专题03 函数性质的综合应用（十大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高三数学上学期期末真题分类汇编（北京专用）

专题03 函数性质的综合应用 函数的定义域与值域 1．（23-24高三上·北京东城·期末）函数的定义域为 . 2．（22-23高三上·北京丰台·期末）函数的定义域是 ． 3．（22-23高三上·北京房山·期末）函数的定义域是 . 4．（22-23高三上·北京石景山·期末）函数的定义域为 ． 5．（23-24高三上·北京丰台·期末）已知，则 ． 6．（21-22高三·北京·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·北京西城·期末）已知函数，则的定义域是 ；的最小值是 . 函数的单调性 8．（23-24高三上·北京顺义·期末）已知在上单调递减，且，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高三上·北京昌平·期末）设函数的定义域为，则“”是“为减函数”的（    ） A．充分必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（23-24高三上·北京昌平·期末）下列函数中，在区间上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 11．（21-22高三上·北京门头沟·期末）下列函数中，在为增函数的是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高三上·北京昌平·期末）若函数在定义域上不是单调函数，则实数的一个取值可以为 ． 13．（22-23高三上·北京西城·期末）设函数若,则的单调递增区间是 ;若的值域为,则的取值范围是 ． 最值与范围问题 14．（23-24高三上·北京通州·期末）已知函数，实数满足.若对任意的，总有不等式成立，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D．6 15．（22-23高三上·北京西城·期末）在中，．P为边上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高三上·北京东城·期末）已知线段的长度为是线段上的动点（不与端点重合）.点在圆心为，半径为的圆上，且不共线，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 17．（23-24高三上·北京东城·期末）设函数 ①若，则的最小值为 . ②若有最小值，则实数的取值范围是 . 18．（22-23高三上·北京通州·期末）已知函数，若函数存在最大值，则的取值范围为 . 19．（22-23高三上·北京房山·期末）若函数存在最小值，则的一个取值为 ；的最大值为 . 比较大小 20．（23-24高三上·北京顺义·期末）设，，，则（    ） A． B． C． D． 21．（22-23高三上·北京海淀·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 22．（22-23高三上·北京海淀·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高三上·北京朝阳·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 24．（22-23高三上·北京东城·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 25．（22-23高三上·北京西城·期末）设，且，则（    ） A． B． C． D． 函数的图像 26．（23-24高三上·北京东城·期末）一粒子在平面上运动的轨迹为抛物线的一部分，在该平面上建立直角坐标系后，该粒子的运动轨迹如图所示.在时刻，粒子从点出发，沿着轨迹曲线运动到，再沿着轨迹曲线途经点运动到，之后便沿着轨迹曲线在，两点之间循环往复运动.设该粒子在时刻的位置对应点，则坐标，随时间变化的图象可能是（   ）    A．   B． C．   D．   27．（23-24高三上·北京丰台·期末）如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 函数的奇偶性 28．（23-24高三上·北京通州·期末）下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 29．（22-23高三上·北京海淀·期末）下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 30．（22-23高三上·北京丰台·期末）下列函数是偶函数，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 31．（22-23高三上·北京昌平·期末）下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函数的是（    ） A． B． C． D． 32．（22-23高三上·北京·期末）已知函数过原点，下列函数中，与的奇偶性相同且在上有相同单调性的是（    ） A． B． C． D． 33．（22-23高三上·北京东城·期末）在下列函数中，为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高三上·北京石景山·期末）设函数，则是（    ） A．偶函数，且在区间单调递增 B．奇函数，且在区间单调递减 C．偶函数，且在区间单调递增 D．奇函数，且在区间单调递减 35．（23-24高三上·北京顺义·期末）已知函数在上是奇函数，当时，，则 . 36．（22-23高三上·北京朝阳·期中）已知为定义在上的函数，，且为奇函数，则（    ） A． B． C．0 D．2 函数的周期性与对称性 37．（21-22高三上·北京海淀·期末）已知函数的值域为，的图象向右平移1个单位后所得的函数图象与的图象重合，写出符合上述条件的一个函数的解析式： . 38．（23-24高三上·北京西城·期末）已知函数，则（    ） A．在上是减函数，且曲线存在对称轴 B．在上是减函数，且曲线存在对称中心 C．在上是增函数，且曲线存在对称轴 D．在上是增函数，且曲线存在对称中心 39．（23-24高三上·北京海淀·期末）已知函数.给出下列四个结论：①任意，函数的最大值与最小值的差为2；②存在，使得对任意，；③当时，对任意非零实数，；④当时，存在，，使得对任意，都有.其中所有正确结论的序号是 . 40．（23-24高三上·北京大兴·期末）设函数的定义域为，且满足如下性质：（i）若将的图象向左平移2个单位，则所得的图象关于轴对称，（ii）若将图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位，则所得的图象关于原点对称.给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④. 其中所有正确结论的序号是 . 41．（21-22高三上·北京门头沟·期末）已知函数为奇函数，且，当时，，给出下列四个结论： ①图像关于对称   ②图像关于直线对称 ③ ④在区间单调递减 其中所有正确结论的序号是 初等函数问题 42．（23-24高三上·北京通州·期末）已知函数，则 . 43．（23-24高三上·北京石景山·期末）设函数，则（    ） A． B． C． D． 44．（23-24高三上·北京大兴·期末）已知且，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 45．（23-24高三上·北京大兴·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 46．（21-22高三上·北京朝阳·期末）设函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 47．（22-23高三上·北京丰台·期末）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 48．（22-23高三上·北京房山·期末）已知函数，则（    ） A．图象关于原点对称，且在上是增函数 B．图象关于原点对称，且在上是减函数 C．图象关于轴对称，且在上是增函数 D．图象关于轴对称，且在上是减函数 49．（22-23高三上·北京海淀·期末）已知函数，若，则实数的取值范围是 . 50．（21-22高三上·北京石景山·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 51．（21-22高三上·北京房山·期末）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为.下列说法中正确的是（    ） A．第5个月时，浮萍面积就会超过 B．浮萍面积每月的增长率不相等 C．浮萍每月增加的面积都相等 D．若浮萍面积为，，时所对应的时间分别是，则 52．（21-22高三上·北京海淀·期末）已知函数，.若对于图象上的任意一点，在的图象上总存在一点，满足，且.则实数（    ） A． B． C．2 D．4 函数的零点问题 53．（22-23高三上·北京朝阳·期末）函数的零点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 54．（22-23高三上·北京海淀·期末）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 55．（23-24高三上·北京朝阳·期末）设函数的定义域为，则“”是“在区间内有且仅有一个零点”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 56．（23-24高三上·北京海淀·期末）若关于的方程（且）有实数解，则的值可以为（    ） A．10 B． C．2 D． 57．（21-22高三上·北京昌平·期末）若函数 恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 58．（21-22高三上·北京丰台·期末）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 59．（22-23高三上·北京大兴·期末）已知函数若，则函数的值域为 ；若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是 . 60．（21-22高三上·北京房山·期末）设函数 给出下列四个结论： ①函数的值域是； ②对，方程都有3个实数根； ③，使得； ④若互不相等的实数满足，则的取值范围是. 其中所有正确结论的序号是 . 函数模型的应用 61．（23-24高三上·北京房山·期末）保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫米/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为，其中为常数，，为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 62．（22-23高三上·北京西城·期末）“空气质量指数（）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为（    ） A．5小时 B．6小时 C．7小时 D．8小时 63．（22-23高三上·北京石景山·期末）中国茶文化博大精深．茶水口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．已知室内的温度为，设茶水温度从开始，经过x分钟后的温度为．y与x的函数关系式近似表示为，那么在室温下，由此估计，刚泡好的茶水大约需要放置多少分钟才能达到最佳口感（参考数据：）（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 64．（22-23高三上·北京石景山·期末）植物研究者在研究某种植物1-5年内的植株高度时，将得到的数据用下图直观表示.现要根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在1-5年内的生长规律，下列函数模型中符合要求的是（ ） A．(且 ) B．(，且 ) C． D． 65．（22-23高三上·北京房山·期末）某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户.如果教师用户人数与天数之间满足关系式：，其中为常数，是刚发布时的教师用户人数，则教师用户超过20000名至少经过的天数为（    ）（参考数据：） A．9 B．10 C．11 D．12 66．（21-22高三上·北京密云·期末）心理学家有时使用函数来测定在时间内能够记忆的量，其中A表示需要记忆的量，表示记忆率．假设一个学生有200个单词要记忆，心理学家测定在5min内该学生记忆20个单词．则记忆率所在区间为（    ） A． B． C． D． 67．（21-22高三·北京·期末）按照“碳达峰”､“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：），放电时间t（单位：）与放电电流I（单位：）之间关系的经验公式：，其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.则该蓄电池的Peukert常数n大约为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D．2 68．（21-22高三上·北京丰台·期末）声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：）． 人在正常说话时，声强级大约在40~60 dB之间，声强级超过60 dB的声音会对人的神经系统造成不同程度的伤害．给出下列四个声强，其声强级在40~60 dB之间的是（    ） A． B． C． D． 69．（21-22高三上·北京朝阳·期末）某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可使水中杂质减少50%．若杂质减少到原来的10%以下，则至少需要过滤（    ）（参考数据：） A．2次 B．3次 C．4次 D．5次 1．（22-23高三上·北京朝阳·期末）2022年10月31日，长征五号B遥四运载火箭带着中华民族千百年来探索浩瀚宇宙的梦想，将中国空间站梦天实验舱准确送入预定轨道在不考虑空气阻力的条件下，若火箭的最大速度v（单位：）和燃料的质量M（单位：t）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：t）的关系满足，M，m，v之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 2．（23-24高三上·北京丰台·期末）已知函数，当时，记函数的最大值为，则的最小值为（    ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 3．（22-23高三上·北京大兴·期末）已知函数，给出下列结论：①是周期函数；②的最小值是；③的最大值是；④曲线是轴对称图形，则正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④ 4．（21-22高三上·北京房山·期末）某数学兴趣小组研究曲线和曲线的性质，下面是四位同学提出的结论： 甲：曲线关于原点对称； 乙：曲线都关于直线对称； 丙：曲线与坐标轴在第一象限围成的面积； 丁：曲线与坐标轴在第一象限围成的面积. 四位同学的结论中错误的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．（23-24高三上·北京昌平·期末）已知函数，则（    ） A． B．不是周期函数 C．在区间上存在极值 D．在区间内有且只有一个零点 6．（22-23高三上·北京石景山·期末）函数，给出下列四个结论 ①的值域是； ②任意且，都有； ③任意且，都有； ④规定，其中，则． 其中，所有正确结论的序号是 ． 7．（21-22高三上·北京密云·期末）设函数满足条件，，，且在区间上，其中集中．给出下列四个结论： ①； ②函数的值域为； ③函数在上单调递增； ④函数在上单调递减． 其中所有正确结论的序号是 ． 8．（22-23高三上·北京东城·期末）设函数，当时，的值域为 ；若的最小值为1，则的取值范围是 . 9．（22-23高三上·北京海淀·期末）已知函数，.给出下列四个结论： ①当时，函数有最小值； ②，使得函数在区间上单调递增； ③，使得函数没有最小值； ④，使得方程有两个根且两根之和小于. 其中所有正确结论的序号是 . 10．（23-24高三上·北京西城·期末）设，函数给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③当时，直线与曲线恰有3个交点； ④存在正数及点和，使. 其中所有正确结论的序号是 . 11．（23-24高三上·北京朝阳·期末）设函数，当时，的最大值为 ；若无最大值，则实数的一个取值为 . 12．（22-23高三上·北京西城·期末）人口问题是关系民族发展的大事．历史上在研究受资源约束的人口增长问题中，有学者提出了“Logistic model”：，其中均为正常数，且，该模型描述了人口随时间t的变化规律．给出下列三个结论： ①； ②在上是增函数； ③． 其中所有正确结论的序号是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数性质的综合应用 函数的定义域与值域 1．（23-24高三上·北京东城·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据分式的分母不为，对数的真数大于求解即可. 【详解】， 解得且， 函数的定义域为. 故答案为：. 2．（22-23高三上·北京丰台·期末）函数的定义域是 ． 【答案】且 【分析】根据题意得到求解即可. 【详解】由题知：且. 故答案为：且. 3．（22-23高三上·北京房山·期末）函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据分式、对数的性质列不等式组求定义域即可. 【详解】由题设，故， 所以定义域为. 故答案为： 4．（22-23高三上·北京石景山·期末）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由题知，再解不等式即可得答案. 【详解】解：要使函数有意义，则，解得且 所以，函数的定义域为 故答案为： 5．（23-24高三上·北京丰台·期末）已知，则 ． 【答案】0 【分析】由解析式直接代入求解即可. 【详解】因为， ， 所以. 故答案为：0. 6．（21-22高三·北京·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于当时，，所以当时，求出的最小值，使其最小值小于等于零即可. 【详解】当时，， 当时， ， 因为函数的值域为， 所以，得， 所以实数的取值范围是， 故选：D. 7．（23-24高三上·北京西城·期末）已知函数，则的定义域是 ；的最小值是 . 【答案】 【分析】由函数的解析式有意义，列出不等式组，求得的定义域，化简，令，得到，结合基本不等式和对数函数的单调性，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，解得， 所以函数的定义域为， 又由， 令，可得 令， 因为，当且仅当时，即时，即时取等号， 所以，所以，所以函数的最小值为. 故答案为：；. 函数的单调性 8．（23-24高三上·北京顺义·期末）已知在上单调递减，且，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的单调性判断即可. 【详解】由得，，结合在上单调递减， 则必有，显然B正确，A错误， 而当时，不在定义域内，故无法比较，C,D错误. 故选：B 9．（23-24高三上·北京昌平·期末）设函数的定义域为，则“”是“为减函数”的（    ） A．充分必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用函数的单调性及充分、必要条件的定义判定选项即可. 【详解】若，则， 作出函数图象，   ， 由图象可知成立，但显然不为减函数； 若为减函数，又，则， 所以“”是“为减函数”的必要不充分条件. 故选：B 10．（23-24高三上·北京昌平·期末）下列函数中，在区间上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】AB可根据函数图象直接得到在上的单调性；C选项，求导得到单调性；D选项，根据复合函数单调性满足同增异减求出答案. 【详解】A选项，在上单调递增，不合要求，错误； B选项，在上单调递增，在上单调递减，故B错误； C选项，在上恒成立， 故在上单调递增，C错误； D选项，令得，， 在上单调递增， 而在上单调递减， 由复合函数单调性可知，在上单调递减，D正确. 故选：D 11．（21-22高三上·北京门头沟·期末）下列函数中，在为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数的单调性判断ABC，利用导数判断D． 【详解】解：A不正确，在每一个单调区间上增，在不是增函数，时函数不存在；B是对称轴为，在不是增函数；C在为减函数，D求导得可，可知D正确 故选：D． 12．（23-24高三上·北京昌平·期末）若函数在定义域上不是单调函数，则实数的一个取值可以为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】结合指数函数和对数函数性质，根据分段函数的单调性即可直接求解. 【详解】由题知， 当时，递增， 当时，递增， 又在定义域上不是单调函数， 所以，即. 故答案为：（答案不唯一） 13．（22-23高三上·北京西城·期末）设函数若,则的单调递增区间是 ;若的值域为,则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】(1)将代入解析式,分析各段单调性,即可得出结果; (2)先求出上的值域,由的值域为,只需在上的值域包含,分析该二次函数的开口方向,对称轴及值域即可求出的取值范围. 【详解】解:由题知当时, , 故在上单调递减, 在上单调递增, 在上单调递减, 故的单调递增区间是; 由于在上的值域为, 若的值域为, 只需在上的值域包含即可, 故需,即, 此时在上的值域为, 故需,即, 综上: . 故答案为:; 最值与范围问题 14．（23-24高三上·北京通州·期末）已知函数，实数满足.若对任意的，总有不等式成立，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】D 【分析】由分段函数的定义域对进行分类讨论可得的范围，即可得的最大值. 【详解】当时，有， 由随增大而增大，且，故， 当时，有，即， 即， 整理得，即， 故，又，故， 综上所述，， 则，当且仅当、时等号成立， 故的最大值为. 故选：D. 15．（22-23高三上·北京西城·期末）在中，．P为边上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为坐标原点建立合理直角坐标系，求出直线所在直线方程为，设，得到，利用二次函数的性质即可求出其值域. 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立直角坐标系， 则，直线所在直线方程为， 设，，则，， ， 当时，，当时，， 故其取值范围为， 故选：B. 16．（23-24高三上·北京东城·期末）已知线段的长度为是线段上的动点（不与端点重合）.点在圆心为，半径为的圆上，且不共线，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，结合图形分析可得，利用正弦函数的性质以及二次函数的性质即可得最值. 【详解】如图：设，圆M的半径为r， 则， 所以的面积， 当为时取等号，再结合二次函数的性质可得当时S有最大值， 故选：A. 17．（23-24高三上·北京东城·期末）设函数 ①若，则的最小值为 . ②若有最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对①，分别计算出每段的范围或最小值即可得；对②，由指数函数在开区间内没有最小值，可得存在最小值则最小值一定在段，结合二次函数的性质即可得. 【详解】①当时，， 则当时，， 当时，， 故的最小值为； ②由，则当时，， 由有最小值，故当时，的最小值小于等于， 则当且时，有，符合要求； 当时，，故不符合要求，故舍去. 综上所述，. 故答案为：；. 18．（22-23高三上·北京通州·期末）已知函数，若函数存在最大值，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】分段求出函数在不同区间内的范围，然后结合存在最大值即可求解 【详解】当，在区间上单调递增，所以此时； 当，在区间上单调递减，所以此时， 若函数存在最大值，则，解得 所以的取值范围为 故答案为： 19．（22-23高三上·北京房山·期末）若函数存在最小值，则的一个取值为 ；的最大值为 . 【答案】 0（答案不唯一） 4 【分析】根据分段函数的性质，结合绝对值、二次函数的性质，讨论m范围及存在最小值确定m的范围，进而确定答案. 【详解】对于，在上递减，上递增，在R上的最小值为0； 对于，开口向上且对称轴为， 所以，在上递减，上递增，在R上的最小值为； 综上，对于f(x)：当时，在上递减，上递增， 此时恒成立，所以不存在最小值； 当时，在上递减，上递增，此时最小值为0； 当时，在上递减，,上递增，且， 又， 若时，，此时最小值为0； 若时，，此时最小值为0； 若时，，此时最小值为0； 若时，，此时最小值为0； 若时，，此时不存在最小值； 综上，，故m的最大值为4. 故答案为：0（答案不唯一），4 比较大小 20．（23-24高三上·北京顺义·期末）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，利用导数求得的单调性，再转化即可得解. 【详解】令，则， 所以当时，， 所以在上单调递减， 因为，，， 而，所以，即. 故选：A. 21．（22-23高三上·北京海淀·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性、正弦函数的单调性、对数函数的单调性进行求解即可/ 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以，因此， 故选：B 22．（22-23高三上·北京海淀·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数性质可判断b的范围，利用三角函数诱导公式求得c,并利用对数函数的性质比较的大小，即得答案. 【详解】因为， 所以, 故选：B. 23．（23-24高三上·北京朝阳·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数单调性比较大小判断A，利用幂函数单调性比较大小判断B，利用对数函数单调性比较大小判断C，举特例判断D. 【详解】对于A，因为，所以指数函数单调递减，所以，错误； 对于B，因为，所以幂函数在上单调递增，所以，正确； 对于C，因为，所以对数函数单调递减，所以，错误； 对于D，当时，满足，有， 此时不满足，错误. 故选：B 24．（22-23高三上·北京东城·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性跟比较即可判断. 【详解】因为，，， 所以. 故选：B 25．（22-23高三上·北京西城·期末）设，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】（1）利用幂函数单调性即可判断A，利用正切函数单调性即可判断B， 举例，即可判断C，利用对勾函数和二次函数性质即可判断D. 【详解】根据幂函数在上为单调增函数， 故时，，故A错误， 根据三角函数在上为单调增函数， 故时，故，故B错误， ，即，，但与的大小关系不明，如，， 显然此时，故C错误， 根据对勾函数的图像与性质当时， 可知，而，根据二次函数图像与性质可知其值域， 当时，，当时，， 故当时，则，故，故D正确. 故选：D. 函数的图像 26．（23-24高三上·北京东城·期末）一粒子在平面上运动的轨迹为抛物线的一部分，在该平面上建立直角坐标系后，该粒子的运动轨迹如图所示.在时刻，粒子从点出发，沿着轨迹曲线运动到，再沿着轨迹曲线途经点运动到，之后便沿着轨迹曲线在，两点之间循环往复运动.设该粒子在时刻的位置对应点，则坐标，随时间变化的图象可能是（   ）    A．   B． C．   D．   【答案】B 【分析】根据粒子的运动轨迹得到周期，进而得到和的周期，观察图象即可. 【详解】由题知，粒子从为一个周期， 对应由为一个周期， 对应由为两个周期， 函数的周期是函数的周期的倍. 对于A，的周期为，的周期为，故A错误； 对于B，的周期为，的周期为，故B正确； 对于C，的周期为，的周期为，故C错误； 对于D，的周期为，的周期为，故D错误. 故选：B. 27．（23-24高三上·北京丰台·期末）如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正切型函数的图象与性质结合分段函数性质即可得到解集. 【详解】设， 令，且，解得，， 令，则，则在上单调递增， ，则， 则当时，，，则满足，即， 当时，，且单调递减，，且单调递增， 则时，，即；时，，即； 综上所述：的解集为， 故选；C. 函数的奇偶性 28．（23-24高三上·北京通州·期末）下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数奇偶性以及单调性定义对选项逐个判断即可. 【详解】对于A，的定义域为， ，故为奇函数，故A错误； 对于B，的定义域为，不关于原点对称， 故是非奇非偶函数，故B错误； 对于C，的定义域为， ，故为偶函数， 当时，，在区间上单调递减，故C正确； 对于D，的图象如下图， 故D错. 故选：C. 29．（22-23高三上·北京海淀·期末）下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指对幂函数的性质依次判断各选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，函数为奇函数，在定义域上无单调性，故错误； 对于B选项，函数为奇函数，当时，为减函数，故函数在定义域内为减函数，故B正确； 对于C，由于函数均为增函数，故在定义域内为单调递增函数，故C错误； 对于D选项，函数为非奇非偶函数，故错误. 故选：B 30．（22-23高三上·北京丰台·期末）下列函数是偶函数，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数奇偶性和在区间上单调递增逐项分析. 【详解】选项A由令的定义域为， 且， 由函数为二次函数开口向下，对称轴为轴， 所以在单调递减，故函数在区间上单调递减， 故A错误， 由的定义域为，关于原点对称 且， 所以为奇函数，故选项B错误， 由的定义域为， 且， 所以为奇函数，故C错误， 由的定义域为， 且，所以 为偶函数， ，且， 所以 ， 因为，且， 因为在上单调递增， 所以，， 所以， 故， 所以在区间上单调递增， 故选：D. 31．（22-23高三上·北京昌平·期末）下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反例或基本初等函数的性质可得正确的选项. 【详解】对于A，设，则， 故在定义域内不是减函数，故A错误. 对于B，设，其定义域为且， 故为奇函数，而为上的增函数， 故为上的减函数，故B正确. 对于C，设，因为，故在定义域内不是减函数，故C错误. 对于D， 的定义域为，故该函数不是奇函数，故D错误. 故选：B. 32．（22-23高三上·北京·期末）已知函数过原点，下列函数中，与的奇偶性相同且在上有相同单调性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由求出的值，然后判断函数的单调性及其在上的单调性，并判断出各选项中函数的奇偶性以及在上的单调性，可得出合适的选项. 【详解】由题意可得，可得，则， 函数的定义域为，，则函数为奇函数， 因为函数、在上为增函数，故函数在上为增函数， 对于A选项，函数为偶函数，且该函数在上为增函数，A不满足条件； 对于B选项，函数为非奇非偶函数，且该函数在上为增函数，B不满足条件； 对于C选项，函数为奇函数，且该函数在定义域上不单调，C不满足条件； 对于D选项，设，该函数的定义域为， ，则函数为奇函数， 当时，，则函数在上为增函数，D满足条件. 故选：D. 33．（22-23高三上·北京东城·期末）在下列函数中，为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性定义判断各个选项即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，且，所以，故函数不为偶函数； 对于B，函数的定义域为，且，所以，故函数不为偶函数； 对于C，函数的定义域为，且，所以，故函数为偶函数； 对于D，函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数不为偶函数. 故选：C. 34．（23-24高三上·北京石景山·期末）设函数，则是（    ） A．偶函数，且在区间单调递增 B．奇函数，且在区间单调递减 C．偶函数，且在区间单调递增 D．奇函数，且在区间单调递减 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性和单调性求得正确答案. 【详解】的定义域为， ， 所以是奇函数，AC选项错误. 当时， ， 在上单调递增，在上单调递增， 根据复合函数单调性同增异减可知在区间单调递增，B选项错误. 当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数单调性同增异减可知在区间单调递减，D选项正确. 故选：D 35．（23-24高三上·北京顺义·期末）已知函数在上是奇函数，当时，，则 . 【答案】/ 【分析】 根据奇函数的定义得到，代入求解即可. 【详解】函数在上是奇函数，， . 故答案为：. 36．（22-23高三上·北京朝阳·期中）已知为定义在上的函数，，且为奇函数，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】根据奇函数的性质，进行赋值求解即可. 【详解】因为是奇函数， 所以有 即. 故选：A 函数的周期性与对称性 37．（21-22高三上·北京海淀·期末）已知函数的值域为，的图象向右平移1个单位后所得的函数图象与的图象重合，写出符合上述条件的一个函数的解析式： . 【答案】(答案不唯一) 【分析】根据题设的周期为1及值域，由三角函数的性质写出一个解析式即可. 【详解】由题设，，易知的周期为1，又值域为， ∴符合题设要求. 故答案为：. 38．（23-24高三上·北京西城·期末）已知函数，则（    ） A．在上是减函数，且曲线存在对称轴 B．在上是减函数，且曲线存在对称中心 C．在上是增函数，且曲线存在对称轴 D．在上是增函数，且曲线存在对称中心 【答案】D 【分析】根据复合函数的单调性、函数的奇偶性等知识确定正确答案. 【详解】由得，解得，所以的定义域是， ， 在上单调递增，在上单调递增， 根据复合函数单调性同增异减可知在上是增函数， ， 所以是奇函数，图象关于原点对称，即D选项正确. 故选：D 39．（23-24高三上·北京海淀·期末）已知函数.给出下列四个结论：①任意，函数的最大值与最小值的差为2；②存在，使得对任意，；③当时，对任意非零实数，；④当时，存在，，使得对任意，都有.其中所有正确结论的序号是 . 【答案】②④ 【分析】取可判断①，取化简后可判断②，先化简，取可判断③，取可判断④. 【详解】对于①，当时，其最大值为1，最小值为0，的最大值与最小值的差为1，故①错误； 对于②，当时，，，因此对任意，，故②正确； 对于③，，，当时，故③错误； 对于④，当时，取，，使得对任意，都有，故正确. 故答案为：②④ 40．（23-24高三上·北京大兴·期末）设函数的定义域为，且满足如下性质：（i）若将的图象向左平移2个单位，则所得的图象关于轴对称，（ii）若将图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位，则所得的图象关于原点对称.给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【分析】利用函数的对称性、奇偶性与周期性即可判断各结论是否正确. 【详解】由（i）可得，即有关于对称； 由（ii）可得，即， 用代替，有，即关于对称； 由关于对称，故，即①正确； 由关于对称的直线为， 故关于对称，则不一定等于，故②不正确； 对，令，则有， 对，令，则有， 故，故③正确； 对，即有， 对，即有， 即，即， 则，即有， 故周期为，则， 对，令，则， 即，故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】关键点睛：本题的关键是由题意去得到函数的对称性，并根据对称性去推导函数的奇偶性与周期性，遇到此类问题一般采用赋值法对等式左右进行变形，从而得到函数的其它性质. 41．（21-22高三上·北京门头沟·期末）已知函数为奇函数，且，当时，，给出下列四个结论： ①图像关于对称   ②图像关于直线对称 ③ ④在区间单调递减 其中所有正确结论的序号是 【答案】①②④ 【分析】由题知函数为周期函数，周期为，再根据函数性质依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：函数为奇函数得： 所以图像关于对称； 因为， 所以， 所以根据周期性得图像关于对称，①正确， 因为，所以，即，所以，即图像关于直线对称，②正确； 所以，所以③不正确； 因为当时，，为单调递增函数， 因为图像关于直线对称，在上单调递减， 所以由周期性得在区间单调性与上的单调性相同， 所以在区间单调递减，④正确. 所以，正确题目的顺序号为①②④ 故答案为：①②④ 初等函数问题 42．（23-24高三上·北京通州·期末）已知函数，则 . 【答案】/ 【分析】利用函数表达式即可求出的值. 【详解】由题意， 在中， ， 故答案为：. 43．（23-24高三上·北京石景山·期末）设函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数解析、对数运算、指数运算求得正确答案. 【详解】， 由于， 所以， 所以. 故选：C 44．（23-24高三上·北京大兴·期末）已知且，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对A：由对数性质运算即可得；对B：由对数性质运算即可得；对C：借助基本不等式运算即可得；对D：找出反例即可得. 【详解】对A：，故A正确； 对B：由，则，故，故B正确； 对C：由， 故， 当且仅当时等号成立，由，故等号不成立， 即，故C正确； 对D：当、时，符合题意， 但此时，故D错误. 故选：D. 45．（23-24高三上·北京大兴·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将不等式转化为两个函数，在同一坐标系下作出两个函数的图象，由图像可得结果. 【详解】因为，所以，即， 令，且均为增函数，则不等式为， 在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图所示， 又当时， 当时，， 所以由图像可知：的解集为：， 故选：B.    46．（21-22高三上·北京朝阳·期末）设函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数解析式，讨论结合指对数的单调性求的取值范围. 【详解】当时，，可得，故； 当时，，可得，故. 综上，. 故选：C. 47．（22-23高三上·北京丰台·期末）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式问题转化为函数图象问题，结合图象求得正确答案. 【详解】依题意，， 由解得或 画出的图象如下图所示， 由图可知，不等式的解集是. 故选：A 48．（22-23高三上·北京房山·期末）已知函数，则（    ） A．图象关于原点对称，且在上是增函数 B．图象关于原点对称，且在上是减函数 C．图象关于轴对称，且在上是增函数 D．图象关于轴对称，且在上是减函数 【答案】B 【分析】根据定义判断奇偶性，由解析式判断单调性，即可得答案. 【详解】由且定义域为R， 所以为奇函数，即关于原点对称， 又在R上递减，故在上是减函数. 故选：B 49．（22-23高三上·北京海淀·期末）已知函数，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对分类讨论，结合指数对数函数单调性解不等式即可. 【详解】当，即，解得； 当，即，解得. 故实数的取值范围是. 故答案为： 50．（21-22高三上·北京石景山·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性即可得出结果. 【详解】对于A，当时，单调递减，所以由可得，故A错误； 对于B，当时，单调递减，所以由可得，故B错误； 对于C，当时，在单调递增，由可得，故C错误； 对于D，当时，单调递减，所以由可得， 则，即，故D正确. 故选：D. 51．（21-22高三上·北京房山·期末）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为.下列说法中正确的是（    ） A．第5个月时，浮萍面积就会超过 B．浮萍面积每月的增长率不相等 C．浮萍每月增加的面积都相等 D．若浮萍面积为，，时所对应的时间分别是，则 【答案】D 【分析】根据题意先求出函数的解析式，进而求出对应的量，然后判断答案. 【详解】根据题意，则. 对A，t=5时，，错误； 对B，每月的增长率为，B错误； 对C，第二个月比第一个月增加，第三个月比第二个月增加，C错误； 对D，，D正确. 故选：D. 52．（21-22高三上·北京海淀·期末）已知函数，.若对于图象上的任意一点，在的图象上总存在一点，满足，且.则实数（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】设点，点，分类讨论和两种情况，结合已知条件可以得到的关系式，分析化简知，代入化简即可得解. 【详解】设点，点 当时，点，根据指数函数与对数函数的性质知，此时，显然满足条件； 当，，由，知，即，即（*） 又，知，即 将（*）式代入，得 由于，有 因此有，即，即 由于，所以（*）式可知不满足条件，则有 代入（*）式得 所以，故 故选：B 函数的零点问题 53．（22-23高三上·北京朝阳·期末）函数的零点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】分别求出和时，的零点个数即可得出答案. 【详解】当时，令， 则，解得：（舍去）或， 当时，令，解得：， 所以的零点个数为2. 故选：C. 54．（22-23高三上·北京海淀·期末）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断出函数在定义域上连续且单调递增，计算出端点值，利用零点存在性定理得到答案. 【详解】定义域为，在定义域上连续且单调递增， 其中，，， ，， 由零点存在性定理可得：包含零点的区间为. 故选：D 55．（23-24高三上·北京朝阳·期末）设函数的定义域为，则“”是“在区间内有且仅有一个零点”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】令，的，设，转化为在区间上只有一个解，结合二次函数的性质，求得，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由函数的定义域为， 显然m为0时，函数在区间内有且只有一个零点，满足； 令，可得，即， 设， 要使得函数在区间上只有一个解， 则满足或，解得或， 即函数在区间上只有一个零点时，可得， 所以“”是“在区间内有且仅有一个零点”的充分不必要条件. 故选：A. 56．（23-24高三上·北京海淀·期末）若关于的方程（且）有实数解，则的值可以为（    ） A．10 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据反函数的性质以及导数的几何意义，只需函数与直线相交即可. 【详解】对比选项可知我们只需要讨论时，关于的方程的解的情况， 若关于的方程（且）有实数解， 即与的图像有交点， 因为与互为反函数， 所以与的图像关于直线对称， 如图所示： 设函数与直线相切，切点为， ，则有，解得：， 由图像可知，当时，曲线与直线有交点， 即与的图像有交点，即方程有解. 故选：D. 57．（21-22高三上·北京昌平·期末）若函数 恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分两种情况，第一种是与在各自定义域内各有一个零点；第二种是在定义域内没有零点，在定义域内有两个零点. 【详解】因为单调递增，先减后增，故①当时，有一个零点，当时，有一个零点，则要求，解得：； ②当时，没有零点，当时，有两个零点，则要求或，解得：；综上：实数的取值范围是 故选：D 58．（21-22高三上·北京丰台·期末）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】函数有两个不同的零点，可转化为函数与直线有两个交点，作出函数图象，数形结合可得实数的取值范围. 【详解】函数有两个不同的零点， 即为函数与直线有两个交点， 函数图象如图所示： 所以， 故选：D. 59．（22-23高三上·北京大兴·期末）已知函数若，则函数的值域为 ；若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用函数的单调性可求值域，利用函数零点与方程的解的关系即可求解. 【详解】（i）若，当时， 当时，是单调递增函数， 所以， 所以的值域为：. （ii）由题可知，当时， ， 解得：，由此可知有一个解， 则当时，必定有两个解， 即必有两个解， 此时只需满足 解得：. 故答案为：；. 60．（21-22高三上·北京房山·期末）设函数 给出下列四个结论： ①函数的值域是； ②对，方程都有3个实数根； ③，使得； ④若互不相等的实数满足，则的取值范围是. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【分析】画出函数图象，结合图象对四个结论依次分析，即可求解结论. 【详解】因为 其图象如下图所示： 对于①，由图可知，其值域是，故①正确； 对于②，由图可知，如时，方程只有2个实数根，故②不正确； 对于③，当时，使得有成立，即与有交点，这显然成立，故③正确； 对于④，不妨设互不相等的实数满足，当满足时，由图可知，即， 当时，即，解得， 当时，即，解得， 从而可知， 所以，故④正确. 故答案为：①③④ 函数模型的应用 61．（23-24高三上·北京房山·期末）保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫米/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为，其中为常数，，为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，解得，从而求得关于残留数量与过滤时间的函数关系式，再将代入即可求得答案. 【详解】因为前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，所以，即所以． 再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为． 故选：A. 62．（22-23高三上·北京西城·期末）“空气质量指数（）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为（    ） A．5小时 B．6小时 C．7小时 D．8小时 【答案】C 【分析】当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动,即时适合开展户外活动,根据分段函数的解析式,分情况讨论求出不等式解集,再求出区间长度即可. 【详解】解:由题知,当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动, 即当小于等于200时,适宜开展户外活动, 即, 因为, 所以当时, 只需, 解得:, 当时, 只需, 解得:, 综上: 适宜开展户外活动的时间段为, 共计7个小时. 故选:C 63．（22-23高三上·北京石景山·期末）中国茶文化博大精深．茶水口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．已知室内的温度为，设茶水温度从开始，经过x分钟后的温度为．y与x的函数关系式近似表示为，那么在室温下，由此估计，刚泡好的茶水大约需要放置多少分钟才能达到最佳口感（参考数据：）（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】根据题意代入数据，列出等量关系式，利用对数的运算性质化简即可求得. 【详解】由题意降至时口感最佳，即，带入函数关系式即得， 即，两边同时取对数，得， 所以. 故选：B 64．（22-23高三上·北京石景山·期末）植物研究者在研究某种植物1-5年内的植株高度时，将得到的数据用下图直观表示.现要根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在1-5年内的生长规律，下列函数模型中符合要求的是（ ） A．(且 ) B．(，且 ) C． D． 【答案】B 【解析】由散点图直接选择即可. 【详解】解：由散点图可知，植物高度增长越来越缓慢，故选择对数模型， 即B符合. 故选：B. 65．（22-23高三上·北京房山·期末）某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户.如果教师用户人数与天数之间满足关系式：，其中为常数，是刚发布时的教师用户人数，则教师用户超过20000名至少经过的天数为（    ）（参考数据：） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】根据已知条件求得，结合及指对数关系、对数运算性质求解集，即可得结果. 【详解】由题设，可得， 所以，则，故， 所以教师用户超过20000名至少经过12天. 故选：D 66．（21-22高三上·北京密云·期末）心理学家有时使用函数来测定在时间内能够记忆的量，其中A表示需要记忆的量，表示记忆率．假设一个学生有200个单词要记忆，心理学家测定在5min内该学生记忆20个单词．则记忆率所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意解方程，解出，在和端点值比较大小，由函数单调性和函数连续得到结果. 【详解】将代入，解得：，其中单调递减，而，，而在上单调递减，所以，结合单调性可知，即，而，其中为连续函数，故记忆率所在区间为. 故选：A 67．（21-22高三·北京·期末）按照“碳达峰”､“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：），放电时间t（单位：）与放电电流I（单位：）之间关系的经验公式：，其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.则该蓄电池的Peukert常数n大约为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据题意可得，，两式相比结合对数式与指数式的互化及换底公式即可得出答案. 【详解】解：根据题意可得，， 两式相比得，即， 所以. 故选：B. 68．（21-22高三上·北京丰台·期末）声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：）． 人在正常说话时，声强级大约在40~60 dB之间，声强级超过60 dB的声音会对人的神经系统造成不同程度的伤害．给出下列四个声强，其声强级在40~60 dB之间的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题设列不等式，应用对数运算性质求的范围，即可判断. 【详解】由题设，，则， ∴，而. 故选：C. 69．（21-22高三上·北京朝阳·期末）某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可使水中杂质减少50%．若杂质减少到原来的10%以下，则至少需要过滤（    ）（参考数据：） A．2次 B．3次 C．4次 D．5次 【答案】C 【分析】由题设若原杂质含量为m，过滤n次后杂质减少到原来的10%以下，可得，由指对数关系及对数的运算性质求n的范围，即可得解. 【详解】由题设，若原杂质含量为m，过滤n次后杂质减少到原来的10%以下， ∴，则，又， ∴，至少需要过滤4次. 故选：C. 1．（22-23高三上·北京朝阳·期末）2022年10月31日，长征五号B遥四运载火箭带着中华民族千百年来探索浩瀚宇宙的梦想，将中国空间站梦天实验舱准确送入预定轨道在不考虑空气阻力的条件下，若火箭的最大速度v（单位：）和燃料的质量M（单位：t）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：t）的关系满足，M，m，v之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】由题及图象关系可知，在中，当一定时，越大，则越大， 当一定时，越小，则越大，代入对应的，逐项判断选项即可得到答案. 【详解】由题及图象关系可知，在中，当一定时，越大，则越大， 当一定时，越小，则越大， 对于A，当时，，故A错误. 对于B，当时，，故B错误. 对于C，当时，，故C正确. 对于D，因为，令,， ，故D错误. 故选：C. 2．（23-24高三上·北京丰台·期末）已知函数，当时，记函数的最大值为，则的最小值为（    ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【答案】C 【分析】先利用函数的奇偶性，转化为求在上的最大值；再根据的取值范围的不同，讨论函数在上的单调性，求函数的最大值. 【详解】易判断函数为偶函数，根据偶函数的性质，问题转化为求函数，上的最大值. 当时，，二次函数的对称轴为，函数在上单调递增，所以； 当时，， 因为，所以在上递增，在上也是递增， 所以； 当时，， 因为，所以在上递增，在上递减，在上递增， 所以或， 若，则； 若，则; 当时，，（因为）， 所以函数在上递增，在上递减，所以. 综上可知：的最小值为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题，然后讨论函数在给定区间上的单调性，从而求最大值.认真分析函数的单调性是关键. 3．（22-23高三上·北京大兴·期末）已知函数，给出下列结论：①是周期函数；②的最小值是；③的最大值是；④曲线是轴对称图形，则正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据可判断④，根据余弦的有界性以及二次函数的性质即可判断①②③. 【详解】由于,所以,因此,故图象关于对称，因此曲线是轴对称图形，故④正确， 由于当时，分母单调递增，故当自变量越来越大时，分母的值也越来越大，而分子是有界的，所以的图象随着自变量的增大而无限靠近轴，因此不是周期函数，故①错误， ，当时，第一个等号成立，当时，第二个等号成立，故不存在的值，使得两个等号同时成立，因此 ，故③错误， ，当时，第一个等号成立，当时，第二个等号成立，故当时，两个等号同时成立，故当时，的最小值是，故②正确， 故选：B 4．（21-22高三上·北京房山·期末）某数学兴趣小组研究曲线和曲线的性质，下面是四位同学提出的结论： 甲：曲线关于原点对称； 乙：曲线都关于直线对称； 丙：曲线与坐标轴在第一象限围成的面积； 丁：曲线与坐标轴在第一象限围成的面积. 四位同学的结论中错误的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】由于点和点都在曲线上，再根据原点对称的性质，即可判断甲说法；对曲线，交换得，方程不变，再结合对称的性质，可判断乙说法；选择作为参考，当时，若，得出，可判断丙说法；选择作为参考，当时，若，得出，即可判断丁说法. 【详解】解：甲说法：若点在曲线上，即，所以，即点在曲线上， 所以曲线关于原点对称，故甲说法正确； 乙说法：对曲线，交换得，方程不变， 所以曲线关于直线对称，故乙说法正确； 丙说法：选择作为参考，其与坐标轴在第一象限围成的面积为， 直线与曲线均与轴分别交于， 当时，若，则，所以， 所以曲线与坐标轴在第一象限围成的面积，故丙说法错误； 丁说法：选择作为参考，其与坐标轴在第一象限围成的面积为， 当时，易知曲线与曲线均与轴分别交于， 当时，若，则，即，所以， 所以曲线与坐标轴在第一象限围成的面积，故丁说法正确. 故选：C. 5．（23-24高三上·北京昌平·期末）已知函数，则（    ） A． B．不是周期函数 C．在区间上存在极值 D．在区间内有且只有一个零点 【答案】D 【分析】对于A，由诱导公式即可判断；对于B，由三角函数周期可得，由此即可判断；对于C，由复合函数单调性即可判断；对于D，令，解方程即可得解. 【详解】对于A，， 所以，故A错误； 对于B，，所以是以为周期的函数，故B错误； 对于C，由复合函数单调性可知在区间上分别单调递增、单调递减， 所以在区间上单调递增，所以不存在极值，故C错误； 对于D，令，得，所以，即该方程有唯一解（函数在内有唯一零点），故D正确. 故选：D. 6．（22-23高三上·北京石景山·期末）函数，给出下列四个结论 ①的值域是； ②任意且，都有； ③任意且，都有； ④规定，其中，则． 其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】根据绝对值的性质，结合分式型函数的性质、代入法逐一判断即可； 【详解】①：当时， ， 当时，该函数单调递增，所以有， 当时， 因为， 所以，因此当时，； 当时，，此时函数单调递增， 所以有， ，所以有， 所以的值域是，故①正确； ②：不妨设，由， 所以该函数是实数集上的增函数， 由①可知：该函数在时，单调递增，且， 当时，单调递增，且，所以该函数是实数集上的增函数，符合题意，故②正确； ③：当任意且时， 令，， ，显然， 因此不成立，故③不正确； ④：当时， ， ， ， ， ， 于是有，因此，故④正确， 故答案为：①②④ 【点睛】关键点睛：利用分式型函数的性质是解题的关键. 7．（21-22高三上·北京密云·期末）设函数满足条件，，，且在区间上，其中集中．给出下列四个结论： ①； ②函数的值域为； ③函数在上单调递增； ④函数在上单调递减． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③/③① 【分析】根据题意和周期函数的定义求出即可判断①； 举例说明即可判断②； 求出函数在上的解析式即可判断③； 作出函数的大致图象，利用数形结合的思想即可判断④. 【详解】由题意知，函数是定义域为R上的偶函数，且周期为2， ①：，又，所以，故①正确； ②：当时，，又函数的定义域不含， 所以原分段函数的值域不含，故②错误； ③：由，得，且， 所以函数在上的解析式为，单调递增，故③正确； ④：因为函数为R上的偶函数，所以在上的图象与在上 的图象关于y轴对称，而集合M为断续的数集，则在上的图象大致如图， 由图可知在上不单调，故④错误. 故答案为：①③ 8．（22-23高三上·北京东城·期末）设函数，当时，的值域为 ；若的最小值为1，则的取值范围是 . 【答案】 ; . 【分析】当时，根据单调性分段求值域，再取并集即可求值域；讨论可得与不符合题意；当时，,画出图象，设与在上的交点横坐标为，讨论可得时，的最小值为1，求出，解不等式即可求的取值范围. 【详解】若，则， 当,单调递增，所以； 当,单调递减，所以. 故的值域为. 当时，的值域为，不符合题意； 当时，在上的最小值为，不符合题意； 当时，, 画出的图象，如图所示： 设与在上的交点横坐标为， 又， 当时，由图象可得无最小值； 当时，由图象可得有最小值， 由，可得， 故可得， 所以，即， 化简得,解得. 故答案为:;. 【点睛】方法点睛：(1)分段函数问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑； (2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求． 9．（22-23高三上·北京海淀·期末）已知函数，.给出下列四个结论： ①当时，函数有最小值； ②，使得函数在区间上单调递增； ③，使得函数没有最小值； ④，使得方程有两个根且两根之和小于. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②④ 【分析】利用函数的最值与单调性的关系可判断①③的正误；利用函数的单调性与导数的关系可判断②的正误；取，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理可判断④的正误. 【详解】对于①，当时，，则， 由可得，由可得或， 此时，函数的增区间为、，减区间为， 当或时，，当时，， 故函数在处取得最小值，①对； 对于②，， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递增，所以，， 则， 由可得， 构造函数，其中， 则， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递减， 故当时，，则，即在上单调递减， ，则，解得，②对； 对于③，，， 因为函数在上单调递增， ，，所以，存在，使得， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，对任意的实数，函数有最小值，③错； 对于④， 令，不妨令，即取， 由③可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，则，， 所以，存在，使得， 此时函数的零点之和为，④对. 故答案为：①②④. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 10．（23-24高三上·北京西城·期末）设，函数给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③当时，直线与曲线恰有3个交点； ④存在正数及点和，使. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②④ 【分析】对于①，分成，两种情况讨论在区间上单调性；对于②，结合函数的单调性求函数的最值；对于③，当时，结合函数与的单调性得出此时无交点，当时，设，利用特殊值，得出交点个数进行判断；对于④，令，，进行验证. 【详解】对于①，当时，在上单调递减，此时. 当时，在区间上单调递减显然成立； 当时，当时，在单调递减，此时，所以在区间上单调递减，故①成立； 对于②，如图，当时， 当时，在单调递减，在单调递增，此时的最大值为； 当时，在上单调递减，此时的最大值为， 所以存在最大值，最大值为，故②正确；      对于③，当时，在R上单调递减，当时，， 当时，在单调递增，此时的最大值为， 所以直线与曲线没有交点； 当时，，设， 由，解得， 当时，，如图，此时直线与曲线恰有2个交点，故③错误； 对于④，当时，当时，， 当时，； 当时，，， 如图，取，时， ， 所以存在正数及点和使成立，故④正确.    故答案为：①②④. 【点睛】求分段函数的最值方法：根据每一段函数的单调性求出各自的最值或者范围，再进行对比求出最终的最值. 11．（23-24高三上·北京朝阳·期末）设函数，当时，的最大值为 ；若无最大值，则实数的一个取值为 . 【答案】 （答案不唯一） 【分析】当时，，分别求解两部分函数最大值，然后求出函数的最大值；按照和分类讨论，利用单调性分析最值位置，按照题意列不等式求解即可. 【详解】当时，， 当时，，有，从而， 即当时，有最大值1； 当时，，即当时，有最大值4； 综上，当时，有最大值4； 当时，函数在上单调递增，则存在最大值为； 当时，函数在先单调递减，再单调递增， 若函数无最大值，则，解得， 当时，函数在单调递减， 若函数无最大值，则，解得， 综上，当无最大值时，，故实数的一个取值为（答案不唯一）. 故答案为：；（答案不唯一） 12．（22-23高三上·北京西城·期末）人口问题是关系民族发展的大事．历史上在研究受资源约束的人口增长问题中，有学者提出了“Logistic model”：，其中均为正常数，且，该模型描述了人口随时间t的变化规律．给出下列三个结论： ①； ②在上是增函数； ③． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】①代入函数值即可求解；②求导后确定函数的单调性即可；③进行等价证明看是否复合条件即可. 【详解】①当， 所以； ②， 因为均为正常数，且， 所以， 所以在上是增函数； ③， 等价于， 即等价于， 即等价于， 等价于， 而恒成立，且， 所以恒成立， 即． 故选项③正确. 故答案为：①②③. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$