精品解析：河南省郑州艺术幼儿师范学校2024-2025学年高一上学期期中数学试题

艺术幼师2024-2025学年学上期高一数学期中考试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义直接求得. 【详解】. 故选：C. 2. 三个数，，之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先与1比较大小，再根据指数函数和幂函数单调性确定大小． 【详解】因为，，， 又为上是单调递增函数， 所以，即， 综上. 故选：B． 3. 设函数，则（ ） A. 是奇函数，且在单调递增 B. 是奇函数，且在单调递减 C. 是偶函数，且在单调递增 D. 是偶函数，且在单调递减 【答案】A 【解析】 【详解】根据奇偶函数的定义可判断函数的奇偶性，再根据幂函数的单调性判断即可. 【分析】因为函数定义域为，其关于原点对称， 又， 所以函数为奇函数． 又因为函数在上单调递增，在上单调递增， 而在上单调递减，在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递增． 故选：A． 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分式的分母不为0，以及根式大于等于0联立解不等式即可. 【详解】因为函数为， 所以定义域有，解得， 所以定义域为. 故选:A. 5. 设函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次函数的单调性得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】因为的图象开口向上，对称轴为， 又在区间上是减函数， 所以，解得. 故选：B. 6. 我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用排除法和函数的单调性，渐近线及函数特殊点的值，即可求解． 【详解】对于选项A：当时，，所以与图像相矛盾，故舍去； 对于选项B：当时，函数与图像在时，函数值趋近于无穷矛盾，故舍去； 对于选项C：由于函数的图像的渐近线为，而原图像中的渐近线为或，所以与原图像矛盾，故舍去； 对于选项D：函数的图像的渐近线为或，且单调性与原图像相符， 故选：D． 7. 已知，都是正数，且，则的最小值等于（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】. 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C． 8. 若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的单调性的性质，结合不等式的性质分类求解即可． 【详解】因为是奇函数，在上是增函数，所以在上也是增函数， 因为是奇函数，所以， 当时，由； 当时，由． 所以的解集是或． 故选：D 二、多选题（每小题6分，共18分．全部选对得6分，选对但不全的得3分） 9. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的定义，确保对应关系相同以及定义域和值域相同，即可求解. 【详解】对于选项A：的定义域为，的定义域为，定义域相同，对应关系相同，值域相同，是同一个函数； 对于选项B：的定义域为，的定义域为，定义域相同，对应关系不同，值域不同，不是同一个函数； 对于选项C：的定义域为，的定义域，定义域相同，对应关系也相同，值域相同，是同一个函数； 对于选项D：的定义域为，的定义域为，对应关系不同，值域不同，不是同一个函数． 故选：AC. 10. 下列说法错误的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 命题“”的否定是“” C. “”是“”的必要而不充分条件 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】BC 【解析】 【分析】根据全称命题和特称命题的否定知B错误，A正确，利用充分条件、必要条件的定义判断知C错误，D正确. 【详解】对于A，“”的否定是“”，故A正确； 对于B，“”的否定是“”,故B错误； 对于C，令，满足，但，故C错误； 对于D，关于的方程有一正一负根，则，解得， 故“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确. 故选：BC. 11. 下列说法不正确的是（ ） A. 不等式的解集为 B. 若实数，，满足，则 C. 若，则函数的最小值为2 D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法解不等式，即可判定选项A；根据不等式的性质即可判定选项B；根据代入代数式即可判定选项C；根据不等式恒成立的解法求出的范围，即可判定选项D． 【详解】对A，由，解得或，所以A错误； 对B，由于，对两边同除，得到，所以B正确； 对C，由于，所以，最小值不是,所以C错误； 对D，①当时，不等式为，恒成立； ②当时，若要使不等式恒成立， 则，解得， 所以当时，不等式恒成立， 则的取值范围是，所以D错误； 故选：ACD． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若幂函数的图象经过点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先设幂函数的解析式为，再根据待定系数法求得的值，即可求解. 【详解】由题意得，设幂函数的解析式为， 因为图像经过， 所以，解得， 则，所以. 故答案为：. 13. 若是定义在R上的减函数，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性列出式子，解不等式组即可求解． 【详解】由题意知，分段函数在各分段上递减，且在处左端点不小于右端点， 可得， 解得，所以． 故答案为：. 14. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数奇偶性代入即可解得 【详解】因为当时，， 所以 由于函数为奇函数， 则， 故答案为： 四、解答题（共5题，共77分） 15. （1）已知集合，集合，求：； （2）设集合，，且，求：； （3）求不等式的解集． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）根据交集的概念求解. （2）先解一元一次不等式和一元二次不等式得到集合，再根据交集的结果求解参数. （3）根据一元二次不等式的基本解法求解. 【详解】（1）因为集合，集合， 所以， （2）求解二次不等式可得：， 求解一次不等式可得：， 由于，故：，解得：． （3）因为方程可化为， 方程有两个不等实数根，， 且函数的图象是开口向上的抛物线，所以抛物线与轴有两个交点，分别为和 即可得不等式的解集为或. 16. （1）已知函数，求函数的定义域； （2）已知函数，求函数的值域； （3）画函数的图象，并指出函数的单调区间及在每一个单调区间上的单调性． 【答案】（1）且；（2）；（3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据被开方数大于等于零，分母不为零即可求解. （2）根据函数是二次函数的一部分，因此可画出函数图像并根据定义域进行求解. （3）画出函数的图像，根据图像特征描述单调性即可. 【详解】（1）因为，所以，解得且， 故函数的定义域为且 （2）函数，函数图象如图所示， 所以函数的值域为. （3）函数的图象如图所示， 由图象可知，函数的单调区间为，； 函数在，上都是增函数. 17. 某跨国公司决定将某种智能产品在中国市场投放，已知该产品年固定研发成本30万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润销售收入成本）； （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1） （2）30万台，最大利润为2370万元 【解析】 【分析】（1）根据利润销售收入成本进行求解即可； （2）利用二次函数的性质、基本不等式分类讨论求解即可. 【小问1详解】 当时，年利润 当， 即年利润：. 【小问2详解】 当时，， 所以在上单调递增，所以时，最大利润； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立，此时． 因为，所以，，故当年产量为30万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为2370万元. 18. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示. （1）求的解析式，并补全函数的图象； （2）根据图象写出函数的单调递增区间； （3）根据图象写出使的的取值集合； （4）如果，求的最值. 【答案】（1），答案见解析 （2）， （3）或 （4）； 【解析】 【分析】（1）利用的奇偶性求得解析式，并利用偶函数的性质补全的图象，从而得解； （2）（3）（4）利用的图象可直接得解. 【小问1详解】 因为是定义在上的偶函数，所以， 又当时，， 所以当时，， 故， 所以的解析式为：， 补全函数的图象，如图所示， . 【小问2详解】 由图象可知，函数的单调递增区间为，. 【小问3详解】 由图象可知，使的的取值集合为或. 【小问4详解】 由图象可知，当时， ，. 19. 已知函数 （1）判断的奇偶性并证明． （2）当，且时，判断的单调性并证明； （3）当，且时，若实数满足，求的取值范围． 【答案】（1）奇函数，证明见解析. （2）函数在上单调递增，证明见解析. （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意知函数的定义域为，判断与是否相等即可证明. （2）求函数在上的单调性并证明，可令，且，判断即可证明. （3）先求出函数在上单调性，即可很快求出的取值范围. 【小问1详解】 因为函数的定义域为， 因为， 都有， 且， 所以函数是奇函数． 【小问2详解】 函数在上单调递增． ，且， 则 ， 因为，所以，，， 所以，即， 所以函数在上单调递增． 【小问3详解】 因为在上单调递增，且是奇函数， 所以函数在上单调递增， 所以，解得， 所以的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 艺术幼师2024-2025学年学上期高一数学期中考试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 三个数，，之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 3. 设函数，则（ ） A. 是奇函数，且在单调递增 B. 是奇函数，且在单调递减 C. 是偶函数，且在单调递增 D. 是偶函数，且在单调递减 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 设函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，都是正数，且，则的最小值等于（ ） A. 6 B. C. D. 8. 若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、多选题（每小题6分，共18分．全部选对得6分，选对但不全的得3分） 9. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 下列说法错误的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 命题“”的否定是“” C. “”是“”的必要而不充分条件 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 11. 下列说法不正确的是（ ） A. 不等式的解集为 B. 若实数，，满足，则 C. 若，则函数的最小值为2 D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若幂函数的图象经过点，则________． 13. 若是定义在R上的减函数，则的取值范围是________． 14. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则_________． 四、解答题（共5题，共77分） 15. （1）已知集合，集合，求：； （2）设集合，，且，求：； （3）求不等式的解集． 16. （1）已知函数，求函数的定义域； （2）已知函数，求函数的值域； （3）画函数的图象，并指出函数的单调区间及在每一个单调区间上的单调性． 17. 某跨国公司决定将某种智能产品在中国市场投放，已知该产品年固定研发成本30万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润销售收入成本）； （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润． 18. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示. （1）求的解析式，并补全函数的图象； （2）根据图象写出函数的单调递增区间； （3）根据图象写出使的的取值集合； （4）如果，求的最值. 19. 已知函数 （1）判断的奇偶性并证明． （2）当，且时，判断的单调性并证明； （3）当，且时，若实数满足，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $