专题07 平面向量-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（河北专用）

专题07 平面向量 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 考点预测 · 平面向量的线性运算 · 平面向量的内积运算，坐标运算 · 向量共线，垂直的条件 要点自测 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的长度(或称模).的模记作． (2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量.是一个与a同向的单位向量．－是一个与a方向相反的单位向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又叫共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量． (7)向量的表示方法：用字母表示；用有向线段表示；用坐标表示． 2．向量的加法和减法 (1)向量的加法 ①三角形法则：以第一个向量a的终点A为起点作第二个向量b，则以第一个向量a的起点O为起点以第二个向量b的终点B为终点的向量就是a与b的和(如图1)．推广：＋＋…＋＝. 图1 图2 ②平行四边形法则：以同一点A为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱ABCD，则以A为起点的对角线 就是a与b的和(如图2)．在图2中，＝＝b，因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式． ③加法的运算性质： a＋b＝b＋a (交换律)； (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (结合律)； a＋0＝0＋a＝a. (2)向量的减法：已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，即a－b表示从向量b的终点指向向量a(被减向量)的终点的向量(如图)． 3．向量的数乘及其几何意义 (1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下： ①＝|λ||a|；②当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0. (2)运算律：设λ，μ∈R，则：①λ(μa)＝μ(λa)； ②(λ＋μ)a＝λa＋μa； ③λ(a＋b)＝λa＋λb. 4．两个向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa． 5．平面向量的坐标运算 (1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2). (2)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1). (3)若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy). (4)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0． 6．数量积的概念：已知两个非零向量a与b，我们把数量cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作 a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度与b在a的方向上的投影cosθ的乘积． 7．数量积的运算律及常用结论 (1)数量积的运算律①交换律：a·b＝b·a；②数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c． (2)常用结论①(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；②(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；③ a2＋b2＝0⇔a＝0且b＝0； 8．数量积的性质：设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则 ① e·a＝ |a|cosθ ② a⊥b⇔a·b＝0. ③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b| 特别地，a·a＝|a|2或＝. ④ cosθ＝ 9．数量积的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 ① a·b＝x1x2＋y1y2； a2＝x＋y； ＝. ② a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 考点突破 考点1 平面向量的概念 【例1】给出下列四个命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则与的方向相同或相反 B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件 C．若，则 D．“”的充要条件是“且” 【突破训练】关于向量，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 考点2 向量的运算用坐标表示 【例2】已知向量，则＝（    ） A． B． C． D． 【突破训练】已知平面向量，则向量（    ） A． B． C． D． 【例3】已知向量 则 （    ） A． B． C． D． 【突破训练】若向量，，则（　　） A． B． C． D． 考点3 平面向量垂直的条件 【例4】已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【突破训练】已知向量，，若，则（    ） A．2 B． C． D． 考点4 平面向量共线的条件 【例5】已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【突破训练】已知向量，且，则（   ） A． B．5 C． D．7 考点5 求向量的模 【例6】已知，，则（    ） A． B．1 C． D．5 【突破训练】已知向量，，则（    ） A． B． C．3 D．5 考点6 向量的数量积运算 【例7】已知，则夹角的余弦值等于（    ） A． B． C． D． 【突破训练】已知向量，，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 考点7 向量与三角形 【例8】中，设，若，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【突破训练】在三角形中，，则（    ） A．10 B．22 C． D． 模拟演练 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．若，则与共线 B．若与是平行向量，则 C．若，则 D．共线向量方向必相同 2．化简等于（    ） A． B． C． D． 3．已知非零向量，满足，则（    ） A． B． C．与的方向相同 D．与的方向相反 4．设，是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 5．已知空间向量和的夹角为，且，，则等于（    ） A．12 B．8 C．4 D．14 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．已知平面向量满足，则（    ） A． B． C． D． 8．若三点，，在同一条直线上，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 9．已知向量，若，则（    ） A．2 B．3 C．6 D．15 10．已知△ABC的顶点，，，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知的三个顶点分别为，，，且，则 ． 12．设，函数．则函数的最小正周期为 . 13．已知向量，，则向量与夹角的余弦值为 ． 14．已知向量，，则 . 15．已知向量，．若，则 ． 三、解答题 16．已知向量. (1)求与; (2)求与的夹角的余弦值. 17．已知向量， (1)若，求的值； (2)若，求的值. $$ 专题07 平面向量 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 考点预测 · 平面向量的线性运算 · 平面向量的内积运算，坐标运算 · 向量共线，垂直的条件 要点自测 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的长度(或称模).的模记作． (2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量.是一个与a同向的单位向量．－是一个与a方向相反的单位向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又叫共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量． (7)向量的表示方法：用字母表示；用有向线段表示；用坐标表示． 2．向量的加法和减法 (1)向量的加法 ①三角形法则：以第一个向量a的终点A为起点作第二个向量b，则以第一个向量a的起点O为起点以第二个向量b的终点B为终点的向量就是a与b的和(如图1)．推广：＋＋…＋＝. 图1 图2 ②平行四边形法则：以同一点A为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱ABCD，则以A为起点的对角线 就是a与b的和(如图2)．在图2中，＝＝b，因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式． ③加法的运算性质： a＋b＝b＋a (交换律)； (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (结合律)； a＋0＝0＋a＝a. (2)向量的减法：已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，即a－b表示从向量b的终点指向向量a(被减向量)的终点的向量(如图)． 3．向量的数乘及其几何意义 (1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下： ①＝|λ||a|；②当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0. (2)运算律：设λ，μ∈R，则：①λ(μa)＝μ(λa)； ②(λ＋μ)a＝λa＋μa； ③λ(a＋b)＝λa＋λb. 4．两个向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa． 5．平面向量的坐标运算 (1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2). (2)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1). (3)若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy). (4)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0． 6．数量积的概念：已知两个非零向量a与b，我们把数量cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作 a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度与b在a的方向上的投影cosθ的乘积． 7．数量积的运算律及常用结论 (1)数量积的运算律①交换律：a·b＝b·a；②数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c． (2)常用结论①(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；②(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；③ a2＋b2＝0⇔a＝0且b＝0； 8．数量积的性质：设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则 ① e·a＝ |a|cosθ ② a⊥b⇔a·b＝0. ③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b| 特别地，a·a＝|a|2或＝. ④ cosθ＝ 9．数量积的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 ① a·b＝x1x2＋y1y2； a2＝x＋y； ＝. ② a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 考点突破 考点1 平面向量的概念 【例1】给出下列四个命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则与的方向相同或相反 B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件 C．若，则 D．“”的充要条件是“且” 【答案】B 【详解】零向量方向是任意的，且与任意向量都平行，所以当时，时，， 但不满足两向量方向相同或相反，选项A错误； 因为A，B，C，D是不共线的四点，，所以，故四边形ABCD为平行四边形， 若四边形ABCD为平行四边形，则，所以“是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件，选项B正确； 当时，，但不一定有，选项C错误； 当时，有且，当且方向相反时，， 所以“”是“且”的充分不必要条件，选项D错误． 故选：B． 【突破训练】关于向量，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A：当时，，但，得不出，故A错误； 对于B：若，则与没有关系，故B错误； 对于C：若，则，故C正确； 对于D：若，则和不能比较大小，故D错误． 故选：C． 考点2 向量的运算用坐标表示 【例2】已知向量，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵向量， ∴, 故选：B. 【突破训练】已知平面向量，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为平面向量， 所以，则. 故选：B. 【例3】已知向量 则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量减法法则进行计算. 【详解】. 故选：B 【突破训练】若向量，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以. 故选：C 考点3 平面向量垂直的条件 【例4】已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】由，得，即， 又， 所以，即， 解得. 故选：D 【突破训练】已知向量，，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，可得，解得. 故选：A. 考点5 平面向量共线的条件 【例5】已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量共线定理，就可以求出x的值，然后用模长公式求模长. 【详解】因为，所以，即 所以，所以 所以， 故选：B. 【突破训练】已知向量，且，则（   ） A． B．5 C． D．7 【答案】C 【分析】根据向量共线的坐标运算可得答案. 【详解】因为，所以，解得. 故选：C. 考点5 求向量的模 【例6】已知，，则（    ） A． B．1 C． D．5 【答案】C 【分析】根据平面向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，，所以，所以， 故选：C. 【突破训练】已知向量，，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】利用向量线性运算的坐标表示，再利用坐标计算模即得. 【详解】向量，，则， 所以. 故选：B 考点6 向量的数量积运算 【例7】已知，则夹角的余弦值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量夹角公式直接求解即可. 【详解】. 故选：A. 【突破训练】已知向量，，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量夹角的坐标表示，列式计算即得. 【详解】由向量，， 得与夹角的余弦值. 故选：A. 考点7 向量与三角形 【例8】中，设，若，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算可得，再由向量的数量积可得答案. 【详解】因为， 所以， 即，可得， 又因为，所以， 所以角A为钝角. 故选：A． 【突破训练】在三角形中，，则（    ） A．10 B．22 C． D． 【答案】B 【分析】根据数量积的运算律计算即可. 【详解】. 故选：B. 模拟演练 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．若，则与共线 B．若与是平行向量，则 C．若，则 D．共线向量方向必相同 【答案】A 【详解】对于A，相等向量必是共线向量，A正确； 对于B，与是平行向量，如为非零向量，而，显然，B错误； 对于C，模相等的两个向量，它们的方向不一定相同，即不一定成立，C错误； 对于D，共线向量的方向可以相反，D错误. 故选：A 2．化简等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 故选：D． 3．已知非零向量，满足，则（    ） A． B． C．与的方向相同 D．与的方向相反 【答案】C 【详解】非零向量，满足，则与的方向相同，且，ABD错误，C正确. 故选：C 4．设，是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】若，则与的夹角可能为，不一定是钝角，因此充分性不成立； 若与的夹角为钝角，则可得，因此可得，所以充分性成立， 即“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：B 5．已知空间向量和的夹角为，且，，则等于（    ） A．12 B．8 C．4 D．14 【答案】D 【详解】, 故选：D 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以. 故选：C. 7．已知平面向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以. 故选：A. 8．若三点，，在同一条直线上，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【详解】因为、、三点共线，所以， 又因为，， 所以，解得. 故选：C. 9．已知向量，若，则（    ） A．2 B．3 C．6 D．15 【答案】B 【详解】由，可得，解得. 故选：B. 10．已知△ABC的顶点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意得， 则. 故选：C. 二、填空题 11．已知的三个顶点分别为，，，且，则 ． 【答案】5 【详解】由，，得，， 因为，所以，则，得，解得. 故答案为：. 12．设，函数．则函数的最小正周期为 . 【答案】 【详解】 . 所以的最小正周期为. 故答案为： 13．已知向量，，则向量与夹角的余弦值为 ． 【答案】 【详解】因为，， 所以． 故答案为： 14．已知向量，，则 . 【答案】 【详解】由题意得，所以， 故答案为：. 15．已知向量，．若，则 ． 【答案】 【详解】∵，，∴， 由得，解得，解得. 故答案为：. 三、解答题 16．已知向量. (1)求与; (2)求与的夹角的余弦值. 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）由，得， 而，则； （2）， 即与的夹角的余弦值为. 17．已知向量， (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由题意知 （2），， $$