专题06 数列-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（河北专用）

专题06 数列 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 考点预测 · 等差数列的定义，通项公式，前n项和公式 · 等比数列的定义，通项公式，前n项和公式 · 数列的综合题 要点自测 （一）数列的概念 1．数列的定义 按照 排列的一列数称为数列，数列中的 叫做这个数列的项． 2．数列的表示方法 列表法 列出表格表示n与an的对应关系 图象法 把点 画在平面直角坐标系中 解析式法 通项公式 数列{an}的第n项an与它 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 3.数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数 的数列 无穷数列 项数 的数列 4.数列的前n项和 (1)表示：在数列{an}中，Sn＝ 叫做数列的前n项和． (2)an与Sn的关系：若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝ （二）等差数列 1.等差数列的概念 (1)定义：对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的 的差都是 ，那么称这样的数列为等差数列.数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N+，d为常数). (2)等差中项：如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么 叫作a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道，2A＝ . 2.等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝ . (2)前n项和公式：Sn＝ ＝ . 3.等差数列的性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋ (n，m∈N+). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则 . （三）等比数列 1.等比数列的概念 (1)定义：如果一个数列从2项起，每一项与它的 的比值都是 ，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母 表示(q≠0).数学语言表达式： (n≥2，q为非零常数). (2)等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝ ，我们称 为a，b的 中项. 2.等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝ ； 通项公式的推广：an＝ (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝ ＝. 3.等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和. 若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则有ak·al＝ . 考点突破 考点1 数列的定义 【例1】．已知数列的前项和为，，则（   ） A．16 B．32 C．64 D．96 【突破训练】已知数列的通项公式为，则根据题意，该数列的前4项和（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 考点2 等差数列通项公式 【例2】在等差数列中，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【突破训练】等差数列中，，则（    ） A．40 B．30 C．20 D．10 考点3 等差数列前n项和 【例3】已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．16 B．18 C．24 D．26 【突破训练】已知等差数列的前项和为，满足，则（    ） A．-200 B．-100 C．200 D．100 考点4 等比数列的通项公式 【例4】已知为等比数列，，，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【突破训练】在等比数列中，，是方程的两个根，则的值为（    ） A．10 B．16 C． D．4 考点5 等比数列的前n项和 【例5】已知数列的前项和为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【突破训练】若等比数列的前项和，则公比（    ） A． B． C． D． 考点6 等差数列与等比数列的综合题 【例6】已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求的前项和. 【突破训练】已知正项等比数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【例7】等比数列的公比为2，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【突破训练】已知等差数列和正项等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 模拟演练 一、单选题 1．若数列的前项和，则等于（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 2．已知数列满足，，则（    ） A．2 B． C．5 D． 3．已知等差数列满足，则等于（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．已知等差数列中，，，则（    ） A． B． C．0 D．1 5．设等差数列的公差为，前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 6．记等差数列的前n项和为.若，，则（    ） A．49 B．63 C．70 D．126 7．在等比数列中，各项均为正数，且，，则与的等比中项是（    ） A．2 B． C．1 D． 8．在等比数列中，若，则公比为（ ） A．1 B． C．2 D．2或 9．已知等比数列，则数列的前10项和为（    ） A．55 B．110 C．511 D．1023 10．已知等比数列的前项和为，则（    ） A．18 B．54 C．128 D．192 二、填空题 11．已知等比数列中，，则 . 12．在数列中，，且，则 ． 13．已知数列是公差为-2的等差数列，且，则数列的通项公式为 ． 14．已知等比数列的前三项依次为，，，则 ． 15．数列满足（为正整数），且与的等差中项是5，则首项 三、解答题 16．已知数列前n项和为． (1)试写出数列的前5项； (2)数列是等差数列吗？ (3)你能写出数列的通项公式吗？ 17．已知数列中，，是数列的前项和，且对任意，有（为常数）． (1)当时，求、的值； (2)试判断数列是否为等比数列？请说明理由． 18．设为等差数列的前项和，已知，，既成等差数列，又成等比数列． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． $$ 专题06 数列 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 考点预测 · 等差数列的定义，通项公式，前n项和公式 · 等比数列的定义，通项公式，前n项和公式 · 数列的综合题 要点自测 （一）数列的概念 1．数列的定义 按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2．数列的表示方法 列表法 列出表格表示n与an的对应关系 图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中 解析式法 通项公式 数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 3.数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 4.数列的前n项和 (1)表示：在数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和． (2)an与Sn的关系：若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝ （二）等差数列 1.等差数列的概念 (1)定义：对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列.数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N+，d为常数). (2)等差中项：如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b. 2.等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1 ＋ ＝. 3.等差数列的性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N+). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则ak＋al＝am＋an. （三）等比数列 1.等比数列的概念 (1)定义：如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0).数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数). (2)等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝±，我们称G为a，b的等比中项. 2.等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1； 通项公式的推广：an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 3.等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和. 若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则有ak·al＝am·an. 考点突破 考点1 数列的定义 【例1】．已知数列的前项和为，，则（   ） A．16 B．32 C．64 D．96 【答案】B 【分析】由即可求解. 【详解】. 故选：B 【突破训练】已知数列的通项公式为，则根据题意，该数列的前4项和（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据题意，求出数列的前4项，从而求和. 【详解】根据题意，， 所以该数列的前4项和. 故选：A 考点2 等差数列通项公式 【例2】在等差数列中，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】设等差数列的公差为， 由，得，则， 所以. 故选：D 【突破训练】等差数列中，，则（    ） A．40 B．30 C．20 D．10 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为， ，则， ，则，解得，， ． 故选：B． 考点3 等差数列前n项和 【例3】已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．16 B．18 C．24 D．26 【答案】B 【详解】因为是等差数列，所以也是等差数列， 即，即，解得. 故选：B. 【突破训练】已知等差数列的前项和为，满足，则（    ） A．-200 B．-100 C．200 D．100 【答案】A 【详解】因为等差数列的前项和为， 可得，解得， 则. 故选：A 考点4 等比数列的通项公式 【例4】已知为等比数列，，，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】由题得，，故， ，故，即，， 所以. 故选：D. 【突破训练】在等比数列中，，是方程的两个根，则的值为（    ） A．10 B．16 C． D．4 【答案】C 【详解】依题意，得，而，所以． 故选：C 考点5 等比数列的前n项和 【例5】已知数列的前项和为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】, 故选：D 【突破训练】若等比数列的前项和，则公比（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，时，， 时，由解得，， 依题意，. 故选：C. 考点7 等差数列与等比数列的综合题 【例6】已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求的前项和. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）设的公差为， 由可得， 解得， 所以. （2）由（1）可知， 易知是公比为4的等比数列， 所以可得. 【突破训练】已知正项等比数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）设等比数列的公比为，则，所以或（舍）， 所以，. （2）由（1）得，所以. 【例7】等比数列的公比为2，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）已知等比数列的公比为2，且成等差数列， ， ， 解得， ； （2）， . ； 综上， 【突破训练】已知等差数列和正项等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）设等差数列公差为，正项等比数列公比为， 因为， 所以 因此； （2）数列的前n项和 模拟演练 一、单选题 1．若数列的前项和，则等于（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【详解】. 故选：C. 2．已知数列满足，，则（    ） A．2 B． C．5 D． 【答案】A 【详解】由，，可得，，， 所以数列是以2为周期的周期数列，故. 故选：A. 3．已知等差数列满足，则等于（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【详解】 故选：B 4．已知等差数列中，，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【详解】设公差为，因为，， 所以，所以. 故选：B. 5．设等差数列的公差为，前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】， 故。 故选：C 6．记等差数列的前n项和为.若，，则（    ） A．49 B．63 C．70 D．126 【答案】B 【详解】因是等差数列，故，于是 故选：B 7．在等比数列中，各项均为正数，且，，则与的等比中项是（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】等比数列中，各项均为正数，， 则， 所以与的等比中项为. 故选：B. 8．在等比数列中，若，则公比为（ ） A．1 B． C．2 D．2或 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为， 因为， 所以， 故选：C. 9．已知等比数列，则数列的前10项和为（    ） A．55 B．110 C．511 D．1023 【答案】D 【详解】设等比数列的公比为，前项和，则， 故. 故选：D. 10．已知等比数列的前项和为，则（    ） A．18 B．54 C．128 D．192 【答案】D 【详解】设等比数列的公比为，则，解得． ． 故选：D. 二、填空题 11．已知等比数列中，，则 . 【答案】 【详解】， 故答案为： 12．在数列中，，且，则 ． 【答案】8 【详解】因为，，所以为公比为2的等比数列，所以. 故答案为：8. 13．已知数列是公差为-2的等差数列，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】由题可得，又，解得， 所以， 数列的通项公式为. 故答案为：. 14．已知等比数列的前三项依次为，，，则 ． 【答案】 【详解】依题意，，解得， 于是等比数列的首项，公比， 所以. 故答案为： 15．数列满足（为正整数），且与的等差中项是5，则首项 【答案】1 【详解】数列满足为正整数），则数列为等比数列， 不妨设其公比为，则， 因为与的等差中项是5， 所以，即，解得． 故答案为：1． 三、解答题 16．已知数列前n项和为． (1)试写出数列的前5项； (2)数列是等差数列吗？ (3)你能写出数列的通项公式吗？ 【答案】(1)；(2)不是等差数列；(3). 【详解】（1）由得，，， ，， 所以. （2）由（1）知，所以数列不是等差数列. （3）当时，； 当时，； 综上. 17．已知数列中，，是数列的前项和，且对任意，有（为常数）． (1)当时，求、的值； (2)试判断数列是否为等比数列？请说明理由． 【答案】(1)，；(2)当时，不是等比数列；当时，是等比数列． 【详解】（1）由题意可得，，. （2）当时，. 由，两式相减得. 当时，不是等比数列； 当时，可得，,当时,,,所以,故对任意的都有，此时数列是等比数列. 综上，当时，不是等比数列；当时，是等比数列． 18．设为等差数列的前项和，已知，，既成等差数列，又成等比数列． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，，既成等差数列，又成等比数列， 所以，，均相等且不为0， 所以即 解之得，，满足条件． 故． （2）由（1）得，， 所以． 故 $$