专题03 函数-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（河北专用）

专题03 函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 考点预测 · 会求函数的定义域，函数值 · 判断函数的单调性 · 判断函数奇偶性 · 解决函数的实际应用问题 要点自测 1．函数的有关概念 函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 ， 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A的集合叫做函数的定义域 值域 函数值y的集合叫做函数的值域 2．相同函数 一般地，函数的三要素： ，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数． 3．函数定义域、值域、解析式的求法 （1）求定义域的方法：当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑： ①分母不为零；②偶次根号的被开方数、式大于或等于零； ③零次幂的底数不为零； ④对数函数的真数要大于零，以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件. 注意：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示. （2）求函数值域的常用方法：①单调性法；②配方法；③分离常数法；④数形结合法；⑤换元法；⑥不等式法；⑦图象法等. （3）求解析式的常用方法：①待定系数法；②换元法；③方程(组)法等. 4．分段函数 (1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． (3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 5．复合函数 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数． 6．函数的单调性 (1)函数单调性的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I： ①如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是 ． ②如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是 ． (2)单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的 ． (3)函数的最值 最大值：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． 最小值：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥N； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝N．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值． 7．函数的奇偶性 (1)偶函数的定义 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数的定义 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做奇函数． (3)奇、偶函数的图象特征 偶函数的图象关于 对称；奇函数的图象关于 对称． (4)具有奇偶性函数的定义域的特点 具有奇偶性函数的定义域关于 ，即“定义域关于原点对称”是“一个函数具有奇偶性”的 条件． (5)奇、偶函数的“运算”(共同定义域上) 奇±奇＝ ，偶±偶＝ ，奇×奇＝ ，偶×偶＝ ，奇×偶＝ . (6)函数奇偶性与单调性之间的关系 (1)若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为 ； (2)若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为 ． 考点突破 考点1 函数的概念 【例1】下列四组函数中，与表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【突破训练】下列函数与表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 考点2 函数的定义域 【例2】函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【突破训练】函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 考点3 分段函数求值问题 【例3】设函数，则（    ） A．-4 B．-2 C．0 D．2 【突破训练】已知函数，则（   ） A．33 B．34 C．35 D．36 考点4 求函数解析式 【例4】已知二次函数满足，且，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【突破训练】已知一次函数满足，则（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 考点5 函数的性质 【例5】下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D．（，且） 【突破训练】下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【例6】已知函数为奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C．-3 D．3 【突破训练】已知是定义在上的奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 考点6 函数实际应用 【例7】如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米.为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上. （1）设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域； （2）求矩形BNPM面积的最大值. 【突破训练】如图，用长为的铝合金材料做一个如图所示的窗框，其中三个， (1)若，用含有x的式子表示的长，并求出x的取值范围； (2)求窗框的面积y关于x的解析式，并求出面积的最大值． 【例8】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商店决定采取适当降价措施．经调查发现，每件衬衫每降价5元，商场平均每天多售出10件．求： (1)若商场平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ (2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？ 【突破训练】我国是最早发明火箭的国家，制作火箭模型、模拟火箭升空是青少年喜爱的一项科技活动．已知学校航模组设计制作的火箭，它的升空高度与飞行时间满足函数表达式．如果火箭在点火升空到最高点时打开降落伞． (1)求点火后，该火箭的高度是多少？ (2)求火箭点火后多少时间降落伞将打开？这时该火箭的高度是多少？ 模拟演练 一、单选题 1．下列函数与是同一个函数的是（     ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 3．已知函数，且，则（    ） A．3 B． C．17 D． 4．设函数则等于（    ） A．1 B．5 C．2 D． 5．已知函数在上的图像如图，则函数单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 6．下列函数中，在其定义域上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 7．函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 8．下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 9．奇函数满足当，则的值为（    ） A．8 B．5 C．2 D．-1 10．若为偶函数，则（    ） A．0 B．5 C．7 D．9 二、填空题 11．函数的定义域为 . 12．已知函数，则 ． 13．函数 的单调增区间为 . 14．设，若，则 ． 15．若函数，是偶函数，则的值为 ． 三．解答题 16．某汽车清洗店，清洗一辆汽车定价20元时每天能清洗45辆，定价25元时每天能清洗30辆，假设清洗汽车辆数（辆）与定价（元）（取整数）是一次函数关系（清洗每辆汽车成本忽略不计）． (1)求与之间的函数表达式； (2)若清洗一辆汽车定价不低于15元且不超过50元，且该汽车清洗店每天需支付电费、水费和员工工资共计200元，问：定价为多少时，该汽车清洗店每天获利最大？ 17．已知，在中，，两直角边，的和为，设． (1)求的面积关于的函数表达式及的取值范围． (2)当时，求的值． $$ 专题03 函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 考点预测 · 会求函数的定义域，函数值 · 判断函数的单调性 · 判断函数奇偶性 · 解决函数的实际应用问题 要点自测 1．函数的有关概念 函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 ， 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A的集合叫做函数的定义域 值域 函数值y的集合叫做函数的值域 2．相同函数 一般地，函数的三要素：定义域，对应关系与值域，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数． 3．函数定义域、值域、解析式的求法 （1）求定义域的方法：当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑： ①分母不为零；②偶次根号的被开方数、式大于或等于零； ③零次幂的底数不为零； ④对数函数的真数要大于零，以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件. 注意：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示. （2）求函数值域的常用方法：①单调性法；②配方法；③分离常数法；④数形结合法；⑤换元法；⑥不等式法；⑦图象法等. （3）求解析式的常用方法：①待定系数法；②换元法；③方程(组)法等. 4．分段函数 (1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． (3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 5．复合函数 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数． 6．函数的单调性 (1)函数单调性的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I： ①如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数． ②如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数． (2)单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． (3)函数的最值 最大值：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． 最小值：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥N； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝N．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值． 7．函数的奇偶性 (1)偶函数的定义 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数的定义 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． (3)奇、偶函数的图象特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． (4)具有奇偶性函数的定义域的特点 具有奇偶性函数的定义域关于原点对称，即“定义域关于原点对称”是“一个函数具有奇偶性”的 必要不充分条件． (5)奇、偶函数的“运算”(共同定义域上) 奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. (6)函数奇偶性与单调性之间的关系 (1)若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数； (2)若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数． 考点突破 考点1 函数的概念 【例1】下列四组函数中，与表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，对应法则不同，故A错误； 对于B，的定义域分别为，定义域不同，故B错误； 对于C，的定义域分别为，定义域不同，故C错误； 对于D，的定义域均为，且，即对应法则相同，故D正确. 故选：D. 【突破训练】下列函数与表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】易知函数的定义域为，值域为, 对于A，函数的定义域为，不合题意； 对于B，函数的定义域为，值域为,符合题意， 对于C，函数的定义域为，不合题意； 对于D，函数，对应法则不同，不合题意. 故选：B 考点2 函数的定义域 【例2】函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数，则，解得. 则定义域是. 故选：C. 【突破训练】函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】要使函数有意义，必须满足，解得， 所以函数的定义域为. 故选：B. 考点3 分段函数求值问题 【例3】设函数，则（    ） A．-4 B．-2 C．0 D．2 【答案】B 【详解】. 故选：B. 【突破训练】已知函数，则（   ） A．33 B．34 C．35 D．36 【答案】C 【详解】由于， 所以. 故选：C 考点4 求函数解析式 【例4】已知二次函数满足，且，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则， 由，得， 化简得， ，解得 ， 由，得， 故. 故选：A 【突破训练】已知一次函数满足，则（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【详解】设，则由，得， 即，则,得， 则，所以． 故选：B 考点5 函数的性质 【例5】下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D．（，且） 【答案】B 【详解】对于A，是偶函数，故排除； 对于B，在其定义域内既是奇函数又是减函数，故符合； 对于C，是非奇非偶函数，故排除； 对于D，（，且）在定义域内不是减函数，故排除. 故选：B. 【突破训练】下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A. 是偶函数，故错误； B.是奇函数，在定义域上又是减函数，故正确； C. 是偶函数，故错误； D. 是奇函数，在定义域内不单调，故错误； 故选：B 【例6】已知函数为奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C．-3 D．3 【答案】C 【详解】由题意可知，因为函数是奇函数，所以. 故选：C. 【突破训练】已知是定义在上的奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，即. 故选：B. 考点6 函数实际应用 【例7】如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米.为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上. （1）设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域； （2）求矩形BNPM面积的最大值. 【答案】（1）；（2）48. 【详解】解 （1）如图所示，延长NP交AF于点Q， 所以PQ＝8－y，EQ＝x－4. 在中， ，所以. 所以，定义域为. （2）设矩形BNPM的面积为S， 则，开口向下，且对称轴为，则在上单调递增，所以当x＝8时，S取最大值48，所以矩形BNPM面积的最大值为48. 【突破训练】如图，用长为的铝合金材料做一个如图所示的窗框，其中三个， (1)若，用含有x的式子表示的长，并求出x的取值范围； (2)求窗框的面积y关于x的解析式，并求出面积的最大值． 【答案】(1)，(2)，最大面积为 【详解】（1）解：设， ∵∴， ∵则，即∴∴， ∵窗框的周长为∴∴ ∵∴∴， （2）解：依题意， ∴当时，取得最大值 【例8】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商店决定采取适当降价措施．经调查发现，每件衬衫每降价5元，商场平均每天多售出10件．求： (1)若商场平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ (2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？ 【答案】(1)每件衬衫应降价20元； (2)当每件衬衫降价15元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是1250元． （2）用“配方法”即可求出的最大值，即可得到每件衬衫降价多少元． 【详解】（1）解：设每件衬衫降价元，商场平均每天盈利元， 则， 当时，， 解得，， 经检验，，都是原方程的解，但要尽快减少库存， 所以， 答：每件衬衫应降价20元； （2）解：， 当时，的最大值为1250， 答：当每件衬衫降价15元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是1250元． 【突破训练】我国是最早发明火箭的国家，制作火箭模型、模拟火箭升空是青少年喜爱的一项科技活动．已知学校航模组设计制作的火箭，它的升空高度与飞行时间满足函数表达式．如果火箭在点火升空到最高点时打开降落伞． (1)求点火后，该火箭的高度是多少？ (2)求火箭点火后多少时间降落伞将打开？这时该火箭的高度是多少？ 【答案】(1)点火后，该火箭的高度是 (2)火箭点火后时间降落伞将打开，这时该火箭的高度是 【详解】（1）解：当时，； 答：点火后，该火箭的高度是； （2）解：函数配方得：， 由于二次项系数为负， 则当时，火箭达到最高点为，此时降落伞打开； 答：火箭点火后时间降落伞将打开，这时该火箭的高度是． 模拟演练 一、单选题 1．下列函数与是同一个函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为， 对于A，的定义域为，所以与的定义域相同，对应关系相同， 所以函数与函数是同一个函数，故A正确； 对于B，的定义域为，所以与对应关系相同，定义域不同， 所以函数与函数不是同一个函数，故B不正确； 对于C，的定义域为，所以与的定义域相同，对应关系不相同， 所以函数与函数不是同一个函数，故C不正确； 对于D，的定义域为， 所以与对应关系相同，定义域不同， 所以函数与函数不是同一个函数，故D不正确； 故选：A. 2．函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，解得且. 故选：C. 3．已知函数，且，则（    ） A．3 B． C．17 D． 【答案】A 【详解】在中取可得，所以， 故选：A 4．设函数则等于（    ） A．1 B．5 C．2 D． 【答案】C 【详解】由解析式可得：， 所以， 故选：C 5．已知函数在上的图像如图，则函数单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若函数单调递增，则对应图象为上升趋势， 由图可知：的单调递增区间为. 故选：B． 6．下列函数中，在其定义域上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的定义域是，且在上单调递增，A选项错误. 的定义域是，且在上单调递增，B选项错误. 的定义域是，且在、上单调递减，C选项错误. 的定义域是，且在上单调递减，D选项正确. 故选：D 7．函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数是反比例函数，在上单调递减，所以， 所以值域为． 故选：D 8．下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，因为，所以不是偶函数，故A错误； 对于B，，因为，所以是偶函数， 又是二次函数，对称轴为，开口向下，所以函数在上单调递减，故B错误； 对于C，，因为，所以是奇函数，故C错误； 对于D，，因为，所以是偶函数， 又时，，所以在上单调递增，故D正确. 故选：D. 9．奇函数满足当，则的值为（    ） A．8 B．5 C．2 D．-1 【答案】D 【详解】因为，所以， 因为函数是奇函数，所以. 故选：D. 10．若为偶函数，则（    ） A．0 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【详解】由题意， 为偶函数， ∴，， ∴，解得：， 故选：C. 二、填空题 11．函数的定义域为 . 【答案】 【详解】函数的定义域满足： ，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为:. 12．已知函数，则 ． 【答案】 【详解】由， 得， 则， 故答案为：. 13．函数 的单调增区间为 . 【答案】 【详解】由， 解得，二次函数的开口向下，对称轴为， 函数在上单调递增， 根据复合函数单调性同增异减可知，的单调递增区间是. 故答案为： 14．设，若，则 ． 【答案】3 【详解】，则； . 故答案为：3. 15．若函数，是偶函数，则的值为 ． 【答案】2 【详解】因为函数，是偶函数， 所以定义域关于原点对称，所以，解得. 故答案为：. 三．解答题 16．某汽车清洗店，清洗一辆汽车定价20元时每天能清洗45辆，定价25元时每天能清洗30辆，假设清洗汽车辆数（辆）与定价（元）（取整数）是一次函数关系（清洗每辆汽车成本忽略不计）． (1)求与之间的函数表达式； (2)若清洗一辆汽车定价不低于15元且不超过50元，且该汽车清洗店每天需支付电费、水费和员工工资共计200元，问：定价为多少时，该汽车清洗店每天获利最大？ 【答案】(1)(2)17元或18元 【详解】（1）解：依题意，设与的函数关系式为 则：， 解得： 即与的函数关系式为：； （2）解：设利润为元， 则由题意知： ∵ ∴抛物线开口向下 ∵，且是整数 ∴或18 即当定价为17元或18元，汽车清洗店每天获利最大． 17．已知，在中，，两直角边，的和为，设． (1)求的面积关于的函数表达式及的取值范围． (2)当时，求的值． 【答案】(1)，的取值范围是(2)1或 （1）由题意得出，再由三角形面积公式可得，结合，，即可得出的取值范围； （2）当时，，求解即可． 【详解】（1）解：∵两直角边，的和为，设， ∴． 由三角形的面积公式，得，即，       ∵，， ∴， ∴关于的函数表达式是，的取值范围是． （2）解：当时，， 解得或． $$