精品解析：重庆市南坪中学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

2024-2025学年上期高一年级期中考试 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上相应的位置. 2.作答时，全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效. 3.考试结束后，只交答题卡，试卷由考生带走. 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若集合,集合,,则 A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，（ ） A. B. C. D. 1 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润（单位：万元）与生产线运转时间（单位：年）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为（ ）年． A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 已知函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，以下关于狄利克雷函数的四个结论中，正确的个数是个. ①函数偶函数； ②函数的值域是； ③若且为有理数，则对任意的恒成立； ④在图象上存在不同的三个点，，，使得为等边角形. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（    ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 若，则 C. 命题“，”是假命题 D. 函数是偶函数，且在上单调递减. 10. 下列选项中正确的有（    ） A. 已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为 B. 与表示同一函数 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 11. 下列命题中正确的是（   ） A. 若，，，则的最大值为 B. 已知，，，则的最小值是 C. 若，则的最小值为4 D. 若，，，则的最小值为 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知集合，若，则实数______ 13. 已知函数，则的单调增区间为____________ 14. 若定义在上的函数同时满足；①为奇函数；②对任意的，，且，都有.则称函数具有性质P.已知函数具有性质P，则不等式的解集为______. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求，，； （2）若，求实数m的取值范围． 16. 已知关于x的不等式的解集为． （1）求m，n的值； （2）正实数a，b满足，求的最小值． 17. 已知幂函数为偶函数． （1）求的解析式； （2）若在上是单调函数，求实数的取值范围． 18. 已知函数. （1）证明：函数是奇函数； （2）用定义证明：函数在上是增函数； （3）若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）证明：，并求函数的值域； （2）已知为非零实数，记函数的最大值为. ①求；②求满足的所有实数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上期高一年级期中考试 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上相应的位置. 2.作答时，全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效. 3.考试结束后，只交答题卡，试卷由考生带走. 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若集合,集合,,则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据补集和并集的定义直接求出即可. 【详解】，. 故选：C. 【点睛】本题考查补集和并集的求法，属于基础题. 2. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】时，一定有，满足充分性， 但时，如，不满足，即不满足必要性， “”是“”的为充分不必要条件． 故选：A． 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取，可判断A选项；利用特殊值法可判断BD选项；利用不等式的基本性质可判断C选项. 【详解】对于A选项，若，则，A错； 对于B选项，取，，，，则，B错； 对于C选项，因为，，由不等式的性质可得，C对； 对于D选项，取，，，，则，D错. 故选：C. 4. 已知函数，（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】直接代入数据计算得到答案. 【详解】，. 故选： 【点睛】本题考查了函数值的计算，意在考查学生的计算能力. 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，即可解得函数的定义域. 【详解】由题意对于，得，解得且，故C正确. 故选：C. 6. 为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润（单位：万元）与生产线运转时间（单位：年）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为（ ）年． A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】表示出平均利润，然后利用基本不等式求最值以及最值的成立条件. 【详解】平均利润为， 当且仅当，即时取最大值. 故选：A. 7. 已知函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知为奇函数，且在内单调递增，根据函数单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】因为的定义域为，且， 可知函数为奇函数， 当，则， 且的开口向上，对称轴为， 可知在内单调递增， 由奇函数性质可知在内单调递增， 所以在内单调递增， 若，则， 可得，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 8. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，以下关于狄利克雷函数的四个结论中，正确的个数是个. ①函数偶函数； ②函数的值域是； ③若且为有理数，则对任意的恒成立； ④在图象上存在不同的三个点，，，使得为等边角形. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】当时，，当时，，函数为偶函数，①正确，函数的值域是，②正确，为有理数，则当时，，当时，，故，③正确，，，构成等边三角形，故④正确，得到答案. 【详解】当时，，当时，，故，函数为偶函数，①正确； 函数的值域是，②正确； 为有理数，则当时，，当时，，故，③正确； ，，，故，，构成等边三角形，故④正确； 故选：D. 【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的理解能力和对于函数性质的灵活运用. 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（    ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 若，则 C. 命题“，”是假命题 D. 函数是偶函数，且在上单调递减. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据命题的否定，命题的充分必要性直接判断各选项，由函数单调性和奇偶性定义判断选项D. 【详解】A选项：命题“，”的否定是“，”，A选项错误； B选项：当时，，B选项正确； C选项：当时，满足，此时，不满足， 所以命题“，”是假命题，C选项正确； D选项：数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，所以是偶函数， 当时，设，则， 所以， 所以在上单调递减，故D正确； 故选：BCD. 10. 下列选项中正确的有（    ） A. 已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为 B. 与表示同一函数 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：利用待定系数法求函数解析式；对于B：根据函数定义域分析判断；对于C：根据题意结合二次函数求值域；对于D：用替换可得，解方程即可. 【详解】对A，设，则， 即，解得或， 所以的解析式可能为，故A正确； 对B，定义域为，定义域为， 两者定义域不同，所以不是同一函数，故B错误； 对于C，因为， 则函数， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的值域为，故C正确. 对于D，因为定义在上的函数满足①， 用替换可得②， 由①+②，得，所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 下列命题中正确的是（   ） A. 若，，，则的最大值为 B. 已知，，，则的最小值是 C. 若，则的最小值为4 D. 若，，，则的最小值为 【答案】CD 【解析】 【分析】由和为定值，求积的最大值，判断选项A；先根据条件换元，再由基本不等式求解选项B；多次利用基本不等式求解选项C；利用基本不等式“1”的妙用求解选项D. 【详解】对于A，，解得，平方得， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为，故A错误； 对于B，由，可得，得， 则， 当且仅当，即，故等号不成立，故B错误； 对于C，， 当且仅当且，即时取等号， 所以的最小值为4，故C正确； 对于D， ， 当且仅当，即时取等号， 所认的最小值为，故D正确. 故选：CD 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知集合，若，则实数______ 【答案】 【解析】 【分析】利用元素与集合的关系，得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为，， 所以或， 当时，，此时，不满足互异性，舍去； 当时，或（舍去），此时，满足题意； 综上，. 故答案为：. 13. 已知函数，则的单调增区间为____________ 【答案】（开闭都对） 【解析】 【分析】将函数改写成分段函数，再画出函数图象，结合函数图象即可判断； 【详解】解：因为函数，作出函数的图象， 如图所示： 由图可知，函数的单调递增区间为； 故答案为：（开闭都对） 14. 若定义在上的函数同时满足；①为奇函数；②对任意的，，且，都有.则称函数具有性质P.已知函数具有性质P，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】不妨设，根据题意，转化为，构造函数，得到函数在上为单调递减函数，且为偶函数，再分和，两种情况讨论，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】因为对任意的，，且，都有， 不妨设，则，可得，则， 构造函数，则，， 所以函数在上为单调递减函数， 又因为为奇函数，所以， 所以函数为上的偶函数， 所以函数在为单调递增函数， 当时，即时，有， 由，可得， 所以，解得，此时无解； 当时，即时，由，可得， 所以，解得或， 综上可得，不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于涉及到函数的综合性质问题的求解问题： 1、若涉及到函数性质的综合应用问题，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定某一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题； 2、若涉及的复合函数的单调性问题时，解答时关键是将函数解析式进行等价转化，再根据函数的性质的有关结论进行判断、求解； 3、若涉及到函数性质的组合型问题，解答的关键是要熟练掌握函数的有关性质，以及一些常用结论，明确它们之间的逻辑关系，提升逻辑推理能力； 4、若涉及的函数的新定义问题，关键是理解新定义函数的概念，根据新定义函数的概念丙挖掘其隐含条件，对比选项结论进行判断分析，得以解决. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求，，； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合交集、并集和补集的定义进行求解即可； （2）根据集合交集的运算性质，结合子集的性质进行求解即可. 【小问1详解】 当时，可得集合，， 所以，. ，. 【小问2详解】 由，可得， ①当时，可得，解得； ②当时，则满足，解得， 综上实数的取值范围是. 16. 已知关于x的不等式的解集为． （1）求m，n的值； （2）正实数a，b满足，求的最小值． 【答案】（1），. （2）9 【解析】 【分析】（1）问题转化为，是方程的两个不同的根求解. （2）根据基本（均值）不等式求和的最小值. 【小问1详解】 由题意：是方程的根，所以. 因为是方程的另外1根，所以 【小问2详解】 由题意：（，） 所以：（当且仅当即时取“”）. 17. 已知幂函数为偶函数． （1）求的解析式； （2）若在上是单调函数，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据函数为幂函数得，从而求出代入解析式检验，进而可求出的解析式； （2）求出的对称轴，然后由在上是单调函数，得或，从而可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 由题意，解得或3， 若是偶函数，代入检验可得，故； 【小问2详解】 ，对称轴是， 若在上是单调函数，则或，解得或． 所以实数的取值范围为或． 18. 已知函数. （1）证明：函数是奇函数； （2）用定义证明：函数在上是增函数； （3）若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明：由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 又由， 所以函数为定义域上的奇函数. （2）证明：当时，， 任取，且， 可得 因为，且，可得，， 所以，即， 所以函数在上是增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义和判定方法，即可可证； （2）根据函数单调性的定义和判定方法，即可得证； （3）根据题意，得到函数为定义域上的奇函数，且为单调递增函数，不等式转化为对于任意实数恒成立，分和，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 因为函数为定义域上的奇函数，且在上是增函数， 所以函数在上也是增函数， 又因为，所以函数在上是增函数， 又由，可得， 因为不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 可得不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 当时，不等式即为恒成立，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，，即实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）证明：，并求函数的值域； （2）已知为非零实数，记函数的最大值为. ①求；②求满足的所有实数. 【答案】（1） 由函数， 得，解得，所以函数的定义域为， 由函数， 得，解得，所以函数的定义域为， 所以， ， 因为，所以，所以， 所以， 又，所以函数的值域为； （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）分别求出两函数的定义域，计算即可得证，再求出函数的值域，从而可得出答案； （2）①由（1）得，令，分，，和四种情况讨论，结合二次函数的最值即可得出答案； （2）求出，再分，，，，和六种情况讨论，从而可得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①由（1）得， 则， 令， 则， 对称轴为， 当时，则， 所以， 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 综上所述，； ②因为， 所以， 当时，，解得（舍去）， 当时，，解得（舍去）， 当时，，解得（舍去）， 当时，， 当时，，解得（舍去）， 当时，，解得（舍去）， 综上，或. 【点睛】本题考查了求含根号函数的值域问题及二次函数的最值问题，考查了分类讨论思想及数据分析能力，解决第二问的关键在于找到讨论的临界点，可以借助数轴的手段来进行讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $