精品解析：江西省会昌中等专业学校2024-2025学年高二（职高班）上学期期中考试数学试题

会昌中等专业学校2024年秋高二上学期期中考试 《数学》试卷 适用班级：23级职高班 一、是非选择题，本大题共10小题，每小题3分，共30分.对每小题的对错做出判断，对的写正确，错的写错误. 1. 零向量记作.（ ） 2. 若，，则是的充分不必要条件.（ ） 3. 是的充要条件.（ ） 4. 单位向量的长度为1.（ ） 5. 若向量，，则.（ ） 6. 若向量，，则 .（ ） 7. 抛物线的焦点在y轴上.（ ） 8. 抛物线的准线是 .（ ） 9. 椭圆的焦距是 .（ ） 10. 当时，∥存在实数，使得 .（ ） 二、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 11. 下列各量中是向量的是（ ） A. 湿度 B. 压强 C. 温度 D. 力 12. 若，，则是的什么条件（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 13. 已知向量 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 14. 设向量 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 15. 已知是椭圆上一点，是该椭圆的两个焦点，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 16. 双曲线的一个焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 17. 椭圆的左、右焦点为、 ，一直线过交椭圆于、，则的周长为（ ） A. B. C. D. 18. 若方程表示的曲线为焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共 6小题，每小题 5 分，共 30 分. 19. 已知 ，则________________. 20. 已知向量，，，则____________. 21. 已知向量，， ，则_______. 22. 椭圆的离心率为_________. 23. 命题“”是“”成立的_______条件. 24. 双曲线焦点到渐近线的距离是________. 四．解答题 ：本大题共6小题，2528小题每小题8分，2930小题每小题9分，共50分.请写出必要的解答过程. 25. 化简： （1） （2） 26. 已知向量 ， ， ，求 27. 焦点在轴上，焦距为，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，求椭圆的标准方程. 28. 焦点为和，虚轴长为6，求双曲线的标准方程. 29. 已知向量 ， . （1）求 ； （2）若 ，求实数t的值. 30. 已知抛物线与双曲线有一个共同的焦点，求： （1）实数的值； （2）双曲线的离心率； （3）双曲线的渐近线方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 会昌中等专业学校2024年秋高二上学期期中考试 《数学》试卷 适用班级：23级职高班 一、是非选择题，本大题共10小题，每小题3分，共30分.对每小题的对错做出判断，对的写正确，错的写错误. 1. 零向量记作.（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据零向量的定义即可求解. 【详解】零向量记作. 故答案为：错误. 2. 若，，则是的充分不必要条件.（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则或，所以是的不充分条件， 若，则，所以是的必要条件， 综上：所以是的必要不充分条件. 故答案为：错误. 3. 是的充要条件.（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据充要条件的概念判断即可. 【详解】当时，， 所以不能推出， 当时，， 所以能推出， 所以是的必要不充分条件，不是充要条件. 故答案为：错误. 4. 单位向量的长度为1.（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】依据单位向量的定义，判断正误. 【详解】单位向量是模长为1的向量，故单位向量的长度一定是1， 故答案为：正确. 5. 若向量，，则.（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据向量相等的传递性即可得出结论. 【详解】因为两个相等的向量具有传递性，且向量，， 所以. 故答案为：正确. 6. 若向量，，则 .（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据向量共线的定理即可判断. 【详解】若为零向量，满足向量，， 此时与不一定平行. 故答案为：错误. 7. 抛物线的焦点在y轴上.（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据抛物线的几何性质即可判断. 【详解】因为抛物线，其焦点为，焦点在轴， 所以抛物线，， 因此其焦点为，焦点在轴. 故答案为：错误. 8. 抛物线的准线是 .（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】利用抛物线的准线方程即可得出答案. 【详解】因为，所以， 所以抛物线的准线是. 故答案为：错误. 9. 椭圆的焦距是 .（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】由椭圆的方程求出椭圆的半长轴长和半短轴长，再根据，求出半焦距，则焦距可求. 【详解】由可知：， 所以，则， 因此椭圆的焦距. 故答案为：正确. 10. 当时，∥存在实数，使得 .（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据向量共线定理即可判断. 【详解】由共线向量的定理可得，当时，， 则存在唯一的实数，使得. 故答案为：错误. 二、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 11. 下列各量中是向量的是（ ） A. 湿度 B. 压强 C. 温度 D. 力 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的定义判断即可. 【详解】向量是既有大小，又有方向的量. 湿度、温度、压强只有大小，没有方向，是标量； 力是既有大小、又有方向，所以力是向量. 故选：. 12. 若，，则是的什么条件（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，判断即可. 【详解】由不能推出，所以是的不充分条件， 由可以推出，所以是的必要条件， 所以是的必要不充分条件. 故选：. 13. 已知向量 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】. 故选：D. 14. 设向量 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量内积的坐标运算求解即可. 【详解】因为向量，， 所以 . 故选：. 15. 已知是椭圆上一点，是该椭圆的两个焦点，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆的标准方程可得半长轴长的值，再结合椭圆的定义计算可得答案. 【详解】由椭圆的标准方程可知，，则，， 由椭圆的定义可得， 所以，. 故选：. 16. 双曲线的一个焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程求解c的值，即可求解焦点坐标. 【详解】由双曲线，可得， 焦点在x轴，所以焦点坐标为. 故选：C. 17. 椭圆的左、右焦点为、 ，一直线过交椭圆于、，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将三角形的周长分解成椭圆上的点到两焦点的距离的和. 【详解】因为椭圆，所以， 因为，， 且的周长， 所以的周长. 故选：B. 18. 若方程表示的曲线为焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆标准方程的特征，求参数的取值范围. 【详解】因为方程表示的曲线为焦点在轴上的椭圆. 所以，解得. 所以实数的取值范围为. 故选：C. 三、填空题：本大题共 6小题，每小题 5 分，共 30 分. 19. 已知 ，则________________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据向量的模的定义求解即可. 【详解】根据向量模的公式，. 故答案为：5. 20. 已知向量，，，则____________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据向量的内积的坐标表示，列方程求解即可. 【详解】已知向量，， 由，可得，解得. 故答案为：3. 21. 已知向量，， ，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】由题意得，，则，解得. 故答案为：. 22. 椭圆的离心率为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据椭圆方程结合离心率公式即可解得. 【详解】由椭圆方程可得， 所以， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 23. 命题“”是“”成立的_______条件. 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合对数函数的单调性判断即可. 【详解】设对数函数， 因为，所以函数在单调递增， 又因为，所以， 所以命题“”是“”成立的充分条件； 当，由于不知道、是否为正数，所以、不一定有意义， 所以命题“”是“”成立的不必要条件， 因此命题“”是“”成立的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 24. 双曲线焦点到渐近线的距离是________. 【答案】 【解析】 【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线距离公式即可得出结论. 【详解】根据题意，双曲线的方程为：，其中， 则，， 所以其焦点坐标为，渐近线方程为：，即， 则焦点到渐近线的距离. 故答案为：. 四．解答题 ：本大题共6小题，2528小题每小题8分，2930小题每小题9分，共50分.请写出必要的解答过程. 25. 化简： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则求解即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 26. 已知向量 ， ， ，求 【答案】6 【解析】 【分析】根据向量内积的基本概念求解即可. 【详解】根据公式. 从而=6. 27. 焦点在轴上，焦距为，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，求椭圆的标准方程. 【答案】. 【解析】 【分析】根据焦点在轴上设出椭圆的标准方程，利用椭圆的性质即可得解. 【详解】因为焦点在轴上，设椭圆的标准方程为， 焦距为，所以，， 所以， 所以椭圆的标准方程为. 28. 焦点为和，虚轴长为6，求双曲线的标准方程. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知双曲线的焦点在轴，半焦距，半虚轴长，再根据求得半实轴长的值，进而可得双曲线的标准方程. 【详解】由双曲线的焦点为和，虚轴长为6可知： 双曲线焦点在轴，， 所以，，则， 因此双曲线的标准方程为：. 29. 已知向量 ， . （1）求 ； （2）若 ，求实数t的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依据向量减法运算得到坐标，计算向量模长； （2）若两向量垂直，则两向量内积为0，写出式子得到答案. 【小问1详解】 已知向量，，可得， . 【小问2详解】 已知向量，，可得， 若， 则，解得. 30. 已知抛物线与双曲线有一个共同的焦点，求： （1）实数的值； （2）双曲线的离心率； （3）双曲线的渐近线方程. 【答案】（1）. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（）求出抛物线的焦点坐标，得出双曲线的一个焦点坐标即可得解. （）由（）可求出双曲线方程结合离心率公式即可得解. （）结合双曲线的渐近线方程即可得解. 【小问1详解】 抛物线焦点在轴正半轴上，且，所以焦点为， 所以双曲线的一个焦点为，则， 解得. 【小问2详解】 由（）可知，双曲线方程为，得出， 离心率. 【小问3详解】 双曲线，，， 所以渐近线方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $