2024-2025学年人教版九年级数学上册第三次质量检测练习卷

2024-2025学年 第一学期九年级第三次质量检测练习卷（人教版） 数学试题 一、单选题 1．下列图形是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列二次函数中，图象的形状与二次函数相同的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，内接于，C是的中点，连接、、，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．等腰三角形的两边长分别是方程的两根，则它的周长是（    ） A．10 B．10或8 C．9 D．8 5．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是，那么飞机滑行，着陆后滑行的距离为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，，以点A为圆心，为半径画圆，则点D与的位置关系是（  ）    A．点D在外 B．点D在上 C．点D在内 D．不能确定 7．已知抛物线，当时，y的值随x值的增大而增大，则此抛物线的顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．如图，在的内接正方形中，，以点为圆心，长为半径车弧，得到，则图中阴影部分的面积为（    ） A．1 B． C． D． 二、填空题 9．若关于x的一元二次方程 （m为常数）有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 10．抛物线与轴交点的坐标为 ． 11．若关于的方程是一元二次方程，则的值为 ． 12．如图，内接于，是的直径，若，则的度数为 ．    13．如图，将这个风车图案绕着它的中心点进行旋转，若旋转后与自身重合，则旋转的角度可以是 ． 14．如图，在中，为边上一点，过点B作的垂线并截取，连接周长最小值为 ． 15．阅读材料：如果分别是一元二次方程的两个实数根，则有，；创新应用：如果是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式 ． 16．如图，抛物线与轴交于，两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ． 三、解答题 17．已知关于x的一元二次方程 的两个根与互为倒数，求m 的值． 18．已知抛物线（为常数），求证：无论为何值，抛物线与轴总有两个公共点． 19．如图，已知的三个顶点在格点上，网格上最小的正方形的边长为1．    (1)点A关于原点的对称点坐标为 ，点B关于y轴的对称点坐标为 ． (2)作出与关于y轴对称的图形． (3)求的面积． 20．如图，A、B、C、D是上的四点，连接、、、，．求证：． 21．已知是关于x的二次函数． (1)若函数图象有最低点，求k的值； (2)判断点是否在（1）中的函数图象上． 22．金秋十月，硕果累累．某村猕猴桃今年喜获丰收，该村村委会在网上直播销售，试销发现：同样的品质下，当每箱猕猴桃的售价为60元时，每天可卖出120箱；由于水果不易储存，该村委会决定降价促销，当每箱售价降低1元时，每天的销量增加10箱．已知每箱猕猴桃成本为44元，设每箱猕猴桃降价x元． (1)当x为多少时，该直播间每天销售猕猴桃可获利1800元． (2)设每天销售猕猴桃可获利w元，当x为多少时w最大，并求出最大值． 23．如图，与直线相离，于点A，交于点，过点A作的切线，切点为，连接交直线于点 (1)求证：； (2)若，的半径为，求的长． 24．如图，开口向下的抛物线与x轴交于点、，与轴交于点，点P是第一象限内抛物线上的一点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设点P的横坐标为m，求四边形的面积，并求其最大值． 25．小聪在某公园看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，他对此展开探究；测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面．建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． (1)求此抛物线的解析式； (2)若身高的小聪站在水柱正下方，且距喷水头的水平距离为，判断小聪的头顶是否接触到水柱，若未接触到水柱，求他的头顶上方到水柱的距离． 26．在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．晓晓受此启发设计了一个“连杆机构”，设计图如图1所示，为一根固定长度的连杆，通过一端A在直线l上滑动，使得点B带动绕圆心O转动，当连杆恰好经过圆心O时，如图2所示，此时记与的另一个交点为C，过点B作交直线l于点D，发现恰好平分． (1)求证：直线l与相切； (2)若，，求的半径． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D A A A C A A 1．C 【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此进行判断即可． 【详解】解：A、找不到一点，绕这个点旋转后能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； B、找不到一点，绕这个点旋转后能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； C、能找到一点，绕这个点旋转后能够与原图形重合，故是中心对称图形，符合题意； D、找不到一点，绕这个点旋转后能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2．D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，两个二次函数的二次项系数的绝对值相同时，两个二次函数图象的形状才相同，据此求解即可． 【详解】解：两个二次函数的二次项系数的绝对值相同时，两个二次函数图象的形状才相同， 故选：D． 3．A 【分析】本题考查的是圆周角定理的含义，先证明，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵C是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选A 4．A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、等腰三角形的定义，熟练掌握一元二次方程的应用是解题关键．先利用因式分解法解方程可得等腰三角形的两边长，再根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：， ， 或， 或， ∵等腰三角形的两边长分别是方程的两根， ∴等腰三角形的两边长分别2和4， 当腰长为2时，则这个等腰三角形的三边长分别为2，2和4， 此时，不满足三角形的三边关系，舍去； 当腰长为4时，则这个等腰三角形的三边长分别为2，4和4， 此时，满足三角形的三边关系，它的周长为； 综上，这个等腰三角形的周长为10， 故选：A． 5．A 【分析】本题主要考查二次函数的应用，将函数解析式配方成顶点式，根据顶点坐标的实际意义可得答案． 【详解】解：∵， ∴当时，s取得最大值，最大值为600， ∴飞机着陆后滑行的距离为， 故选：A 6．C 【分析】本题根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，来判断点和圆的位置关系．当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内． 要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，本题可由勾股定理等性质算出点与圆心的距离． 【详解】解：根据勾股定理求得斜边， 则， ∵， ∴点D在内． 故选：C． 7．A 【分析】先计算出抛物线对称轴为直线，再根据抛物线开口向下，得到时，y随x的增大而增大，结合当时，y随x的增大而增大，得到，再根据抛物线的顶点坐标，判断出顶点所在象限． 【详解】解：抛物线的对称轴为， ∵抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴， ∵抛物线的顶点为纵坐标为， ∴顶点坐标为， ∵， ∴， ∴抛物线的顶点在第一象限， 故选：A． 【点睛】本题考查抛物线的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点坐标公式及图象性质． 8．A 【分析】根据图形我们分析可得出阴影部分的面积等于圆的面积的一半加上正方形面积的一半再减去扇形的面积． 【详解】解：连接BD， ∵在的内接四边形是正方形，， ∴ ∴BD是的直径 ∴ ∴的半径为BO=1 ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查的知识点有勾股定理、圆的面积公式、扇形的面积公式，根据图形将求不规则图形面积转化为求我们所熟悉的图形面积是解此题的关键． 9． 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用．一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根； （3）方程没有实数根． 根据根的判别式来求m的取值范围； 【详解】解：． 因为方程有两个不相等的实数根， 所以， 所以． 故答案为：． 10． 【分析】本题主要考查了求二次函数与y轴的交点坐标，求出当时的函数值即可得到答案． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与轴交点的坐标为， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义求解即可，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【详解】 解：由题意，得 ， 解得， 故答案为：3． 12． 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，连接，由是的直径，则，又，最后根据直角三角形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，    ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13．（答案不唯一，的正整数倍即可） 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 【详解】风车绕着它的中心点旋转，若旋转后的风车与自身重合，旋转角可以为， 故答案为：（答案不唯一，的正整数倍即可）． 14． 【分析】本题考查勾股定理，二次函数的性质，三角形的周长等知识． 根据勾股定理可求得，由可将的周长转化为，从而当取最小时，的周长最小，设（），在中，根据勾股定理可以表示出，根据二次函数的性质求得的最小值为16，故的最小值为4，即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， 设（）， 则， ∵， ∴在中，， ∴当，即时，有最小值，为， ∴的最小值为4， ∴周长的最小值为． 故答案为： 15． 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，根据题意，是两个不相等的实数，且满足，，则可将看作是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系求得，，再由得，进而把代数式转化为，整理后代入的值计算即可求解，将看作是一元二次方程的两个实数根是解题的关键． 【详解】解：∵是两个不相等的实数，且满足，， ∴可将看作是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴原式 ， ， ， ， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，三角形中位线定理，勾股定理，圆的基本性质等知识；运用三角形中位线定理是本题的关键和难点． 连接，根据函数解析式，求坐标，然后求出，是线段的中点，是线段的中点，故是的中位线，当、、三点共线，且点在之间时，最大，即可求解． 【详解】解：连接，， ∵抛物线与轴交于、两点， 令即， 解得或， ， ， ∵， ， ， 是线段的中点，是线段的中点， 故是的中位线， ， 最大，即最大， 即、、三点共线，且点在之间时，最大， ， ， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根为与，则有，是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程 的两个根与互为倒数， ∴，即， 解得：． 18．见解析 【分析】求得判别式并分解得到平方与正数的和，得到判别式大于0即可证明． 【详解】证明：∵， ∴无论为何值，抛物线与轴总有两个公共点． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，把抛物线与x轴的交点问题转化为一元二次方程的问题是解题的关键． 19．(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图轴对称变换，三角形的面积． （1）根据轴对称的性质对应点，可得坐标； （2）分别作出，，的对应点，，，依次连接即可． （3）利用割补法计算即可． 【详解】（1）解：点关于原点的对称点坐标为，点关于轴的对称点坐标为， 故答案为：，． （2）解：如图，即为所求作．    （3）解：． 20．见详解 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．根据圆心角、弧、弦之间的关系得出，求出，再根据圆心角、弧、弦之间的关系推出答案即可． 【详解】证明：， ， ∴， ， ． 21．(1) (2)不在 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数的定义，二次函数的性质： （1）根据二次函数的定义可得，则，再由函数有最低点，即二次项系数大于0，据此求解即可； （2）根据（1）所求求出当时的函数值即可得到结论． 【详解】（1）解：∵是关于x的二次函数， ∴， ∴， ∵函数图象有最低点， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得函数解析式为， 当时，， ∴断点不在（1）中的函数图象上． 22．(1)6 (2)x为2时w最大，最大值为1960 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，正确理解题意，列出方程与函数解析式是解题的关键； （1）每箱猕猴桃降价x元，则每天可售出箱，根据每箱的利润与箱数的乘积等于总利润，列出一元二次方程，解之即可； （2）根据题意得w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：每箱猕猴桃降价x元，则每天可售出箱， 由题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）； 答：x为6时，该直播间每天销售猕猴桃可获利1800元． （2）解：由题意得：， 即， 配方得：， 由于二次项系数为负数，则当时，利润最大，最大利润为1960元； 答：x为2时w最大，最大值为1960． 23．(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，正确作出辅助线构造直角三角形是关键． （1）连接，利用切线的性质以及等腰三角形的性质证明，最后利用等角对等边即可证明结论； （2）设,则，在中利用勾股定理即可列方程求得a的值，进而求得的长． 【详解】（1）证明：连接． 是的切线，， ， 又∵， ， ∵， ， ； （2）解：，的半径是， 设，则， 在中，， ，解得：． 过点A作，设，，则，解得：， ， ． 24．(1) (2)，8 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数表达式，解题的关键是能将四边形的面积表示出来． （1）设二次函数表达式为，再将点C代入，求出a值即可； （2）连接，设点P坐标为（m，），，利用得出S关于m的表达式，再求最值即可． 【详解】（1）解：∵、，， 设抛物线表达式为：， 将C代入得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：； （2）连接，设点P坐标为． ∵、，， 可得：，，， ∴ ， ∴当时，面积最大值为8， ∴四边形的面积最大值为8． 25．(1) (2)小聪的头顶未接触到水柱，他的头顶上方到水柱的距离为 【分析】本题考查二次函数的应用， （1）由抛物线顶点可设抛物线的解析式为，将点代入求出的值即可； （2）当时，代入抛物线的解析式求出对应的的值，再和比较即可得出结论； 解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 由题意知点在抛物线的图像上， ∴， 解得：， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）当时，， ∵， ∴小聪的头顶未接触到水柱，他的头顶上方到水柱的距离为． 26．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等： （1）作于点E，根据角平分线的性质定理可得，推出为半径，可得直线l与相切； （2）先证，推出，用勾股定理解求出，设的半径为r，再用勾股定理解即可． 【详解】（1）证明：如图，作于点E， 恰好平分，，， ， 点在上，为半径， 直线l与相切； （2）解：在和中， ， ， ， ，，， ， 设的半径为r， 在中，，， 由勾股定理得，，即， 解得， 即的半径为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$