专题05 三角函数-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（河北专用）

专题05 三角函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 考点预测 · 任意角的三角函数的定义 · 同角三角函数基本关系式：sin2α+cos2α=1、 · 理解两角和与差公式，二倍角公式 · 运用诱导公式进行求值 · 三角函数的图像与性质 · 正弦定理，余弦定理 要点自测 （一）任意角的三角函数 要点 定义 说明 任意角的概念 角是由平面内一条射线绕其端点旋转而成的图形； 分类：①正角：射线按逆时针方向旋转而成的角； ②负角：射线按顺时针方向旋转而成的角； ③零角：当射线没有旋转时，也看成一个角，叫零角； / 终边相同的角 与角α终边相同的角构成的集合是： β={β｜β=α+k·360o，k∈Z} ； 也可表示为α+2kπ，k∈Z 弧度制 弧长等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角 弧度用rad表示 弧度与角度的换算：π弧度= 180°； 弧长公式：l = |α|·r ； 角α为弧度制 扇形面积公式： S扇形 = l r = |α|·r2 ； 任意角的三角函数 定义：设点P(x,y)是角α终边上任意一点，它到原点的距离为r(r=)，那么， sinα= ；cosα= ；tanα= . 符号： 口诀： 一全正、二正弦、 三正切、四余弦 特殊角的三角函数值：见下表 α 0 sinα 0 1 0 -1 0 cosα 1 0 -1 0 1 tanα 0 1 不存在 0 不存在 0 单位圆 在直角坐标系中，以 圆心 为原点，以 1 为半径的圆，叫做单位圆.角α终边与单位圆交于点P(cosα,sinα) 同角三角函数 的基本关系 ①平方关系: sin2α+cos2α=1 ；②商数关系: ； （二）诱导公式 公式 图示 归纳说明 (1)2kπ+型：sin(α+2kπ)=sinα； cos(α+2kπ)=cosα； tan(α+2kπ)=tanα； 2kπ+全正 (2)-α型： sin(-α)=-sinα； cos(-α)=cosα； tan(-α)=-tanα； 负角余弦正 (3)π+型：sin(π+α)=-sinα； cos(π+α)=-cosα； tan(π+α)=tanα； π+正切正 (4)π-型：sin(π-α)=sinα； cos(π-α)=-cosα； tan(π-α)=-tanα； π-正弦正 （三）三角函数的图像与性质 ①正弦函数的图像与性质 函数 y=sinx 图像 五个关键点：(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0) 性质 定义域 R 值域 [-1,1] 当x=+2kπ(k∈Z)时，ymax=1；当x=-+2kπ(k∈Z)时，ymin=-1. 周期性 2π 奇偶性 奇函数 单调性 在[- +2kπ, +2kπ]上为增函数；在[ +2kπ, +2kπ]上为减函数. 正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图像与性质 图像 “五点法”画正弦型函数图像的步骤：①列表；②建系、描点；③平滑曲线成图； ④标识函数解析式. 性质 定义域 R 值域 [-A,A] 周期性 T= ②余弦函数的图像与性质 函数 y=sinx 图像 五个关键点：(0,1),(,0),(π,-1),(,0),(2π,1) 性质 定义域 R 值域 [-1,1] 当x=2kπ(k∈Z)时，ymax=1；当x=-π+2kπ(k∈Z)时，ymin=-1. 周期性 2π 奇偶性 偶函数 单调性 在[-π+2kπ,2kπ]上为增函数；在[2kπ,π+2kπ]上为减函数. （四）和差角公式及二倍角公式 要点 公式 变形 和差角角公式 正弦 ①sin(α+β)= sinαcosβ+cosαsinβ ； ②sin(α-β)= sinαcosβ-cosαsinβ ； / 余弦 ①cos(α+β)= cosαcosβ-sinαsinβ ； ②cos(α-β)= cosαcosβ+sinαsinβ ； / 正切 ①tan(α+β)= ； ②tan(α-β)= ； / 二倍角公式 正弦 sin2α= 2sinαcosα ； sinαcosα=sin2α 余弦 cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α； 降幂公式：sin2α= ； cos2α= ； 正切 tan2α= ； / （五）正弦定理和余弦定理 要点 描述 公式 应用 余弦定理 三角形任何一边长的平方等于其他两边长的平方和减去这两边的长与它们的夹角的余弦乘积的2倍 a2=b2+c2-2bccosA cosA=； b2=a2+c2-2abcosB 或cosB= ； c2=a2+b2-2abcosC cosC= ； (1)已知两边及其夹角，求其他元素； (2)已知三角形三边，求其他元素. 正弦定理 在任何一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比值相等 = = 2R(R为外接圆半径) (1)已知两角和一边，求其他元素； (2)已知两边和其中一边所对的角，求其他元素. 考点突破 考点1 终边相同的角 【例1】下列选项中，与角终边相同的角是（   ） A． B． C．310° D．330° 【答案】A 【详解】与角终边相同的角的集合表示为， 当时，，故与角终边相同． 故选：A． 【突破训练】与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】与角终边相同的角是，， 令，可得或， 当时，这个角为， 当时，这个角为， 只有选项D满足. 故选：D 考点2 三角函数的概念 【例2】已知点在第二象限，则角的终边位置在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】因点在第二象限，故， 即角为第四象限角. 故选：D. 【突破训练】已知角的终边上有一点的坐标是，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】角的终边上有一点的坐标是， ，，， . 故选：D． 考点3 同角三角函数的基本关系 【例3】若，，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】利用同角三角函数的基本关系结合计算，并且需要分类讨论． 【详解】且， ， 又， ， 解得：或， 当，则，则； 当，则（舍去）； 故选：C． 【突破训练】已知，且为锐角，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】依题意结合平方和关系即可计算求解. 【详解】因为，且为锐角， 所以. 故选：A. 【例4】若，，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【详解】因为，作出的正弦线，余弦线， 所以，，所以，即． 故选：B 【突破训练】如果，那么下列不等式成立的是（   ） A．sin<cos <tan B．tan<sin<cos C．cos<sin<tan D．cos<tan<sin 【答案】C 【详解】如图所示，   在单位圆中作出与单位圆的交点为,由于，则， 所以，故． 故选：C 考点4 诱导公式 【例5】若，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】依题意，. 故选：A 【突破训练】若，则（    ） A． B． C．12 D． 【答案】C 【详解】因为，所以. 故选：C. 考点5 三角函数的图像与性质 【例6】函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的最小正周期为. 故选：D. 【突破训练】下列函数中，最小正周期为且是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】正弦函数、余弦函数的周期都是，故排除AD，是奇函数，故排除C， 而函数的最小正周期为， 而，且的定义域是全体实数， 所以是偶函数，即满足题意.故选：B. 【例7】下列函数中，在上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，在上单调递增，故A错误； 对于B，由指数函数性质可知， 在R上为减函数，故B正确； 对于C，在上单调递增，故C错误； 对于D，在和上单调递减，故D错误；故选：B. 【突破训练】下列四个函数中，以为最小正周期的奇函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，是以为最小正周期的奇函数，故A不符合题意； 对于B，是以为最小正周期的偶函数，故B不符合题意； 对于C，若，则，为偶函数，故C不符合题意； 对于D，若，显然其定义域为全体实数，且，所以是奇函数，且它的最小正周期为，故D符合题意.故选：D. 【例8】要得到函数的图象，可将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【详解】，，因为，所以需要将的图象向右平移个单位.故选：D 【突破训练】为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【详解】为了得到函数的图象， 只需将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度. 故选：A. 【例9】已知函数f(x)＝ (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)π(2)最大值1，最小值－ 【详解】（1）f(x)＝sin， 所以f(x)的最小正周期为T＝＝π； （2）因为x∈，所以2x＋∈， 根据正弦函数 的图像可知： 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值1， 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－； 综上，最小正周期为 ，最大值为1，最小值为 . 【突破训练】已知函数， （1）写出函数的周期； （2）将函数图像上所有的点向左平移个单位，得到函数的图像，写出函数的表达式，并判断函数的奇偶性. 【答案】（1）；（2），奇函数 【详解】解：因为， 所以函数的周期, （2）将函数图像上所有的点向左平移个单位，得到函数 ， 因为， 所以函数为奇函数 考点7 和差角公式及二倍角公式 【例10】（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用二倍角公式及特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】因为， 故选：A. 【突破训练】，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵，平方可得，∴， 故选：C． 考点8 三角函数恒等变形 【例11】函数的单调递增区间是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先将函数化为的形式，然后将内层函数看作整体，放在正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间，再给取值，使其增区间在内即可 【详解】因为，由，解得，所以当时，增区间为， 故选：A． 【突破训练】若函数，则可以化简为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用辅助角公式求出答案. 【详解】，C正确； 其他选项不满足要求. 故选：C 考点9 正弦定理与余弦定理 【例12】已知的内角的对边分别为，且， (1)求的大小； (2)若，求的面积． 【答案】【小题1】 【小题2】 【详解】（1），可得 又 （2）由正弦定理得，， 由余弦定理，,可得，， 联立方程组整理得，，所以或（舍）． 【突破训练】已知内角的对边分别为，设. (1)求； (2)若的面积为，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式化简可得：， 整理得：， 由正弦定理可得：， 因此三角形的内角； （2）， ， ， . 模拟演练 一、单选题 1．若，则点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【详解】由，得，，所以点位于第二象限. 故选：B 2．已知角的顶点在坐标原点，始边在轴非负半轴上，点为角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为点为角终边上一点，故， 故选：D. 3．已知是第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因是第二象限角，且，故， 则. 故选：B. 4．的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 故选：C. 5．函数的最小正周期为，则（     ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】函数的最小正周期为，则，解得. 故选：A. 6．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，是偶函数，在上单调递减，A不是； 对于B，是偶函数，在上单调递增，B是； 对于C，定义域为，不具奇偶性，C不是； 对于D，定义域为，不具奇偶性，D不是. 故选：B 7．要得到函数的图象，只要将函数的图象（   ） A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 C．向左平移 个单位 D．向右平移个单位 【答案】C 【详解】y＝cos2x向左平移个单位得y＝cos2(x＋)＝cos(2x＋1)，选C项． 8．已知角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为角的终边经过点，所以， 所以. 故选：D. 二、填空题 9．已知，则 ． 【答案】 【详解】． 故答案为：． 10．当时，函数取得最大值，则θ的一个取值为 ． 【答案】（答案不唯一，只要满足即可） 【详解】， 当，即时，函数取得最大值， 所以θ的一个取值可以为. 故答案为：.（答案不唯一，只要满足即可） 11．要得到函数的图象，只需将函数的图象向 平移 个单位. 【答案】 右 【详解】， 故要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位. 故答案为:右；. 12．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则 ． 【答案】1 【详解】, 故答案为：1. 13．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则，，，则 . 【答案】 【详解】因为，所以， 在中，由正弦定理可得，又，，， 所以，解得. 故答案为：. 三、解答题 14．在中，角所对的边分别为，已知. (1)若，求角的大小； (2)若，求边上的高. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由正弦定理，，即， 因，故,即是锐角，故； （2） 如图，由余弦定理，， 知角是锐角，则， 作于点，在中，, 即边上的高是. 15．已知向量，，． （1）当时，求向量的坐标； （2）设函数，将函数图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象，当时，求函数的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【详解】解：（1）当时，，， ∴； （2）∵，， ∴， ∵函数图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象， ∴， ∵，∴，∴，∴， ∴的最小值为． $$ 专题05 三角函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 考点预测 · 任意角的三角函数的定义 · 同角三角函数基本关系式：sin2α+cos2α=1、 · 理解两角和与差公式，二倍角公式 · 运用诱导公式进行求值 · 三角函数的图像与性质 · 正弦定理，余弦定理 要点自测 （一）任意角的三角函数 要点 定义 说明 任意角的概念 角是由平面内一条射线绕其端点旋转而成的图形； 分类：①正角：射线按逆时针方向旋转而成的角； ②负角：射线按顺时针方向旋转而成的角； ③零角：当射线没有旋转时，也看成一个角，叫零角； / 终边相同的角 与角α终边相同的角构成的集合是： β={β｜β=α+k·360o，k∈Z} ； 也可表示为α+2kπ，k∈Z 弧度制 弧长等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角 弧度用rad表示 弧度与角度的换算：π弧度= 180°； 弧长公式：l = |α|·r ； 角α为弧度制 扇形面积公式： S扇形 = l r = |α|·r2 ； 任意角的三角函数 定义：设点P(x,y)是角α终边上任意一点，它到原点的距离为r(r=)，那么， sinα= ；cosα= ；tanα= . 符号： 口诀： 一全正、二正弦、 三正切、四余弦 特殊角的三角函数值：见下表 α 0 sinα 0 1 0 -1 0 cosα 1 0 -1 0 1 tanα 0 1 不存在 0 不存在 0 单位圆 在直角坐标系中，以 圆心 为原点，以 1 为半径的圆，叫做单位圆.角α终边与单位圆交于点P(cosα,sinα) 同角三角函数 的基本关系 ①平方关系: sin2α+cos2α=1 ；②商数关系: ； （二）诱导公式 公式 图示 归纳说明 (1)2kπ+型：sin(α+2kπ)=sinα； cos(α+2kπ)=cosα； tan(α+2kπ)=tanα； 2kπ+全正 (2)-α型： sin(-α)=-sinα； cos(-α)=cosα； tan(-α)=-tanα； 负角余弦正 (3)π+型：sin(π+α)=-sinα； cos(π+α)=-cosα； tan(π+α)=tanα； π+正切正 (4)π-型：sin(π-α)=sinα； cos(π-α)=-cosα； tan(π-α)=-tanα； π-正弦正 （三）三角函数的图像与性质 ①正弦函数的图像与性质 函数 y=sinx 图像 五个关键点：(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0) 性质 定义域 R 值域 [-1,1] 当x=+2kπ(k∈Z)时，ymax=1；当x=-+2kπ(k∈Z)时，ymin=-1. 周期性 2π 奇偶性 奇函数 单调性 在[- +2kπ, +2kπ]上为增函数；在[ +2kπ, +2kπ]上为减函数. 正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图像与性质 图像 “五点法”画正弦型函数图像的步骤：①列表；②建系、描点；③平滑曲线成图； ④标识函数解析式. 性质 定义域 R 值域 [-A,A] 周期性 T= ②余弦函数的图像与性质 函数 y=sinx 图像 五个关键点：(0,1),(,0),(π,-1),(,0),(2π,1) 性质 定义域 R 值域 [-1,1] 当x=2kπ(k∈Z)时，ymax=1；当x=-π+2kπ(k∈Z)时，ymin=-1. 周期性 2π 奇偶性 偶函数 单调性 在[-π+2kπ,2kπ]上为增函数；在[2kπ,π+2kπ]上为减函数. （四）和差角公式及二倍角公式 要点 公式 变形 和差角角公式 正弦 ①sin(α+β)= sinαcosβ+cosαsinβ ； ②sin(α-β)= sinαcosβ-cosαsinβ ； / 余弦 ①cos(α+β)= cosαcosβ-sinαsinβ ； ②cos(α-β)= cosαcosβ+sinαsinβ ； / 正切 ①tan(α+β)= ； ②tan(α-β)= ； / 二倍角公式 正弦 sin2α= 2sinαcosα ； sinαcosα=sin2α 余弦 cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α； 降幂公式：sin2α= ； cos2α= ； 正切 tan2α= ； / （五）正弦定理和余弦定理 要点 描述 公式 应用 余弦定理 三角形任何一边长的平方等于其他两边长的平方和减去这两边的长与它们的夹角的余弦乘积的2倍 a2=b2+c2-2bccosA cosA=； b2=a2+c2-2abcosB 或cosB= ； c2=a2+b2-2abcosC cosC= ； (1)已知两边及其夹角，求其他元素； (2)已知三角形三边，求其他元素. 正弦定理 在任何一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比值相等 = = 2R(R为外接圆半径) (1)已知两角和一边，求其他元素； (2)已知两边和其中一边所对的角，求其他元素. 考点突破 考点1 终边相同的角 【例1】下列选项中，与角终边相同的角是（   ） A． B． C．310° D．330° 【突破训练】与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 考点2 三角函数的概念 【例2】已知点在第二象限，则角的终边位置在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【突破训练】已知角的终边上有一点的坐标是，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D． 考点3 同角三角函数的基本关系 【例3】若，，则（   ） A． B． C．2 D． 【突破训练】已知，且为锐角，则（    ） A． B． C． D．1 【例4】若，，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 【突破训练】如果，那么下列不等式成立的是（   ） A．sin<cos <tan B．tan<sin<cos C．cos<sin<tan D．cos<tan<sin 考点4 诱导公式 【例5】若，，则（    ） A． B． C． D．1 【突破训练】若，则（    ） A． B． C．12 D． 考点5 三角函数的图像与性质 【例6】函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【突破训练】下列函数中，最小正周期为且是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【例7】下列函数中，在上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 【突破训练】下列四个函数中，以为最小正周期的奇函数是（    ） A． B． C． D． 【例8】要得到函数的图象，可将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【突破训练】为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【例9】已知函数f(x)＝ (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间上的最大值和最小值． 【突破训练】已知函数， （1）写出函数的周期； （2）将函数图像上所有的点向左平移个单位，得到函数的图像，写出函数的表达式，并判断函数的奇偶性. 考点7 和差角公式及二倍角公式 【例10】（    ） A． B． C． D． 【突破训练】，则（　　） A． B． C． D． 考点8 三角函数恒等变形 【例11】函数的单调递增区间是（    ）． A． B． C． D． 【突破训练】若函数，则可以化简为（    ） A． B． C． D． 考点9 正弦定理与余弦定理 【例12】已知的内角的对边分别为，且， (1)求的大小； (2)若，求的面积． 【突破训练】已知内角的对边分别为，设. (1)求； (2)若的面积为，求的值. 模拟演练 一、单选题 1．若，则点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 2．已知角的顶点在坐标原点，始边在轴非负半轴上，点为角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 3．已知是第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 4．的值为（    ） A． B． C． D． 5．函数的最小正周期为，则（     ）. A．1 B．2 C．3 D．4 6．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 7．要得到函数的图象，只要将函数的图象（   ） A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 C．向左平移 个单位 D．向右平移个单位 8．已知角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知，则 ． 10．当时，函数取得最大值，则θ的一个取值为 ． 11．要得到函数的图象，只需将函数的图象向 平移 个单位. 12．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则 ． 13．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则，，，则 . 三、解答题 14．在中，角所对的边分别为，已知. (1)若，求角的大小； (2)若，求边上的高. 15．已知向量，，． （1）当时，求向量的坐标； （2）设函数，将函数图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象，当时，求函数的最小值． $$