精品解析：浙江省温州市职业中等专业学校2024-2025学年高二上学期期中数学试题

温职专2024学年第一学期数学期期中试卷 （考试时间90分钟，满分100分） 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. “”是“”成立的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，所以或，由得， 所以“”是“”成立的必要不充分条件. 故选： B. 2. 椭圆的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆方程得到的值和焦点位置即可求出焦点坐标. 【详解】由椭圆方程可知， ，，且焦点在轴上， 则，即， 则椭圆的焦点坐标为：. 故选：C. 3. 双曲线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的方程确定焦点位置和c的值即可求解焦点坐标. 【详解】由双曲线方程， 可知双曲线的焦点在x轴上， ， 所以焦点坐标为 . 故选：D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 共线向量是在一条直线上的向量 B. 所有的单位向量都相等 C. 零向量的大小为0，没有方向 D. 两个相反向量的长度相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据共线向量，单位向量，零向量以及相反向量的概念判断即可. 【详解】A选项，共线向量是平行向量，不一定在一条直线上，故A错误， B选项，所有的单位向量模长相等，方向不同，故B错误， C选项，零向量的大小为0，有方向，故C错误， D选项，两个相反向量的长度相等，方向相反，故D正确. 故选：D. 5. 如图所示，在平行四边形中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的加法和数乘运算即可求解. 【详解】因为在平行四边形中，，， 所以. 故选：C. 6. “”是“”的（ ）条件 A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据，但，并结合充要条件的定义可判断结果. 【详解】若，则有，即， 若，则有，解得，即， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 7. 已知向量，且，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，即可求解. 【详解】. 故选：A. 8. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术。一幅形状为椭圆的《全家福》剪纸作品如图所示，其长60cm，，宽52cm，则这个椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的性质可得，长轴，短轴，从而可得，再利用离心率公式可求解. 【详解】由题可知，椭圆的长轴，短轴， 所以，从而， 所以椭圆的离心率. 故选：A 9. 已知方程的图像是椭圆，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由方程表示椭圆的条件即可得解. 【详解】因为为椭圆方程， 则，解得或. 故选：D. 10. 已知向量，，且与共线，则等于（ ） A. B. 3 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示，列方程求解即可. 【详解】已知向量，， 由与共线，可得， 解得， 故选：A. 11. 设动点到的距离减去它到的距离等于4，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，分析动点的轨迹为双曲线的右支，再根据题意得到的值，即可求解. 【详解】依题意可知，，其中，，. 根据双曲线的定义可知，动点的轨迹为焦点在轴上的双曲线的右支， 根据题意得到，，，则，，. 得到双曲线方程为，且. 故选：B. 12. 已知椭圆，过椭圆中心的直线与椭圆交于，两点，为椭圆的上焦点，则的周长取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形的周长以及椭圆的定义，由对称性即可求得. 【详解】设椭圆的下焦点为，由椭圆的对称性可得的周长为 ,因为 为定值，又, 所以的周长的取值范围是. 故选：A. 二、填空题（本大题共7个小题，每小题3分，共21分） 13. 若，点A的坐标为，则点B的坐标为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的运算计算即可. 【详解】因为，点A的坐标为， 所以点B的坐标为. 故答案为：. 14. “”是“”的__________条件. 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值解方程即可求得. 【详解】因为，所以， 所以“”是“”的充分条件； 因为，所以或， 所以“”是“”的不必要条件. 综上所述：“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 15. 到两定点与的距离之差的绝对值等于12的点的轨迹方程________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义易得求出双曲线的标准方程. 【详解】因为到两定点与的距离之差的绝对值等于12的点的轨迹为双曲线， 所以，，焦点在轴上， 所以， 所以轨迹方程为. 故答案为：. 16. 已知向量，，则向量与的夹角为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的夹角公式可求解. 【详解】设向量与的夹角为，由题可知， ， 因为，所以. 故答案为：. 17. 椭圆的离心率是，则m的值是____________. 【答案】3或 【解析】 【分析】由椭圆方程，分别当或时，结合离心率，便能求出m的值. 【详解】由椭圆方程，离心率，所以 当椭圆焦点在x轴上时，则，所以，即， 所以. 当焦点在y轴上时，则， 即，结合， 得，解得. 故答案为：3或. 18. 已知向量，则与同向的单位向量是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出向量的模，再求出单位向量即可解得. 【详解】由题，向量， 则， 则与同向的单位向量为， 故答案为： 19. 已知，是椭圆：的左，右焦点，点为上一点，为坐标原点，为正三角形，则椭圆的离心率为______________. 【答案】## 【解析】 【分析】连接，根据椭圆的定义及正三角形的性质，利用离心率的公式即可得解. 【详解】 如图所示，连接，因为为正三角形，所以， 又因为，，所以在中，， 所以，，， 所以， 所以离心率， 故答案为：. 三、解答题（本大题共6小题，共43分，要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 20. 如图所示，已知正六边形. （1）写出的相等向量； （2）写出的相反向量； （3）写出的共线向量. 【答案】（1）、、 （2）、、、 （3）、、、、、、、、 【解析】 【分析】根据平面向量的相等、相反、共线的定义，观察图形得到答案. 【小问1详解】 两向量相等，则长度、方向都相同， 结合定义，观察图形可得： 的相等向量：、、； 【小问2详解】 两向量相反则长度相同，方向相同， 结合定义，观察图形可得： 的相反向量：、、、； 【小问3详解】 两向量共线则两向量相互平行， 结合定义，观察图形可得： 的共线向量：、、、、、、、、. 21. 求椭圆的长轴长，短轴长，离心率，焦点和顶点坐标. 【答案】长轴长：10，短轴长：8，离心率：，焦点坐标：顶点坐标： 【解析】 【分析】首先将题设中椭圆方程变形为椭圆的标准方程，再结合公式，，即可求解出答案. 【详解】将椭圆方程变形为：， 解得：长轴长为：，短轴长为：， 顶点坐标为：， 焦点坐标为：， 离心率 22. 已知，，，，求： （1）和的坐标； （2）的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标表示即可求解； （2）根据向量线性运算的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 ， ， . 23. 已知椭圆的两个焦点，，A为椭圆上一点，且，的面积为6，求： （1）的周长； （2）此椭圆的标准方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理得到，再根据面积为，即可求解. （2）根据椭圆的定义得到，即可求解. 【小问1详解】 因为椭圆的两个焦点，，所以，， 又， 所以， 又，所以， 即，得到， 所以的周长为. 【小问2详解】 根据椭圆的定义有，所以， 即， 又椭圆焦点在轴上， 所以椭圆的标准方程为. 24. 如图所示，已知，是线段的三等分点，是线段外任意一点.设，，试用和表示，，. 【答案】 【解析】 【分析】利用共线向量定理、向量数乘和向量的加减法运算即可求得. 【详解】； 因为，是线段的三等分点，所以； . 25. 已知椭圆长轴长为14，一个焦点为，点M在椭圆上，且，求 （1）椭圆的标准方程； （2）面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的焦点坐标及椭圆的定义可得，，据此可求解. （2）根据椭圆的定义列出方程，求出的边长即可求解. 【小问1详解】 由题意得：，，焦点在轴上， ∴，∴ ∴椭圆的标准方程为 【小问2详解】 ∵，且 ∴， ∵，∴为直角三角形. ∴面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 温职专2024学年第一学期数学期期中试卷 （考试时间90分钟，满分100分） 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. “”是“”成立的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 2. 椭圆的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 共线向量是在一条直线上的向量 B. 所有的单位向量都相等 C. 零向量的大小为0，没有方向 D. 两个相反向量的长度相等 5. 如图所示，在平行四边形中，，，则（ ） A. B. C. D. 6. “”是“”的（ ）条件 A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充要 D. 既不充分也不必要 7. 已知向量，且，，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术。一幅形状为椭圆的《全家福》剪纸作品如图所示，其长60cm，，宽52cm，则这个椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 9. 已知方程的图像是椭圆，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 10. 已知向量，，且与共线，则等于（ ） A. B. 3 C. 1 D. 11. 设动点到的距离减去它到的距离等于4，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 12. 已知椭圆，过椭圆中心的直线与椭圆交于，两点，为椭圆的上焦点，则的周长取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共7个小题，每小题3分，共21分） 13. 若，点A的坐标为，则点B的坐标为_________. 14. “”是“”的__________条件. 15. 到两定点与的距离之差的绝对值等于12的点的轨迹方程________. 16. 已知向量，，则向量与的夹角为_________. 17. 椭圆的离心率是，则m的值是____________. 18. 已知向量，则与同向的单位向量是____________． 19. 已知，是椭圆：的左，右焦点，点为上一点，为坐标原点，为正三角形，则椭圆的离心率为______________. 三、解答题（本大题共6小题，共43分，要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 20. 如图所示，已知正六边形. （1）写出的相等向量； （2）写出的相反向量； （3）写出的共线向量. 21. 求椭圆的长轴长，短轴长，离心率，焦点和顶点坐标. 22. 已知，，，，求： （1）和的坐标； （2）的坐标. 23. 已知椭圆的两个焦点，，A为椭圆上一点，且，的面积为6，求： （1）的周长； （2）此椭圆的标准方程． 24. 如图所示，已知，是线段的三等分点，是线段外任意一点.设，，试用和表示，，. 25. 已知椭圆长轴长为14，一个焦点为，点M在椭圆上，且，求 （1）椭圆的标准方程； （2）面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $