5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象-2024-2025学年高一上学期必修第一册数学同步学案（自主预习+题型研析+当堂温习+分层练习）（人教2019A版专用）

5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象（人教2019A版专用） 目录 【自主预习】 2 【题型研析】 2 【题型一】正弦函数、余弦函数的图象 2 【题型二】“五点法”作图的应用 3 【题型三】正弦、余弦函数图象的应用 5 【当堂温习】 6 【分层练习】 7 考试要求： 1.能利用三角函数的定义，画y＝sin x，y＝cos x的图象. 2.掌握“五点法”画y＝sin x，y＝cos x的图象的步骤和方法，能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线. 3.理解y＝sin x与y＝cos x图象之间的联系. 素养要求：　 通过利用定义和“五点法”作y＝sin x与y＝cos x的图象，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理和直观想象素养. 自主预习 一、正弦函数的图象 (1)正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线. (2)在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图. 二、余弦函数的图象 (1)将正弦函数y＝sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度，得到余弦函数y＝cos x，x∈R的图象. (2)余弦函数的图象叫做余弦曲线，是“波浪起伏”的连续光滑曲线. 题型研析 【题型一】正弦函数、余弦函数的图象 一、单选题 1．（2024·江西景德镇·一模）函数的零点个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（24-25高三上·广东汕头·期中）函数与的图象的交点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 3．（23-24高一下·陕西·阶段练习）函数图象与直线（为常数）公共点的个数可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（23-24高一上·全国·课后作业）已知，，则的图象（    ） A．与的图象形状相同，位置不同 B．与的图象关于轴对称 C．向右平移个单位长度，得到的图象 D．向左平移个单位长度，得到的图象 三、填空题 5．（23-24高一下·四川泸州·期中）已知函数在有且仅有三个零点，则的取值范围是 . 6．（23-24高二上·浙江杭州·阶段练习）设，若函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围是 . 解题策略： 1.对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到. 2.第(2)题要先明确正弦曲线在[0，2π]上的五个关键点的坐标，再计算两点间的距离. 【题型二】“五点法”作图的应用 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）利用五点法作函数，的简图时，第三个点的坐标是（      ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·陕西宝鸡·阶段练习）用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（    ） A．0，，π，，2π B．0，，，，π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 二、多选题 3．（24-25高一上·全国·课后作业）用“五点法”画的图象时，下列哪个点不是关键点（    ） A． B． C． D． 4．（2023·湖南衡阳·二模）已知集合，则（    ） A． B．若，则 C．若，则 D． 三、填空题 5．（24-25高一上·上海·课前预习）在余弦函数，的图像上，起关键作用的“五点”为 . 6．（24-25高一·全国·课后作业）用“五点法”作函数y＝1－cos x，x∈[0，2π]的图象时，应取的五个关键点分别是 . 解题策略： “五点法”作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0，2π]的图象时，其步骤如下： (1)列表：取x＝0，，π，π，2π； (2)描点：将表中所对应的点(x，y)标在坐标平面内； (3)连线：用平滑的曲线将所描的点连接起来. 在连线过程中要注意曲线的“凸性”. 【题型三】正弦、余弦函数图象的应用 一、单选题 1．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知函数在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河北沧州·期中）已知函数在内恰有两个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一下·广东茂名·期中）函数的图像与直线（为常数）的交点可能有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（22-23高一上·重庆九龙坡·阶段练习）下列命题中真命题是（    ） A．若角的终边在直线上，则 B．若，则 C．函数的单调递增区间是 D．在用“二分法”求函数零点近似值时，第一次所取的区间是，则第三次所取的区间可能是 三、填空题 5．（22-23高一下·江苏盐城·开学考试）已知函数，若关于的方程恰有三个不同的解，则实数的取值范围是 ． 6．（24-25高一·上海·随堂练习）有下列四个命题： ①与的图像关于y轴对称； ②与的图像关于x轴对称； ③与图像相同； ④与图像关于y轴对称． 其中所有正确命题的序号为 ． 解题策略： 1.函数式中含有绝对值符号，首先应去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，并画出函数图象，然后利用数形结合法平移直线y＝k，求得参数的取值范围. 2.作图应准确，要揭示函数的特征，注意端点值是否满足条件. 当堂温习 一、单选题 1．（2021·浙江绍兴·三模）函数的部分图象是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·湖北武汉·阶段练习）函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2023高一上·全国·专题练习）函数与直线（为常数）公共点个数可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 E．4 4．（23-24高一·全国·课后作业）（多选）若函数，的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则（    ） A．当时， B． C． D．所围图形的面积为 三、填空题 5．（2024高三·全国·专题练习）函数的图象与直线的交点的横坐标为 . 6．（23-24高一下·山东威海·阶段练习）方程在区间上解的个数是 ． 分层练习 【基础篇】 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·浙江·阶段练习）函数与的图象的交点个数是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．（23-24高一下·上海·课后作业）若的图像与的图象关于轴对称，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一上·全国·课后作业）（多选）函数与有一个交点，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 6．（23-24高一上·全国·课后作业）下列在(0,2π)上的区间能使cos x＞sin x成立的是（    ） A． B． C． D．∪ 7．（23-24高一下·全国·单元测试）若函数在区间上有2个零点，则的可能取值为（    ） A． B．0 C．3 D．4 三、填空题 8．（22-23高一·全国·课后作业）用“五点法”作出函数，的大致图像，所取的五个点的坐标为 ． 9．（24-25高一上·上海·课后作业）将函数图像上的点向左平移个单位，得到点，若位于函数的图像上，则 ，s的最小值为 . 10．（23-24高一上·江苏·课后作业）余弦函数的图象 （1）为了得到余弦函数的图象，我们可以将的图象向左平移 单位. （2）类似于用“五点法”画正弦函数的图象，我们也可以找出余弦函数相应的五个关键点，它们分别是 ， ， ， ， . 四、解答题 11．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，求角x的解集； （2）已知，求满足条件的角x的集合． 12．（23-24高一下·上海·课后作业）已知函数 （1）作出该函数的图象； （2）若，求的值； （3）若，讨论方程的解的个数． 【能力篇】 一、单选题 1．（23-24高一下·北京·期中）设a是实数，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（23-24高一下·陕西安康·期中）已知函数，若存在实数（）满足，则正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 3．（21-22高一·全国·课后作业）若方程在上有两个不同的实数根，则实数a的取值范围为 ． 四、解答题 4．（22-23高一·全国·随堂练习）在同一平面直角坐标系内画出正弦函数和余弦函数在区间上的图象，并回答下列问题． (1)写出满足的x的值； (2)写出满足的x的取值范围； (3)写出满足的x的取值范围； (4)当时，分别写出满足，，的x值的集合． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象（人教2019A版专用） 目录 【自主预习】 2 【题型研析】 2 【题型一】正弦函数、余弦函数的图象 2 【题型二】“五点法”作图的应用 6 【题型三】正弦、余弦函数图象的应用 9 【当堂温习】 14 【分层练习】 18 考试要求： 1.能利用三角函数的定义，画y＝sin x，y＝cos x的图象. 2.掌握“五点法”画y＝sin x，y＝cos x的图象的步骤和方法，能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线. 3.理解y＝sin x与y＝cos x图象之间的联系. 素养要求：　 通过利用定义和“五点法”作y＝sin x与y＝cos x的图象，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理和直观想象素养. 自主预习 一、正弦函数的图象 (1)正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线. (2)在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图. 二、余弦函数的图象 (1)将正弦函数y＝sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度，得到余弦函数y＝cos x，x∈R的图象. (2)余弦函数的图象叫做余弦曲线，是“波浪起伏”的连续光滑曲线. 题型研析 【题型一】正弦函数、余弦函数的图象 一、单选题 1．（2024·江西景德镇·一模）函数的零点个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（24-25高三上·广东汕头·期中）函数与的图象的交点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 3．（23-24高一下·陕西·阶段练习）函数图象与直线（为常数）公共点的个数可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（23-24高一上·全国·课后作业）已知，，则的图象（    ） A．与的图象形状相同，位置不同 B．与的图象关于轴对称 C．向右平移个单位长度，得到的图象 D．向左平移个单位长度，得到的图象 三、填空题 5．（23-24高一下·四川泸州·期中）已知函数在有且仅有三个零点，则的取值范围是 . 6．（23-24高二上·浙江杭州·阶段练习）设，若函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围是 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 B C ABC ACD 1．B 【分析】将问题转化为求与图象的交点个数，作出两函数的图象，结合图象求解即可. 【详解】令，则有， 要求函数的零点个数， 即求与图象的交点个数， 作出两函数的图象，如图所示： 由此可得函数与图象有6个交点， 所以函数的零点个数为6. 故选：B． 2．C 【分析】画出图象，数形结合即可得出． 【详解】解：画出图象 ，，， 可得与的图象的交点个数为3． 故选：C． 3．ABC 【分析】作出三角函数的图象与直线，数形结合可得. 【详解】如图，作出函数的图象，随直线的变化，公共点的个数可能是. 故选：ABC. 4．ACD 【分析】结合诱导公式变形，利用函数图象平移规律分别判断选择支. 【详解】， ， 选项A，将图象向左移个单位可以得到的图象， 故与的图象形状相同，位置不同，故A选项正确； 选项B，由，且， 故，所以与的图象不关于轴对称， 故B选项错误； 选项C，因为， 所以把余弦曲线向右平移个单位长度，得到正弦曲线， 故C选项正确； 选项D，因为， 把余弦曲线向左平移个单位长度，得到正弦曲线， 故D选项正确. 故选：ACD. 5． 【分析】先求得的范围，然后由正弦函数的性质列出不等式即可得解. 【详解】因为，，所以， 又在有且仅有三个零点， 所以，解得. 故答案为：. 6． 【分析】由题意可得 ，解得可得答案. 【详解】因为函数在上有且仅有2个零点，且当 时， ， 所以 ，解得 . 故答案为： . 解题策略： 1.对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到. 2.第(2)题要先明确正弦曲线在[0，2π]上的五个关键点的坐标，再计算两点间的距离. 【题型二】“五点法”作图的应用 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）利用五点法作函数，的简图时，第三个点的坐标是（      ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·陕西宝鸡·阶段练习）用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（    ） A．0，，π，，2π B．0，，，，π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 二、多选题 3．（24-25高一上·全国·课后作业）用“五点法”画的图象时，下列哪个点不是关键点（    ） A． B． C． D． 4．（2023·湖南衡阳·二模）已知集合，则（    ） A． B．若，则 C．若，则 D． 三、填空题 5．（24-25高一上·上海·课前预习）在余弦函数，的图像上，起关键作用的“五点”为 . 6．（24-25高一·全国·课后作业）用“五点法”作函数y＝1－cos x，x∈[0，2π]的图象时，应取的五个关键点分别是 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C A AD AD 1．C 【分析】先将化为分段函数，按五点法作图列出五点即可. 【详解】， 按五个关键点列表： 0 0 1 0 0 0 3 0 1 0 故第三个点的坐标是， 故选：C. 2．A 【分析】结合“五点法”作图特征，直接求出结论即可. 【详解】函数的最小正周期为， 用“五点法”作的图象，即作函数在上的图象， 所以五个关键点的横坐标为0，，π，，2π. 故选：A 3．AD 【分析】根据五点法作图法即可判断. 【详解】根据五点法5个关键点为，所以AD不是关键点. 故选：AD. 4．AD 【分析】画出和的图象，由此求得，由此对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】分别作出的图象如图， 由图可知， 由于，所以A对， 时，，所以B错 取，但，所以C错， ，故D对． 故选：AD 5．，，，， 【分析】略 【详解】略 6．（0，0），，（π，2），，（2π，0） 【分析】取一个周期内的五个关键点，即分别令，求出对应的纵坐标即可. 【详解】因为y＝1－cos x，x∈[0，2π]，则 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故五个关键点（0，0），，（π，2），，（2π，0） 故答案为：（0，0），，（π，2），，（2π，0）. 解题策略： “五点法”作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0，2π]的图象时，其步骤如下： (1)列表：取x＝0，，π，π，2π； (2)描点：将表中所对应的点(x，y)标在坐标平面内； (3)连线：用平滑的曲线将所描的点连接起来. 在连线过程中要注意曲线的“凸性”. 【题型三】正弦、余弦函数图象的应用 一、单选题 1．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知函数在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河北沧州·期中）已知函数在内恰有两个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一下·广东茂名·期中）函数的图像与直线（为常数）的交点可能有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（22-23高一上·重庆九龙坡·阶段练习）下列命题中真命题是（    ） A．若角的终边在直线上，则 B．若，则 C．函数的单调递增区间是 D．在用“二分法”求函数零点近似值时，第一次所取的区间是，则第三次所取的区间可能是 三、填空题 5．（22-23高一下·江苏盐城·开学考试）已知函数，若关于的方程恰有三个不同的解，则实数的取值范围是 ． 6．（24-25高一·上海·随堂练习）有下列四个命题： ①与的图像关于y轴对称； ②与的图像关于x轴对称； ③与图像相同； ④与图像关于y轴对称． 其中所有正确命题的序号为 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 B D ABD ABD 1．B 【分析】利用三角函数的性质结合整体思想计算即可. 【详解】因为，所以， 令，则方程有2个根， 所以，解得， 则的取值范围是． 故选：B 2．D 【分析】求出在指定区间内相位的范围，再利用余弦函数的性质列式计算即得. 【详解】由，得， 由在内恰有两个零点，得，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 3．ABD 【分析】画出函数，的图象，再利用数形结合判断交点个数. 【详解】首先画出函数，的图象，    当时，有0个交点；当时，有1个交点；当时，有3个交点；当时，有1个交点；当时，有0个交点. 故选：ABD 4．ABD 【分析】根据正切函数的定义可判断A，利用三角函数的图像性质可判断B，根据对数函数的定义域和复合函数的单调性可判断C，利用二分法的定义可判断D. 【详解】对于A，若角的终边在第二象限， 取终边上一点，则， 若角的终边在第四象限， 取终边上一点，则， 综上若角的终边在直线上，则，故A正确； 对于B，由正余弦函数图象的性质可知当，则， 且当，则，所以，故B正确； 对于C，由得或， 所以的定义域为， 因为为二次函数，开口向上， 所以在单调递增， 根据复合函数的单调性可知的增区间为， 故C错误； 对于D，第一次所取的区间是，则第二次取得区间可能为， 第三次取得区间可能为，故D正确. 故选:ABD. 5． 【分析】利用单调性求得方程的解的个数，再对方程的根的分布进行分类讨论，即可求得的取值范围. 【详解】注意到在上递增，相应值域为；在上递增，相应值域为； 在上递减，相应值域为；在上递增，相应值域为. 故方程的解的个数. 若关于的方程仅有一个根（不计重数），则，从而或. 同时根据题目条件，该根必须落入，验证知，都不满足条件； 若关于的方程没有根， 则原方程关于的方程必定无根，不满足条件； 若关于的方程有两个不同的根，则，得. 同时根据题目条件，两根要么分别属于和（不计顺序），要么分别属于和（不计顺序）. 直接解出两根，. 若，则，且. 从而不满足条件. 所以只可能，而，，故. 若两根分别属于和（不计顺序），由于，故这等价于. 由于，，故又等价于，即. 而当，即时，必有，故 . 所以此时条件等价于，即； 若两根分别属于和（不计顺序）， 则或者是方程的根，或者是方程的根. 若是方程的根，代入得，解得，与矛盾； 若是方程的根，代入得，解得. 此时直接计算得，，满足条件. 综上，的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对分类讨论方法的运用，需要做到不重不漏，方可求得正确答案. 6．③④ 【分析】利用正余弦函数的图象与性质可判断结论. 【详解】是偶函数，是奇函数，与的图像不关于y轴对称，①错误； 是偶函数，是保留在轴上方的图像，下方翻折到轴上方， 而是奇函数，与的图像不关于x轴对称，②错误； ，是偶函数等价于；故与图像相同，③正确 是偶函数等价于，与图像关于轴对称，④正确. 故答案为：③④. 解题策略： 1.函数式中含有绝对值符号，首先应去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，并画出函数图象，然后利用数形结合法平移直线y＝k，求得参数的取值范围. 2.作图应准确，要揭示函数的特征，注意端点值是否满足条件. 当堂温习 一、单选题 1．（2021·浙江绍兴·三模）函数的部分图象是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·湖北武汉·阶段练习）函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2023高一上·全国·专题练习）函数与直线（为常数）公共点个数可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 E．4 4．（23-24高一·全国·课后作业）（多选）若函数，的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则（    ） A．当时， B． C． D．所围图形的面积为 三、填空题 5．（2024高三·全国·专题练习）函数的图象与直线的交点的横坐标为 . 6．（23-24高一下·山东威海·阶段练习）方程在区间上解的个数是 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 D B ABC AC 1．D 【分析】先判断的奇偶性，排除A、B；再取特殊值，排除C，即可得到正确答案. 【详解】定义域为R. ∵， ∴为奇函数，其图像关于原点对称，排除A、B； 对于CD，令，解得：，即有三个零点，如图示， 取，有， ∵，∴. 排除C； 故选：D 【点睛】思路点睛：函数图像的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图像． 2．B 【分析】结合题意化简函数的解析式，然后根据解析式作出函数的图象，进而数形结合即可求出结果. 【详解】因为时，，则， 因为时，，则， 故， 作出函数图象：    数形结合即可得到， 故选：B. 3．ABC 【分析】结合正弦函数图象分析求解. 【详解】作出的图象（实线部分）， 所以函数与直线（为常数）公共点个数可能是0，1，2. 故选：ABC. 4．AC 【分析】作出函数图象，利用图象逐个分析判断即可. 【详解】作出函数，的图象，函数，的图象与直线y＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分． 由图可知，当时，，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； 利用图象的对称性，知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，因为OA＝2，，所以，故D错误． 故选：AC． 5．或 【分析】根据特殊角的函数值及，得到方程的解，得到交点横坐标 【详解】令，其中，解得或， 故交点的横坐标为或. 故答案为：或 6．3 【分析】根据和即可求解. 【详解】由可得或， 若，，则， 若，，则或或 综上可得在区间上的解为或或 故解的个数为3， 故答案为：3 分层练习 【基础篇】 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·浙江·阶段练习）函数与的图象的交点个数是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．（23-24高一下·上海·课后作业）若的图像与的图象关于轴对称，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一上·全国·课后作业）（多选）函数与有一个交点，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 6．（23-24高一上·全国·课后作业）下列在(0,2π)上的区间能使cos x＞sin x成立的是（    ） A． B． C． D．∪ 7．（23-24高一下·全国·单元测试）若函数在区间上有2个零点，则的可能取值为（    ） A． B．0 C．3 D．4 三、填空题 8．（22-23高一·全国·课后作业）用“五点法”作出函数，的大致图像，所取的五个点的坐标为 ． 9．（24-25高一上·上海·课后作业）将函数图像上的点向左平移个单位，得到点，若位于函数的图像上，则 ，s的最小值为 . 10．（23-24高一上·江苏·课后作业）余弦函数的图象 （1）为了得到余弦函数的图象，我们可以将的图象向左平移 单位. （2）类似于用“五点法”画正弦函数的图象，我们也可以找出余弦函数相应的五个关键点，它们分别是 ， ， ， ， . 四、解答题 11．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，求角x的解集； （2）已知，求满足条件的角x的集合． 12．（23-24高一下·上海·课后作业）已知函数 （1）作出该函数的图象； （2）若，求的值； （3）若，讨论方程的解的个数． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D C C B BD AC ABD 1．D 【分析】法一种利用函数的奇偶性可排除AB，再由时，，可排除C，得到D正确；法二中由奇函数和偶函数乘积后为奇函数可排除AB；再由时，，可排除C，得到D正确； 【详解】法一： 对于A、B：因为的定义域为， ， 所以为奇函数，其图象关于原点对称，故A，B错误. 对于C、D：当时，，， 所以，所以，故C错误，D正确； 法二： 对于A、B：因为的定义域为， 函数为奇函数，函数为偶函数， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故A、B错误； 对于C、D：当时，，， 所以，所以，故C错误，D正确； 故选：D. 2．C 【分析】根据函数图象即可判断交点个数. 【详解】画出与的图象如图所示： 根据图象可知，交点个数是个. 故选：C. 3．C 【分析】作出两函数在上的图象，结合图象即可得答案. 【详解】时，， 令，得，此时， 令，得，此时， 令，得，此时， 令，得，此时， 时，， 函数的周期， 结合周期，利用五点法作出图象，    由图知，共有4个交点. 故选：. 4．B 【分析】根据、、与的图象特征依次判断即可得到结果. 【详解】对于A，，图象与重合，A错误； 对于B，与图象关于轴对称，与图象关于轴对称，B正确； 对于C，当时，，可知其图象不可能与关于轴对称，C错误； 对于D，将位于轴下方的图象翻折到轴上方，就可以得到的图象，可知其图象与的图象不关于轴对称，D错误. 故选：B. 5．BD 【分析】根据函数图象的交点个数，即可结合图象求解. 【详解】画出的图象. 如图：直线和与的图象只有一个交点，    故或. 故选：BD. 6．AC 【分析】在同一平面直角坐标系中画出正、余弦函数的图象，观察图象可得结果. 【详解】在同一平面直角坐标系中画出正、余弦函数的图象， 在(0,2π)上，当时，或， 结合图象可知，在(0,2π)上的区间能使成立的是和. 故选：AC 7．ABD 【分析】令，可得，作出函数与在区间上的图象，数形结合即可求解. 【详解】令，可得，可知两个函数在区间上的图象有两个交点， 作出函数与在区间上的图象，如图所示：    则或， 解得或， 故的可能取值为，0，4. 故选:ABD. 8．，，，， 【分析】根据“五点法”分别令、、、、求出所对应的函数值，即可得解. 【详解】解：根据“五点法”，令得，令得， 令得，令得， 令得， 所以所取的五个点的坐标分别为，，，，. 故答案为：，，，， 9． / 【分析】将点的横坐标代入，求得，根据坐标的平移可得点的坐标，再将点的坐标代入，结合诱导公式及的范围即可求解. 【详解】将代入，得，则， 将点向左平移个单位得到点，则. 因为位于函数的图像上， 则， 则，，即，， 由得：当时，s的最小值为. 故答案为:；. 10． 【分析】略 【详解】略 11．（1）或；（2）或. 【分析】（1）将看成整体角，结合正弦函数的图象和函数值，即可求得的范围； （2）将方程变形后，把看成整体角，结合余弦函数的图象和函数值，即可求得的范围. 【详解】（1）由题意得， 结合正弦函数在上的图象可得，或， 再利用正弦函数的周期性，可得：或，， 解得或， 故满足条件的角x的集合为或 （2）由变形得，， 结合余弦函数在上的图象可得，或， 再利用余弦函数的周期性，可得：或，， 解得或 故满足条件的角x的集合为或. 12．（1）图见解析；（2）或或；（3）当或时，解的个数为0；当或时，解的个数为1；当时，解的个数为3． 【分析】（1）根据正余弦函数的图象即可画出； （2）讨论的范围根据解析式即可求解； （3）方程的解的个数等价于与的图象的交点个数，结合图象即可得出. 【详解】（1）的函数图象如下： （2）当时，，解得， 当时，，解得或， 综上，或或； （3）方程的解的个数等价于与的图象的交点个数， 则由（1）中函数图象可得， 当或时，解的个数为0； 当或时，解的个数为1； 当时，解的个数为3． 【能力篇】 一、单选题 1．（23-24高一下·北京·期中）设a是实数，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（23-24高一下·陕西安康·期中）已知函数，若存在实数（）满足，则正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 3．（21-22高一·全国·课后作业）若方程在上有两个不同的实数根，则实数a的取值范围为 ． 四、解答题 4．（22-23高一·全国·随堂练习）在同一平面直角坐标系内画出正弦函数和余弦函数在区间上的图象，并回答下列问题． (1)写出满足的x的值； (2)写出满足的x的取值范围； (3)写出满足的x的取值范围； (4)当时，分别写出满足，，的x值的集合． 参考答案： 题号 1 2 答案 A BCD 1．A 【分析】，再利用正弦型函数的最值再结合其最小正周期的公式逐项分析即可. 【详解】，显然， 对A，由图知，根据，则，则，则， 则其最小正周期，其最小值应为，则A中图象满足题意； 对B，显然因为不恒为0，则B错误； 对C，由图知，根据A可知，但图中其最小正周期小于，故矛盾，故C错误； 对D，由图知，则，则， 则其最小正周期，但由图易知其最小正周期大于，故矛盾，则D错误； 故选：A. 2．BCD 【分析】画出的图象，根据图象可得的取值范围，再根据图象的局部对称性可得，且，故可判断各项的正误. 【详解】作出函数的图象，如图： 令，得或或， 由存在实数满足， 得直线与函数的图象有4个不同交点，由图象知，D正确； 由与关于对称，得，B正确； 由，得， 即，则， 整理得，C正确； ，由图象得，于是， 即，因此，A错误. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：分段函数的零点问题，可先刻画其图象，根据图象的性质可得各零点的性质，结合基本不等式等考虑目标代数式的范围等. 3． 【分析】根据题意作图，由函数与方程的关系，可得，进而得到答案. 【详解】作出，与的大致图象，如图所示． 由图象，可知，即，故实数a的取值范围为． 故答案为：. 4．(1)或 (2) (3) (4)详见解析 【分析】在同一坐标系中画出两个函数在上的图象，然后找出满足条件的区间，再根据函数的周期性写出满足条件的集合. 【详解】（1）两函数在同一坐标系中的图象如下： ， 由图象知，在内，当或时，. （2）由图象知，在内，当时，，即x的取值范围是. （3）由图象知，在内，当或时，，即x的取值范围是. （4）当时，由正弦、余弦函数的周期性知： 若，则所求集合为或； 若，则所求集合为； 若，则所求集合为或. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$