专题08 直线与圆的方程-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（河北专用）

专题08 直线与圆的方程 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 考点预测 · 直线的一般式，斜截式，点斜式方程 · 两条直线平行，垂直的条件 · 直线与圆的位置关系 · 圆的方程 · 点到直线的距离 要点自测 （一）直线方程 直线的倾斜角和斜率 倾斜角的定义：直线l在x轴 上方 的部分与x轴正方向所成的角α，称为直线l的倾斜角. 直线倾斜角的范围：0°≤α＜180°. 图示： 斜率的概念：当直线l倾斜角α≠时，将倾斜角α正切值做直线l的斜率记作：k =tanα . 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则k=. 直线的方程 名称 已知条件 方程 说明 点斜式 直线上l上一点P(x0,y0) 直线的斜率k y-y0=k(x-x0) 不能表示垂直于x轴的直线 斜截式 直线的斜率k 直线在y轴上的截距b y=kx+b 不能表示垂直于x轴的直线 截距式 在x轴上的截距a， 在y轴上的截距b. 不能表示过原点和平行于坐标轴的直线 一般式 \ Ax+By+C=0 A，B不能同时为0 直线的位置关系 位置 关系 斜截式方程： l1：y=k1x+b1 l2：y=k2x+b2 一般式方程： l1：A1x+B1y+C1=0 l2：A2x+B2y+C2=0 平行 k1=k2 且 b1≠b2 A1B2=A2B1且B1C2≠B2C1 垂直 k1·k2 =-1 A1A2+B1B2=0 相交 k1≠k2 A1B2≠A2B1 重合 k1=k2 且 b1=b2 A1B2=A2B1且B1C2=B2C1 相关公式 两点间的距离公式 |AB|= 两点间的中点公式 x0 = ，y0 = 点到直线的距离公式 d = 两平行线间的距离公式 d = (二)圆的方程 圆的定义 平面内 到一定点的距离等于定长 的点的轨迹叫做圆，定点是圆心，定长是半径. 圆的方程 （1）标准方程 圆心为(a,b)，半径为r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2； （2）一般方程 圆的一般方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，其中D2+E2-4F>0. 通过配方可化为： ①当且仅当D2+E2-4F > 0时，表示一个圆， 圆心为(- ,- )，半径为； ②当且仅当D2+E2-4F = 0时，表示一个点，(- ,- ) ③当D2+E2-4F < 0时， 不表示任何图形 . （三）直线与圆的位置关系 位置关系 判断方法 经常考查的问题 解决方法 图示 几何法 代数法 相交 d<r △>0 (1)求弦长 利用垂径定理及勾股定理： ｜AB｜= 2 . (2)求弦中点坐标 联立直线与圆的方程，得到关于x或y的一元二次方程，利用韦达定理求出x中=，或 y中=. 注意：求出x中或y中后，代入直线方程，即可求出中点的完整坐标. 相切 d=r △=0 (1)过圆上一点求切线方程 切线与直线PC垂直，可得出切线斜率. 圆的切线方程为： (2)过圆外一点求切线方程 过圆外一点的切线有 2 条： 设圆外一点为P(x0,y0) ①设直线斜率存在，直线方程为y-y0=k(x-x0) ②利用圆心(a,b)到直线y-y0=k(x-x0)的距离d=r，求出k. 注意：当k值算出只有一个时，说明另一条直线斜率不存在，直接写出即可. 相离 d>r △<0 求圆上点到直线的最大或最小距离 ①最大距离：|AD|= d+r ； ②最小距离：|BD|= d-r ； 考点突破 考点1 倾斜角与斜率 【例1】已知点，，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，结合斜率和倾斜角的关系，可得直线的倾斜角为. 故选：C. 【突破训练】经过点和的直线的倾斜角为，则（    ） A．3.5 B．8 C．-2 D．2 【答案】D 【详解】依题意，直线的斜率为，解得. 故选：D. 考点2 两条直线的位置关系 【例2】若直线与直线平行，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】由题设. 故选：C 【突破训练】直线与直线垂直，则实数m的值为（    ） A． B．1 C．2 D．或 【答案】D 【详解】因为两直线垂直， 所以， 解得或. 故选：D 考点3 直线方程 【例3】直线经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若，则直线不会经过三个象限，所以， 所以， 因为直线经过第一、二、四象限， 所以斜率，与轴交点纵坐标， 解得， 故选：A 【突破训练】若直线经过第一、二、四象限，则有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】直线即，经过第一、二、四象限， 则，得， 故选：B 【例4】过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】与直线垂直的直线的斜率， ∴所求的直线方程为，即为， 故选：. 【突破训练】过点，且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线的斜率， 过点的直线与直线平行， 所以该直线的斜率， 设该直线的方程为， 且该直线过点， 则，得， 所以该直线的方程为，即. 故选：. 【例5】直线l的倾斜角是直线的倾斜角的倍，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线可化为，其斜率为， ∴其倾斜角为，∴直线的倾斜角为， ∴直线的斜率为， ∴直线的方程为， 即. 故选：C 【突破训练】已知点、，则线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ，线段的中点为， 线段的垂直平分线的方程是，化为：， 故选：A． 考点4 两条直线的交点 【例6】若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】联立，可得，即交点为， 由题意. 故选：B 【突破训练】过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】联立方程 ，解得 ，所以交点坐标为 ； 直线 的斜率为 ，所以所求直线方程的斜率为 ， 由点斜式直线方程得：所求直线方程为 ，即 ； 故选：B. 考点5 关于对称点问题 【例7】点关于直线的对称点为 ． 【答案】 【详解】设点关于直线的对称点为， 点与的中点在上， 且过点与的直线斜率与的斜率乘积为-1， 则， 解得，， 点关于直线的对称点为． 故答案为：． 【突破训练】点关于直线的对称点坐标为 . 【答案】 【详解】设点关于直线的对称点坐标为， 则，解得， 所以对称点为， 故答案为： 考点6 点到直线的距离 【例8】已知直线，点到直线的距离等于，则 【答案】 【详解】依题意，，所以. 故答案为： 【突破训练】已知点，点Q是直线上：的动点，则的最小值为 . 【答案】 【详解】的最小值即为点到直线的距离， 故的最小值为. 故答案为：. 考点7 直线与圆的位置关系 【例9】经过圆上的点的的切线方程为 . 【答案】 【分析】由过切点的半径与切线垂直得切线斜率，从而求得切线方程. 【详解】圆心为，切点为，则，所以切线斜率为， 得：切线方程为，化简得：. 故答案为： 【突破训练】过点作圆的切线，切线方程为 . 【答案】或 【详解】由，可得圆的圆心，半径为， 当过的直线斜率不存在时，直线方程为，易得直线与圆相切， 当过的切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由，解得，切线方程为， 所以切线方程为或． 故答案为：或． 【例10】已知圆，直线被圆C截得的弦长为 . 【答案】 【详解】解：由题意可得，圆心为，半径， 弦心距， 故直线被C截得的弦长为， 故答案为： 【突破训练】已知直线与圆相交于两点，则 . 【答案】4 【详解】设圆心到直线的距离为，因为，所以. 故答案为：4. 模拟演练 一、单选题 1．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线的倾斜角为，而此直线的斜率为， 于是，所以. 故选：C 2．过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线的斜率为 由垂直关系可得垂线的斜率为， 又垂线过点， 垂线方程为 故选：D 3．已知直线，，若，则m的值为（   ） A． B．6 C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，即，解得. 故选：B. 4．点关于直线对称点Q的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设点关于直线的对称点Q， 则，解得：． 所以. 故选：A． 5．已知点，点在直线上，若直线垂直于直线，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，直线过点且与直线垂直，其方程为．直线与直线的交点为，联立方程组解得即点坐标为． 6．圆心为，且与轴相切的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由圆心为，且与轴相切的圆的半径是1， 所以可得圆的方程为， 故选：B. 7．直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．直线过圆心 C．直线不过圆心但与圆相交 D．相离 【答案】B 【详解】的圆心为， 符合直线方程，故直线过圆心， 故选：B 8．已知直线与圆相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线即， 由已知直线与圆相切可得， 圆的圆心到的距离等于半径1， 即，解得， 故选：B． 二、填空题 9．若点在圆：上，过作圆的切线，则的倾斜角为 ． 【答案】/ 【详解】依题意，圆：的圆心，半径，则直线的斜率为， 因此切线的斜率为，其倾斜角为. 故答案为： 10．与直线相切于点的圆的方程为 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，只要满足即可，其中为圆心的横坐标，且） 【详解】设所求圆的圆心坐标为， 则，即， 所以满足条件的圆的方程为， 故只要满足即可， 取，可得圆的方程为． 故答案为：（答案不唯一） 11．直线与圆的位置关系是 . 【答案】相交 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相交. 故答案为：相交 12．已知直线经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的一半，则直线的点斜式方程为 ． 【答案】 【详解】设直线的倾斜角为， 则斜率，又，故， 设直线的的倾斜角为，则， 直线的斜率， 又直线经过点， 则直线的点斜式方程为：. 故答案为：. 13．过点且与过点和的直线平行的直线方程为 ． 【答案】 【详解】， 由点斜式得，即. 故答案为：. 三、解答题 14．的三个顶点是，，，求： (1)边BC上的中线所在直线的方程； (2)边BC的垂直平分线的方程． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：BC的中点坐标为， 所以边BC上的中线的斜率为， 所以边BC上的中线所在直线的方程为. （2）解：由（1）知BC的中点坐标，又， 所以边BC的垂直平分线的斜率为， 所以边BC的垂直平分线的方程为． 15．已知直线，求 （1）求直线l的斜率： （2）若直线m与l平行，且过点，求直线m的方程． 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由直线方程知：，即直线l的斜率为； （2）由（1），根据直线m与l平行，且过点，则直线m：， ∴直线m一般形式为. 16．已知圆：关于直线的对称圆的圆心为，若直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若直线与圆交于两点，，求直线的方程. 【答案】(1)或.(2)或 【详解】（1）由题意可知圆：的圆心坐标，半径， 当直线的斜率不存在时，直线过点.即的方程为时，此时直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设斜率为，直线过点.设直线的方程为， 即化为一般式：，直线与圆相切，则， 即，解得，所以的方程为：，即. 综上，当直线与圆相切，直线的方程为或. （2）圆：的圆心坐标，半径， 设，因为圆关于直线的对称圆的圆心为， 所以，解得，圆的圆心为，半径为1. 当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线过圆的圆心，，不符合题意； 当直线斜率存在时，设斜率为，直线过点.设直线的方程为，即化为一般式：，圆心到直线的距离. 若直线与圆交于两点，，根据勾股定理可得，解得， 所以直线的方程为或 17．已知圆的圆心为，它过点，且与直线相切． (1)求圆的标准方程; (2)若过点且斜率为的直线交圆于，两点，若弦的长为，求直线的方程. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）设圆M的标准方程为： 则圆心M到直线的距离为 由题意得，解得或舍去. 所以，所以圆M的方程为． （2）设直线l的方程为 则圆心M到直线l的距离为 ，因为，解得， 则直线的方程为． $$ 专题08 直线与圆的方程 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 考点预测 · 直线的一般式，斜截式，点斜式方程 · 两条直线平行，垂直的条件 · 直线与圆的位置关系 · 圆的方程 · 点到直线的距离 要点自测 （一）直线方程 直线的倾斜角和斜率 倾斜角的定义：直线l在x轴 上方 的部分与x轴正方向所成的角α，称为直线l的倾斜角. 直线倾斜角的范围：0°≤α＜180°. 图示： 斜率的概念：当直线l倾斜角α≠时，将倾斜角α正切值做直线l的斜率记作：k =tanα . 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则k=. 直线的方程 名称 已知条件 方程 说明 点斜式 直线上l上一点P(x0,y0) 直线的斜率k y-y0=k(x-x0) 不能表示垂直于x轴的直线 斜截式 直线的斜率k 直线在y轴上的截距b y=kx+b 不能表示垂直于x轴的直线 截距式 在x轴上的截距a， 在y轴上的截距b. 不能表示过原点和平行于坐标轴的直线 一般式 \ Ax+By+C=0 A，B不能同时为0 直线的位置关系 位置 关系 斜截式方程： l1：y=k1x+b1 l2：y=k2x+b2 一般式方程： l1：A1x+B1y+C1=0 l2：A2x+B2y+C2=0 平行 k1=k2 且 b1≠b2 A1B2=A2B1且B1C2≠B2C1 垂直 k1·k2 =-1 A1A2+B1B2=0 相交 k1≠k2 A1B2≠A2B1 重合 k1=k2 且 b1=b2 A1B2=A2B1且B1C2=B2C1 相关公式 两点间的距离公式 |AB|= 两点间的中点公式 x0 = ，y0 = 点到直线的距离公式 d = 两平行线间的距离公式 d = (二)圆的方程 圆的定义 平面内 到一定点的距离等于定长 的点的轨迹叫做圆，定点是圆心，定长是半径. 圆的方程 （1）标准方程 圆心为(a,b)，半径为r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2； （2）一般方程 圆的一般方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，其中D2+E2-4F>0. 通过配方可化为： ①当且仅当D2+E2-4F > 0时，表示一个圆， 圆心为(- ,- )，半径为； ②当且仅当D2+E2-4F = 0时，表示一个点，(- ,- ) ③当D2+E2-4F < 0时， 不表示任何图形 . （三）直线与圆的位置关系 位置关系 判断方法 经常考查的问题 解决方法 图示 几何法 代数法 相交 d<r △>0 (1)求弦长 利用垂径定理及勾股定理： ｜AB｜= 2 . (2)求弦中点坐标 联立直线与圆的方程，得到关于x或y的一元二次方程，利用韦达定理求出x中=，或 y中=. 注意：求出x中或y中后，代入直线方程，即可求出中点的完整坐标. 相切 d=r △=0 (1)过圆上一点求切线方程 切线与直线PC垂直，可得出切线斜率. 圆的切线方程为： (2)过圆外一点求切线方程 过圆外一点的切线有 2 条： 设圆外一点为P(x0,y0) ①设直线斜率存在，直线方程为y-y0=k(x-x0) ②利用圆心(a,b)到直线y-y0=k(x-x0)的距离d=r，求出k. 注意：当k值算出只有一个时，说明另一条直线斜率不存在，直接写出即可. 相离 d>r △<0 求圆上点到直线的最大或最小距离 ①最大距离：|AD|= d+r ； ②最小距离：|BD|= d-r ； 考点突破 考点1 倾斜角与斜率 【例1】已知点，，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【突破训练】经过点和的直线的倾斜角为，则（    ） A．3.5 B．8 C．-2 D．2 考点2 两条直线的位置关系 【例2】若直线与直线平行，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【突破训练】直线与直线垂直，则实数m的值为（    ） A． B．1 C．2 D．或 考点3 直线方程 【例3】直线经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足（    ） A． B． C． D． 【突破训练】若直线经过第一、二、四象限，则有（    ） A．， B．， C．， D．， 【例4】过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【突破训练】过点，且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【例5】直线l的倾斜角是直线的倾斜角的倍，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【突破训练】已知点、，则线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 考点4 两条直线的交点 【例6】若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【突破训练】过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（    ）． A． B． C． D． 考点5 关于对称点问题 【例7】点关于直线的对称点为 ． 【突破训练】点关于直线的对称点坐标为 . 考点6 点到直线的距离 【例8】已知直线，点到直线的距离等于，则 【突破训练】已知点，点Q是直线上：的动点，则的最小值为 . 考点7 直线与圆的位置关系 【例9】经过圆上的点的的切线方程为 . 【突破训练】过点作圆的切线，切线方程为 . 【例10】已知圆，直线被圆C截得的弦长为 . 【突破训练】已知直线与圆相交于两点，则 . 模拟演练 一、单选题 1．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知直线，，若，则m的值为（   ） A． B．6 C． D． 4．点关于直线对称点Q的坐标为（　　） A． B． C． D． 5．已知点，点在直线上，若直线垂直于直线，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．圆心为，且与轴相切的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 7．直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．直线过圆心 C．直线不过圆心但与圆相交 D．相离 8．已知直线与圆相切，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若点在圆：上，过作圆的切线，则的倾斜角为 ． 10．与直线相切于点的圆的方程为 ．（写出一个即可） 11．直线与圆的位置关系是 . 12．已知直线经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的一半，则直线的点斜式方程为 ． 13．过点且与过点和的直线平行的直线方程为 ． 三、解答题 14．的三个顶点是，，，求： (1)边BC上的中线所在直线的方程； (2)边BC的垂直平分线的方程． 15．已知直线，求 （1）求直线l的斜率： （2）若直线m与l平行，且过点，求直线m的方程． 16．已知圆：关于直线的对称圆的圆心为，若直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若直线与圆交于两点，，求直线的方程. 17．已知圆的圆心为，它过点，且与直线相切． (1)求圆的标准方程; (2)若过点且斜率为的直线交圆于，两点，若弦的长为，求直线的方程. $$