专题11 概率与计数原理-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（河北专用）

专题11 概率与计数原理 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 考点预测 · 古典概型、概率加法公式 · 计数原理 · 离散型随机变量概率分布 · 二项式定理以及性质 要点自测 （一）概率初步 几个概念 随机事件 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件. 随机事件也称简单事件，不能再分的随机事件称为基本事件. 样本空间 全体基本事件构成的集合叫做随机试验的样本空间 必然事件 在一定条件下必然发生的事件 不可能事件 不可能发生的事件 互斥事件 一次试验中不可能同时发生的两个事件，也叫互不相容事件 对立事件 一次试验中必有一个发生的两个互斥事件 古典概型 古典概型的特点 ①试验的所有可能结果的个数是有限的； ②每个结果出现的概率相同. 古典概率 对于古典概型，如果试验的基本事件的总数为n， 随机事件A包含的基本事件数为m，那么P(A)=_________(m ≤ n). n次独立重复试验 相互独立试验 一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，则称这两个事件为相互独立事件 n次独立重复试验 ①在相同条件下，重复地做n次试验； ②每次试验只有两个可能的结果A和 . n次独立重复试验概率计算 伯努利公式：Pn(k)= p k (1-p) n-k 事件的运算及其计算 (1)事件的“并” “A∪B”表示A、B至少发生一个； 计算：若A、B是互斥事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)； (2)事件的“交” “A∩B”表示A、B同时发生； 计算：P(A∩B)=P(A)·P(B)； (3)事件的“否” 表示A不发生 （二）离散型随机变量及其分布 （1）一般地，当离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，…，xn}时，如果对任意k∈{1，2，…，n}，概率P(X=xk)=pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的. 离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列. X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn （2） 离散型随机变量的分布列必须满足：①pk≥0，k=1，2，…，n；②pk=p1+p2+…+pn=1.； （3）离散型随机变量的均值 … … … … 均值 （三）离散型随机变量的方差的概念 一般地，若离散型随机变量的概率分布列为： … … … … 则称 为随机变量的方差，称为随机变量的标准差. （四）两个计数原理 分类计数原理 如果完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1+m2+…+mn 种不同的方法； 分步计数原理 如果完成一件事，需分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1×m2×…×mn 种不同的方法. （五）排列的概念与计算 排列的概念 一般地，从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列； 如果m＜n，这样的排列叫做选排列；如果m=n，这样的排列叫做全排列. 排列数 从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为. 排列数公式 =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= （m，n是正整数，且m≤n） 特别地，=n！=n(n-1)(n-2)·…·1，并规定0！=1 （六）组合的概念与计算 组合的概念 一般地，从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素，不管怎样的顺序并成一个组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 一个组合 ； 组合数 从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素的组合数的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作； 组合数公式 = = =（m，n是正整数，且m≤n） 规定，=1 组合数的性质 ① =； +=. （七）二项式定理 二项式定理 (a+b)n =anb0 +an-1b1 + an-2b2 +…+ an-mbm +…+ a0bn (n∈N*). 右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式， 其中的系数叫做二项式系数． 二项展开式的 通项公式 Tm+1 = an-mbm （m=0,1,2,…,n） 二项式系数的性质 (1)与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等. 即： =_____， =_____， =_____，…， =_____. (2)二项式系数最大的项. ①n为偶数时，则中间一项(即第项)的二项式系数最大； ②n为奇数时，则中间两项(即第项和第项)的二项式系数最大； (3)所有二项式系数和为2n，即 ++ +…+=2n. (4)奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和， 即 ++ ++…= ++ ++…=2n-1. 考点突破 考点1 概率初步 【例1】从长度为2，4，6，8，10的5条线段中任取3条，这三条线段能够成一个三角形的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】从条线段中任取3条，则有，，，，，，，，，，共10个基本事件； 其中三条线段能够成三角形的基本事件有：，，，共3个； 三条线段能够成一个三角形的概率概率. 故选：B. 【突破训练】从和两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知组成的两位数有：共12个数， 能整除3的有：共4个，所以相应概率为. 故选：B 【例2】从20名学生中随机选出2名学生代表，则甲学生被选中的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出20名学生中随机选出2名学生的方法数，再求出甲学生被选中的方法数，然后利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】从20名学生中随机选出2名学生代表有种方法， 其中“甲学生被选中”有种方法， 所以甲学生被选中的概率是. 故选：A. 【突破训练】将扑克牌4种花色的K，Q共8张洗匀，若甲已抽到了2张K后未放回，则乙抽到2张Q的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用缩小空间的方法，结合古典概率求解即得. 【详解】甲抽到了2张K后未放回，则乙从余下6张牌中任取2张有种方法，抽到2张Q有种方法， 所以乙抽到2张Q的概率为. 故选：B 【例3】已知，是一个随机试验中的两个随机事件，若，，，则事件与事件的关系为（   ） A． B．互斥但不对立 C．互为对立 D．相互独立 【答案】D 【详解】解：，得， 又，故事件与事件相互独立， 故选：D. 【突破训练】事件发生的概率为，事件发生的概率为，若，，，则事件与事件的关系为（   ） A．互斥 B．对立 C．独立 D．包含 【答案】C 【详解】由对立事件的概率公式可得， 因为，即，可得， 所以，，因此，事件与事件独立. 故选：C. 考点2 离散型随机变量X的概率分布 【例4】随机变量的分布列为 1 3 P m 则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，解得， 故选：A 【突破训练】下表是离散型随机变量X的分布列，则常数m的值是（    ） X 21 22 23 24 P m A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得：，解得. 故选：B. 【例5】学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的，已知小明每次投篮投中的概率都是. (1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率； (2)求小明在4次投篮后的总得分的分布列（用列表法表示）. 【答案】(1)(2)分布列见解析 【详解】（1）由题意得小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率为 ； （2）由题意得的可能取值为0，2，4，6，8，则 ，， ， ， ， 所以的分布列为 0 2 4 6 8 【突破训练】将4个形状、大小、颜色都相同的排球随机放入4个编号为且最多容纳4个排球的排球筐内，记编号为2的排球筐内放入的排球个数为． (1)求该排球筐内有球的概率； (2)求的分布列． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）设事件“编号为2的排球筐内有球”为事件A，则，根据古典概型的概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为0，1，2，3，4，求出所对应的概率，即可得到分布列． 【详解】（1）设事件“编号为2的排球筐内有球”为事件A， 则 （2）由题意，的可能取值为0，1，2，3，4， ， , , , ， ∴的分布列为： 0 1 2 3 4 考点3 计数原理 【例6】5名同学分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数为（    ） A．9 B．20 C． D． 【答案】D 【详解】因为每名同学都有4种选择， 所以由分步乘法计数原理可知不同选法的种数为：． 故选：D. 【突破训练】书架上有10 本不同的自然科学图书和9本不同的社会科学图书，甲同学想从中选出1本阅读，则不同的选法共有（   ） A．9种 B．10种 C．19种 D．90种 【答案】C 【详解】由分类加法计数原理知，不同的选法种数为. 故选 C. 【例7】某大学组织学生无偿献血，在一个班级体检合格的学生中，型血有11人，型血有7人，型血有6人，型血有5人． (1)从中任选1名学生去献血，有多少种不同的选法？ (2)从四种血型的学生中各选1名学生去献血，有多少种不同的选法？ 【答案】(1)29(2)2310 【详解】（1）由题意，从中任选1名学生去献血，有种选法. （2）由题意，从四种血型的学生中各选1名学生去献血，有种选法. 【突破训练】现有大小相同的8个球，其中2个标号不同的红球，3个标号不同的白球，3个标号不同的黑球.（结果用数字作答） (1)将这8个球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法？ (2)将这8个球排成一列，黑球不相邻且不排两端，有多少种排列的方法？ (3)若从8个球中任取4个球，则各种颜色的球都被取到的概率为多少？ 【答案】(1)432(2)2880(3) 【详解】（1）把相同颜色的球看成一个整体，故3种不同的颜色的排法有， 2只不同的红球的排列有只不同的白球的排列有只不同的黑球的排列有， 故不同的排列的总数为； （2）先把除黑球外的5只球全排列，共有种， 再把3个黑球插入上述5个球中间的4个空挡，有种， 故共有. （3）从8个球中任取4个球共有， 取4只球，若各种颜色的球都被取到，则必有一种颜色取两个球，其余颜色各取一个， 故不同的取法总数为， 所以各种颜色的球都被取到的概率为. 考点4 二项式定理及其性质 【例8】在的展开式中系数最大的项为 . 【答案】 【详解】的二项展开式的通项为, 其项的系数为，故当为偶数时，项的系数才有可能最大， 当时，项的系数分别为, 故系数最大的项为, 故答案为： 【突破训练】．的展开式中，系数最小的项为第 项. 【答案】四 【详解】因为的展开通项公式为， 由于的存在，只需考虑的情况， 对应的项的系数分别为，，， 所以当时，系数最小，此时该项为第四项. 故答案为：四. 【例9】二项式展开式的各二项式系数之和为32，n= ；该展开式中项的系数为 ． 【答案】 5 -5 【分析】根据二项式系数和为求出，再写出展开式的通项，利用通项计算展开式中项的系数. 【详解】二项式展开式的各二项式系数之和为32，则有，得； 二项式展开式的通项为，且， 令，解得，所以展开式中项的系数为. 故答案为：5；-5. 【突破训练】在的展开式中（其中是正整数），各项的系数和为729，则项的系数为 . 【答案】 【详解】因为二项式的展开式中，各项的系数和为729， 令，可得，解得， 则二项式的展开式中，项的系数为. 故答案为：. 模拟演练 一、单选题 1．某高中开设7门课，3门是田径，某学生从7门中选一门，选到田径的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，从7门中选一门，选到田径的概率为. 故选：C. 2．从2，3，5，7，11这5个素数中，随机选取两个不同的数，其积为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】从2，3，5，7，11这5个素数中，随机选取两个不同的数，共有种选法， 其积为偶数，即两个数中有一个为2，共有4种选法， 所以概率为. 故选：B. 3．一个袋中有6个大小和质地相同的球，其中红球4个，黑球2个，现从中不放回地依次随机摸取2次，每次摸出1个球，则第二次摸出的球是红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】第二次摸出的球是红球的事件有两种情况： 第一次摸到黑球，第二次摸到红球的概率为， 第一次摸到红球，第二次摸到红球的概率为， 所以第二次摸出的球是红球的概率为. 故选：A. 4．装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（    ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】B 【详解】解：设事件=｛装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球｝， 则所以包含的基本事件为：{(红，红)，(红，白)，(红，黑)，(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)}， 事件=｛两球都不是白球｝={(红，红)，(红，黑)，(黑，黑) }； 事件｛两球恰有一个白球｝=｛(红，白)，(白，黑)}， 事件｛两球至少有一个白球｝={(红，白)，(白，白)，(白，黑)}， 事件｛两球都为白球｝=｛(白，白)｝， 由互斥事件及对立事的定义可知事件、事件与均是互斥而非对立的事件. 故选：B 5．现有4个同学站成一排，将甲、乙2个同学加入排列，保持原来4个同学顺序不变，不同的方法共有（    ）种 A．10 B．20 C．30 D．60 【答案】C 【详解】4个同学站成一排有5个空，甲加入排列有5种情况，队列变成5个人有6个空，乙加入排列有6种情况， 由分步计数原理得，共有种不同的方法. 故选：C 6．名同学报名参加跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，则不同的报名方法共有（    ） A．种 B．种 C．7种 D．12种 【答案】B 【详解】第一步，4名同学中第一个同学先选，共有3个项目可选，共有3种方法， 同理第二步、第三步、第四步分别由第二、三、四个同学选，也各有3种方法， 故共有种方法， 故选：B 7．甲，乙两名同学要从A、B、C、D四个科目中每人选取三科进行学习，则两人选取的科目不完全相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】两人选取科目的方法共有种，科目完全相同的方法共有种， 科目不完全相同方法共有12种，故所求概率为. 故选：D. 8．的展开式的第3项的二项式系数为15，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】的展开式的第3项的二项式系数为：， 由，解得或（舍去）． 故选：C 二、填空题 9．随机变量的分布列为 1 2 3 则 . 【答案】/0.5 【详解】由题可得，解得. 故答案为：. 10．在的展开式中，常数项为 .（用数字作答） 【答案】 【详解】由的展开式的通项为， 令，，则， 即在的展开式中，常数项为， 故答案为：. 11．已知二项式的展开式各项系数和等于64，则 . 【答案】 【详解】因为展开式各项系数和等于， 所以，解得， 故答案为：. 12．已知离散型随机变量的分布列为： 1 2 3 m 则 ． 【答案】/ 【详解】由离散型随机变量的分布列的性质，可得，解得， 所以. 故答案为:. 13．同时掷两枚骰子，点数一共有 种可能，掷的点数都是2的可能性是 . 【答案】 36 【详解】同时掷两枚骰子，点数一共有种可能, 掷的点数都是2的可能性是. 故答案为：. 三、解答题 14．现有甲、乙、丙、丁、戊五类不同的书，放入四个窗格的书架中． (1)每个窗格从五类书中选一类放入（书的本数不限），共有多少种放法？ (2)若甲、乙两类书必须放在同一窗格，丙、丁、戊分别放到剩余三个窗格内，共有多少种放法？ 【答案】(1)625(2)24 【详解】（1）第1个窗格，从五类书中任选一类，有5种选法， 同理，第2，3，4个窗格也分别有5种选法， 由分步乘法计数原理可得，共有种放法． （2）先放甲、乙，有4种放法； 再放丙，有3种放法； 然后放丁，有2种放法； 最后放戊，剩1种放法． 由分步乘法计数原理可得，共计种放法． 15．在一个密闭不透明的箱子中有五个浅色球，其中一个球的标号为1，另一个密闭不透明的箱子中有五个深色球，其中两个球的标号为2，3. (1)若在两个箱子中各抽取两个球，求抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率; (2)若在两个箱子中共随机抽取四个球，记其中浅色球的个数为X，求X的分布列. 【答案】(1)(2)分布列见解析 【详解】（1）由题意可得共有（种）不同的抽法， 抽取的四个球中，标号为1，2，或1，3的种数有， 标号为2，3的种数有，抽到1,2,3的种数有， 合计（种）不同的抽法， 所以抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率为. （2）由题意知，的可能取值为0，1，2，3，4. ， ， ， ， 所以的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 16．盒中有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，现从盒中任取两张卡片，记取到偶数的个数为． (1)求； (2)求的分布列． 【答案】(1)(2)分布列见解析 【详解】（1）表示的随机事件是“取到的两张卡片上的数字是一个偶数、一个奇数”， 所以； （2）依题意的可能取值为，，， 则，，， 所以的分布列如下所示： $$ 专题11 概率与计数原理 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 考点预测 · 古典概型、概率加法公式 · 计数原理 · 离散型随机变量概率分布 · 二项式定理以及性质 要点自测 （一）概率初步 几个概念 随机事件 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件. 随机事件也称简单事件，不能再分的随机事件称为基本事件. 样本空间 全体基本事件构成的集合叫做随机试验的样本空间 必然事件 在一定条件下必然发生的事件 不可能事件 不可能发生的事件 互斥事件 一次试验中不可能同时发生的两个事件，也叫互不相容事件 对立事件 一次试验中必有一个发生的两个互斥事件 古典概型 古典概型的特点 ①试验的所有可能结果的个数是有限的； ②每个结果出现的概率相同. 古典概率 对于古典概型，如果试验的基本事件的总数为n， 随机事件A包含的基本事件数为m，那么P(A)=_________(m ≤ n). n次独立重复试验 相互独立试验 一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，则称这两个事件为相互独立事件 n次独立重复试验 ①在相同条件下，重复地做n次试验； ②每次试验只有两个可能的结果A和 . n次独立重复试验概率计算 伯努利公式：Pn(k)= p k (1-p) n-k 事件的运算及其计算 (1)事件的“并” “A∪B”表示A、B ； 计算：若A、B是互斥事件，则P(A∪B)= ； (2)事件的“交” “A∩B”表示A、B ； 计算：P(A∩B)= ； (3)事件的“否” 表示A不发生 （二）离散型随机变量及其分布 （1）一般地，当离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，…，xn}时，如果对任意k∈{1，2，…，n}，概率P(X=xk)=pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的. 离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列. X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn （2） 离散型随机变量的分布列必须满足：①pk≥0，k=1，2，…，n；②pk=p1+p2+…+pn=1.； （3）离散型随机变量的均值 … … … … 均值 （三）离散型随机变量的方差的概念 一般地，若离散型随机变量的概率分布列为： … … … … 则称 为随机变量的方差，称为随机变量的标准差. （四）两个计数原理 分类计数原理 如果完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法； 分步计数原理 如果完成一件事，需分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法. （五）排列的概念与计算 排列的概念 一般地，从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素，按照 排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列； 如果m＜n，这样的排列叫做 ；如果m=n，这样的排列叫做 . 排列数 从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为. 排列数公式 = = （m，n是正整数，且m≤n） 特别地，=n！= ，并规定0！=1 （六）组合的概念与计算 组合的概念 一般地，从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素，不管怎样的顺序并成一个组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 ； 组合数 从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素的组合数的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作； 组合数公式 = = =（m，n是正整数，且m≤n） 规定，=1 组合数的性质 ① =； +=. （七）二项式定理 二项式定理 (a+b)n = . 右边的多项式叫做(a+b)n的 ， 其中的系数叫做二项式系数． 二项展开式的 通项公式 Tm+1 = （m=0,1,2,…,n） 二项式系数的性质 (1)与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等. 即： =_____， =_____， =_____，…， =__ ___. (2)二项式系数最大的项. ①n为偶数时，则中间一项(即第项)的二项式系数最大； ②n为奇数时，则中间两项(即第项和第项)的二项式系数最大； (3)所有二项式系数和为2n，即 ++ +…+=2n. (4)奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和， 即 ++ ++…= . 考点突破 考点1 概率初步 【例1】从长度为2，4，6，8，10的5条线段中任取3条，这三条线段能够成一个三角形的概率（    ） A． B． C． D． 【突破训练】从和两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是（    ） A． B． C． D． 【例2】从20名学生中随机选出2名学生代表，则甲学生被选中的概率是（    ） A． B． C． D． 【突破训练】将扑克牌4种花色的K，Q共8张洗匀，若甲已抽到了2张K后未放回，则乙抽到2张Q的概率为（    ） A． B． C． D． 【例3】已知，是一个随机试验中的两个随机事件，若，，，则事件与事件的关系为（   ） A． B．互斥但不对立 C．互为对立 D．相互独立 【突破训练】事件发生的概率为，事件发生的概率为，若，，，则事件与事件的关系为（   ） A．互斥 B．对立 C．独立 D．包含 考点2 离散型随机变量X的概率分布 【例4】随机变量的分布列为 1 3 P m 则（    ） A． B． C． D． 【突破训练】下表是离散型随机变量X的分布列，则常数m的值是（    ） X 21 22 23 24 P m A． B． C． D． 【例5】学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的，已知小明每次投篮投中的概率都是. (1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率； (2)求小明在4次投篮后的总得分的分布列（用列表法表示）. 【突破训练】将4个形状、大小、颜色都相同的排球随机放入4个编号为且最多容纳4个排球的排球筐内，记编号为2的排球筐内放入的排球个数为． (1)求该排球筐内有球的概率； (2)求的分布列． 考点3 计数原理 【例6】5名同学分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数为（    ） A．9 B．20 C． D． 【突破训练】书架上有10 本不同的自然科学图书和9本不同的社会科学图书，甲同学想从中选出1本阅读，则不同的选法共有（   ） A．9种 B．10种 C．19种 D．90种 【例7】某大学组织学生无偿献血，在一个班级体检合格的学生中，型血有11人，型血有7人，型血有6人，型血有5人． (1)从中任选1名学生去献血，有多少种不同的选法？ (2)从四种血型的学生中各选1名学生去献血，有多少种不同的选法？ 【突破训练】现有大小相同的8个球，其中2个标号不同的红球，3个标号不同的白球，3个标号不同的黑球.（结果用数字作答） (1)将这8个球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法？ (2)将这8个球排成一列，黑球不相邻且不排两端，有多少种排列的方法？ (3)若从8个球中任取4个球，则各种颜色的球都被取到的概率为多少？ 考点4 二项式定理及其性质 【例8】在的展开式中系数最大的项为 . 【突破训练】．的展开式中，系数最小的项为第 项. 【例9】二项式展开式的各二项式系数之和为32，n= ；该展开式中项的系数为 ． 【突破训练】在的展开式中（其中是正整数），各项的系数和为729，则项的系数为 . 模拟演练 一、单选题 1．某高中开设7门课，3门是田径，某学生从7门中选一门，选到田径的概率为（   ） A． B． C． D． 2．从2，3，5，7，11这5个素数中，随机选取两个不同的数，其积为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 3．一个袋中有6个大小和质地相同的球，其中红球4个，黑球2个，现从中不放回地依次随机摸取2次，每次摸出1个球，则第二次摸出的球是红球的概率为（   ） A． B． C． D． 4．装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（    ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 5．现有4个同学站成一排，将甲、乙2个同学加入排列，保持原来4个同学顺序不变，不同的方法共有（    ）种 A．10 B．20 C．30 D．60 6．名同学报名参加跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，则不同的报名方法共有（    ） A．种 B．种 C．7种 D．12种 7．甲，乙两名同学要从A、B、C、D四个科目中每人选取三科进行学习，则两人选取的科目不完全相同的概率为（    ） A． B． C． D． 8．的展开式的第3项的二项式系数为15，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题 9．随机变量的分布列为 1 2 3 则 . 10．在的展开式中，常数项为 .（用数字作答） 11．已知二项式的展开式各项系数和等于64，则 . 12．已知离散型随机变量的分布列为： 1 2 3 m 则 ． 13．同时掷两枚骰子，点数一共有 种可能，掷的点数都是2的可能性是 . 三、解答题 14．现有甲、乙、丙、丁、戊五类不同的书，放入四个窗格的书架中． (1)每个窗格从五类书中选一类放入（书的本数不限），共有多少种放法？ (2)若甲、乙两类书必须放在同一窗格，丙、丁、戊分别放到剩余三个窗格内，共有多少种放法？ 15．在一个密闭不透明的箱子中有五个浅色球，其中一个球的标号为1，另一个密闭不透明的箱子中有五个深色球，其中两个球的标号为2，3. (1)若在两个箱子中各抽取两个球，求抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率; (2)若在两个箱子中共随机抽取四个球，记其中浅色球的个数为X，求X的分布列. 16．盒中有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，现从盒中任取两张卡片，记取到偶数的个数为． (1)求； (2)求的分布列． $$