专题04 指数函数与对数函数-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（河北专用）

i 专题04 指数函数与对数函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 · 考点预测 · 指数函数的图像与性质 · 实数指数幂，对数的计算法则 · 对数函数的图像与性质 要点自测 1．根式 (1)n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号 表示． ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数a的正的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号 － 表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 ±． ③负数没有偶次方根． ④0的n(n∈N*)次方根是0，记作 ＝0． (2)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)根式的性质：n为奇数时，＝a；n为偶数时，＝|a|. 2．幂的有关概念及运算 (1)零指数幂：a0＝ .这里a≠0. (2)负整数指数幂：a－n＝ (a≠0，n∈N*)． (3)正分数指数幂：＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (4)负分数指数幂：＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (5)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． (6)有理指数幂的运算性质 ①； ②； ③． 3．指数函数的图象及性质 定义 一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数 图 象 a＞1 0＜a＜1 定义域 值域 性质 过定点( ， ) 在R上是（ ） 在R上是（ ） 4．幂函数 （1）定义：一般地，函数 y＝xα 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． （2）几个常用的幂函数的图象与性质 定义 幂函数y＝xα(α∈R) 图象 α＞0 α＜0 性 质 (1)图象过点( ，)和( ， ) 图象过点( ， ) (2)在第一象限内，函数值随x的增大而增大，即在(0，＋∞)上是增函数 在第一象限内，函数值随x的增大而减小，即在(0，＋∞)上是减函数 (3)在第一象限内，当α＞1时，图象下凸当0＜α＜1时，图象上凸 在第一象限内，图象都下凸 5．对数 (1)对数：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的 ，记作x＝ 其中a叫做对数的 ，N叫做 ． (2)两类重要的对数 ①常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作 ； ②自然对数：以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记作 ． 注：(1)无理数e＝2.718 28…；(2)负数和零没有对数；(3)loga1＝ ，logaa＝ . (3)对数与指数之间的关系: 当a＞0，a≠1时，ax＝N ⇔ x＝ . (4)对数运算的性质: 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0， 那么：①loga(MN)＝ ；②loga＝ ；③logaMn＝ ；一般地，＝ ； (5)换底公式及对数恒等式 ①对数恒等式：＝ ； ②换底公式：logab= (a＞0且a≠1；c＞0且c≠1；b＞0)．特别地，logab＝ . 6．对数函数的图象及性质 定义 一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 定义域 值域 性质 过定点（ ） 在(0，＋∞)上是（ ） 在(0，＋∞)上是（ ） 考点突破 考点1 实数指数幂以及运算 【例1】求值： ． 【突破训练】  = . 考点2 对数的运算 【例2】计算：（    ） A． B． C．0 D．1 【突破训练】（    ） A． B． C． D． 考点3 指数函数的图像与性质 【例4】若函数，则（    ） A． B． C．4 D．8 【突破训练】已知函数，则函数（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【例5】若，则（    ） A． B． C． D． 【突破训练】设，，，则它们的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 考点4 对数函数的图像与性质 【例5】设，，，则（    ） A． B． C． D． 【突破训练】已知，则（    ） A． B． C． D． 【例6】函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【突破训练】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【例7】已知，则的取值范围为 【突破训练】不等式的解集是 . 模拟演练 一、单选题 1．已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 2．下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 3．若函数，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 4．设，，，则（    ） A． B． C． D． 5．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D．2 8．设，，，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 9．计算： ． 10．函数的定义域是 ． 11．已知是定义在上的奇函数， 且当时则 . 12．集合，则集合A中实数x的取值范围为 ． 13．不等式对任意都成立，则实数的取值范围 ． 三、解答题 14．解下列不等式： (1)；(2)． 15．已知指数函数（且）的图象过点． (1)求实数的值； (2)求不等式的解集． 16．求下列各式的值： (1)；(2)． 17．求下列函数的定义域： (1)；(2)． $$i 专题04 指数函数与对数函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 · 考点预测 · 指数函数的图像与性质 · 实数指数幂，对数的计算法则 · 对数函数的图像与性质 要点自测 1．根式 (1)n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号 表示． ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数a的正的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号 － 表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 ±． ③负数没有偶次方根． ④0的n(n∈N*)次方根是0，记作 ＝0． (2)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)根式的性质：n为奇数时，＝a；n为偶数时，＝|a|. 2．幂的有关概念及运算 (1)零指数幂：a0＝1.这里a≠0. (2)负整数指数幂：a－n＝ (a≠0，n∈N*)． (3)正分数指数幂：＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (4)负分数指数幂：＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (5)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． (6)有理指数幂的运算性质 ①； ②； ③． 3．指数函数的图象及性质 定义 一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数 图 象 a＞1 0＜a＜1 定义域 R　 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1) 在R上是增函数 在R上是减函数 4．幂函数 （1）定义：一般地，函数 y＝xα 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． （2）几个常用的幂函数的图象与性质 定义 幂函数y＝xα(α∈R) 图象 α＞0 α＜0 性 质 (1)图象过点(0，0)和(1，1) 图象过点(1，1) (2)在第一象限内，函数值随x的增大而增大，即在(0，＋∞)上是增函数 在第一象限内，函数值随x的增大而减小，即在(0，＋∞)上是减函数 (3)在第一象限内，当α＞1时，图象下凸当0＜α＜1时，图象上凸 在第一象限内，图象都下凸 5．对数 (1)对数：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN.其中a叫做对数的底数，N叫做真数． (2)两类重要的对数 ①常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作lgN； ②自然对数：以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记作lnN． 注：(1)无理数e＝2.718 28…；(2)负数和零没有对数；(iii)loga1＝0，logaa＝1. (3)对数与指数之间的关系: 当a＞0，a≠1时，ax＝N ⇔ x＝logaN. (4)对数运算的性质: 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0， 那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM；一般地，＝ logaM； (5)换底公式及对数恒等式 ①对数恒等式：＝N； ②换底公式：logab＝ (a＞0且a≠1；c＞0且c≠1；b＞0)．特别地，logab＝. 6．对数函数的图象及性质 定义 一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1，0) 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 考点突破 考点1 实数指数幂以及运算 【例1】求值： ． 【答案】 【详解】 故答案为： 【突破训练】  = . 【答案】16 【详解】 故答案为：16 考点2 对数的运算 【例2】计算：（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【详解】 . 故选：D. 【突破训练】（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 故选：D 考点3 指数函数的图像与性质 【例4】若函数，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】C 【详解】因为， 故选：C. 【突破训练】已知函数，则函数（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【详解】，故. 故选：A 【例5】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数是增函数， 所以，即， 又， 所以. 故选：D. 【突破训练】设，，，则它们的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，， 因为在上单调递增，又，所以， 所以， 又在上单调递减，又，所以， 所以. 故选：D. 考点4 对数函数的图像与性质 【例5】设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由指数函数的单调性可知，即， 又，即， 所以. 故选：D. 【突破训练】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，故. 故选：D 【例6】函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域应满足： ,解得且， 所以函数的定义域为. 故选:D. 【突破训练】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，即，即，解得. 所以函数的定义域为. 故选：B. 【例7】已知，则的取值范围为 【答案】 【详解】由，得，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 【突破训练】不等式的解集是 . 【答案】 【详解】由题意知，， 又指数函数在R上单调递增， 所以，解得， 即原不等式的解集为. 故答案为： 模拟演练 一、单选题 1．已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】C 【详解】设且， 将代入得， 解得，所以， 所以. 故选：C 2．下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数、函数与函数在上单调递增， 函数在上单调递减. 故选：C. 3．若函数，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【详解】由题. 故选：D. 4．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，，， 因是增函数，故. 故选：C. 5．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由且. 故选：C 6．下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于ACD，、、是非奇非偶函数，故排除ACD， 对于B，是奇函数且是定义域上的增函数，故B对； 故选：B. 7．已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】因为，故. 故选：C.直 8．设，，，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题，∵单调递增，则； ∵单调递减，则； ∵单调递增，则， ∴ 故选：A 二、填空题 9．计算： ． 【答案】9 【详解】.故答案为：9 10．函数的定义域是 ． 【答案】 【详解】要使函数有意义，当且仅当，解得， 所以函数的定义域是. 故答案为：. 11．已知是定义在上的奇函数， 且当时则 . 【答案】 【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以， 解得，则， 故. 故答案为： 12．集合，则集合A中实数x的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意得， 所以，所以． 即实数x的取值范围为. 故答案为： 13．不等式对任意都成立，则实数的取值范围 ． 【答案】． 【详解】原不等式可化为对恒成立， 令，则，所以， 当时，，所以. 故答案为: . 三、解答题 14．解下列不等式： (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为，所以，解得，所以原不等式的解集为. （2）变形为， 令，则，解得或（舍去）， 即，解得， 所以原不等式的解集为 . 15．已知指数函数（且）的图象过点． (1)求实数的值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）指数函数（且）的图象过点， ，，又且，. （2）由得，， 又函数在上单调递减， ，即， 不等式的解集为. 16．求下列各式的值： (1)；(2)． 【答案】(1)(2)3 【详解】（1）原式． （2）原式． 17．求下列函数的定义域： (1)；(2)． 【答案】(1)且 (2)且 【分析】由对数函数的性质求解即可. 【详解】（1）要使函数式有意义，需，解得且， 故函数的定义域是且． （2）要使函数式有意义，需，解得且． 故函数的定义域是且． $$