以直线的方程为. 模拟演练 一、单选题 1．“实数”是“方程表示椭圆”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【详解】方程表示椭圆，则且， 所以“实数”是“方程表示椭圆”的必要非充分条件. 故选：B 2．一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，故， 且，故， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B 3．若椭圆的离心率为，则（   ） A．1 B．4 C．1或4 D．以上都不对 【答案】C 【详解】当焦点在轴上时，，解得； 当焦点在轴上时，，解得. 故选：C 4．设双曲线的焦点为，，点在双曲线右支上，且，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得：，设， 由题意可得：且， 两方程联立解得：， 所以. 故选：C 5．与椭圆共焦点且过的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由椭圆方程可知，即焦点坐标为， 设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线方程为. 故选：C. 6．已知双曲线的离心率为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为双曲线的离心率为， 则，且，解得. 故选：A. 7．若双曲线经过点，两条渐近线方程是，该双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为双曲线的渐近线方程为，设该双曲线的方程为， 将点的坐标代入双曲线的方程可得， 即双曲线的方程为，化为标准式方程为. 故选：A. 8．若抛物线上的一点A到焦点的距离为2，则点A的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将标准化为，所以抛物线的准线方程为， 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于点到准线的距离. 如图所示， 所以，解得. 故选：C. 9．抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得，， 所以抛物线的准线方程为. 故选：B. 10．已知直线与抛物线交两点，为坐标原点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示， 设，，联立整理得， 则，解得且， ，， 所以， 因为，所以，即，解得． 故选：C. 二、填空题 11．已知抛物线：，若第一象限的A，B两点在抛物线上，焦点为F，，，，则直线的斜率k的值为 ． 【答案】 【详解】设，， 根据抛物线定义，，，得， 由，且，得， 故答案为：． 12．已知椭圆中心在原点，长轴长为4，以双曲线的顶点为焦点，则椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【详解】双曲线的顶点为， 所以椭圆的焦点在轴上，设方程为， 由长轴长为，可得，所以， 又，所以， 所以椭圆的标准方程为． 故答案为：. 13．已知、为椭圆上的两个点，且直线的方程为，则中点与原点连线的斜率为 ． 【答案】/ 【详解】设点，，中点， 则，， 又点、为椭圆上的两个点， 则， 两式做差可得， 即， 代入，，则， 即， 又直线的方程为， 即， 所以， 故答案为：. 14．已知点在椭圆上，点在直线上，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】如图，由直线的方程与椭圆的方程可以知道，直线与椭圆不相交． 设与直线平行的直线与椭圆相切，    由，得， 则，解得， 由图可知，当时，直线与椭圆的切点到直线的距离最近， 又直线与直线间的距离， 所以. 故答案为：. 三、解答题 15．已知椭圆的焦距为12，长半轴长为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由题意可知 则，所以椭圆的方程为. （2）    由题意直线l的斜率存在，如图，设，则 两式相减得，整理可得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 16．已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为双曲线的实轴长为，所以，解得：； 又因为点在双曲线上，所以，解得：， 所以双曲线的标准方程为： （2）设， 由题可得过点且斜率为的直线方程为：，即， 联立，消去可得：， 所以，， 所以 17．已知抛物线的焦点为，且F与圆上点的距离的最小值为2． (1)求； (2)已知点，，是抛物线的两条切线，，是切点，求． 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）因为（），则其到圆心距离减去半径为2，故. （2）由（1）可知，抛物线的标准方程为：. 如图：    因为过点的切线一定有斜率，故设切线方程为：，即， 代入得：，整理得：. 因为直线与抛物线相切，所以或. 当时，由，所以切点； 当时，由，所以切点. 所以 18．已知直线与抛物线交于A，B两点，F为抛物线的焦点. (1)若，求m的值； (2)求线段AB中点M的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）联立方程，消去y得， 由得，设，，则， 由抛物线定义知：，解得，符合题意， 所以. （2）设点，则由题意得，因为，所以， 把即代入得， 所以点M的轨迹方程为. $$