4.5.1 函数的零点与方程的解 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5 函数的应用（二） 4.5.1函数的零点与方程的解 教学目标 1、通过二次函数的图像，了解二次函数与一元二次方程的关系，能判断一元二次方程根的存在性及根的个数； 2、了解函数的零点与方程根的联系，能利用函数零点与方程根的关系确定方程根的个数. 3、运用模型思想，发现和提出问题，并能分析和解决问题. 4、在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律. 判断下列方程是否有根，有几个实数根？ 导 函数的图象 与x轴交点 一元二次方程 二次函数 函数的图象 方程的实数根 x1=－1,x2=3 x1=x2=1 无实数根 (-1,0)、(3,0) (1,0) 无交点 x y 0 －1 3 2 1 1 2 －1 －2 －3 －4 . . . . . . . . . . x y 0 －1 3 2 1 1 2 5 4 3 . . . . . y x 0 －1 2 1 1 2 x2－2x+1=0 x2－2x+3=0 y= x2－2x－3 y= x2－2x+1 x2－2x－3=0 y= x2－2x+3 方程的根与函数的零点 △＞0 △=0 △＜0 判别式△=b2－4ac 思 对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。 函数零点的定义： 注意：零点指的是一个实数 数的角度： 形的角度： 函数 的零点就是方程 的根. 函数 的零点就是它的图象与 x 轴交点的横坐标。 y=f(x) f(x)=0 y=f(x) 零点是一个点吗？ 思 零点： 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. 函数的零点是一个点吗？ 问题1: 零点不是一个点，零点指的是一个实数. 问题2: 试归纳函数零点的等价说法？ 方程f (x)=0 有实数根 函数y=f (x) 有零点． 函数y=f (x)的图 象与x轴有交点 议、展、评 观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图象: [－2,1] [2,4] . . . . . x y 0 －1 3 2 1 1 2 －1 －2 －3 －4 －2 4 观察对数函数f(x)=lgx的图象: 怎样的条件下，函数y＝f(x)一定有零点？ 知识探究（二）：函数零点存在定理 ● ● ● ● f(－2)>0 ，f(1)<0，f(－2)·f(1)<0 x＝－1 是 的一个根 f(2)<0 f(4)>0 f(2)·f(4)<0 x＝3是 的另一个根 f(0.5)<0 f(1.5)>0 f(0.5)·f(1.5)<0 x＝1 是 lgx=0的一个根. [0.5 , 1.5] 议、展、评 图象不间断 图象不间断 图象不间断， 函数f(X) 在区间(a,b) 上存在零点. 函数f(X)在区间(a,b)上存在零点 c 零点 c 零点 一般化 议、展、评 如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不间断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0, 那么, 函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点, 即存在c∈(a, b),使f(c)=0, 这个c也就是方程f(x) = 0的根． 零点“存在”定理： 注意①： 零点存在 图像连续与f(a)·f(b)<0 缺一不可 注意②：零点存在定理不可逆用！即函数Y=F(X)在区间(A,B)内有零点 F(A)·F(B)<0。（二次函数一个根） 注意③:零点存在定理只判断是否存在零点，而零点个数不确定。 a b x a b 议、展、评 O y x b a 思考:为什么强调“函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象一条不间断的曲线”？如果函数图象不连续，或者y=f(x)不满足f(a)·f(b) <0，那么零点存在性定理还成立吗？ O y x b a 检 1. 已知函数 的图像是连续不断的，有如下表所对应值： 那么函数 在区间 上的零点至少有_____个。 X 1 2 3 4 5 6 7 f(x) 23 9 -7 11 -5 -12 -26 3 检 2.已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x,f(x) 对应值表： 函数在区间[1,6]上的零点至少有 个 2 1 3.2 2 -1 3 11 4 -2 5 -7 6 课堂练习 4.5 函数的应用（二） 4.5.2用二分法求方程的近似解 思考2：如何最快的缩小零点所在的范围？ 思考1：怎样确定零点的范围？ 取中点，将区间一分为二 零点落在异号间！ y=f(x) f(a)▪f(b)<0 f(x)在(a,b)上有零点 导、思 二分法定义： 思 二分法的实质就是将函数零点所在的区间不断地一分为二，使新得到的区间不断变小，两个端点逐步逼近零点． 次数 区间长度： 1 2 3 4 0.5 所以f(x)的近似解为: 2.5 -0.084 2.5 3 0.25 0.125 0.0625 2.75 0.512 2.625 0.215 0.066 2.5625 2.5 2.75 2 3 由于|2.5625-2.5|=0.0625<0.1 2.5 2.75 问题： 给定精确度0.1，求f(x)=lnx+2x-6零点在(2,3)的近似值. 初始区间（2，3）且f(2)<0,f(3)>0 2.5 2.5 2.625 2.5625 2 2.5625 议、展、评 2：函数 𝑓(𝑥)=ln𝑥+2x-6 在以下哪个区间一定有零点？ A( ,1) B(1,e) C(e,3) D(3,4) 课堂练习 A、(1,2) B、(2,3) C、（-1，0） D、(0,1) 3.函数 的零点所在的大致区间是（ ） 检 课堂小结 用 4.5 函数的应用（二） 4.5.3函数模型的应用 导、思、议 常见函数模型 一次函数模型 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型 回忆一下我们所学常见的函数模型 导、思、议 议、展、评 例5、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天回报比前一天翻一番. 请问你会选择哪种投资方案? 分析：先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据. 解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y=40（x∈N*）进行描述；方案二可以用函数y=10x（x∈N*）进行描述； 方案三可以用函数 进行描述。三个模型中，第一个是常函数，后两个都是增函数。三种方案所得回报的增长情况分析. 检 由表和图可知，从每天所得回报看，在第1-3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5-8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天所得回报已超过2亿元，下面再看累计的回报数，通过信息技术列表（见教材第152页表4.5-6）. 因此，投资1-6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8-10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应选择方案三. 检 例6、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位:万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型： ，其中哪个模型能符合公司的要求? 不妨先画函数图象，通过观察函数图象，得到初步结论. 检 用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下： 这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”）；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题划归为数学问题；通过运算、推理求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题.在这一过程中，往往需要利用信息技术帮忙画图、运算等. 实际问题 函数模型 实际问题的解 函数模型的解 划归 解释说明 运 算 推 理 用 $$