专题14 圆锥曲线-【中职专用】2025年“3+X证书”高考数学二轮复习专项突破（广东专用）

专题14 圆锥曲线 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 考点预测 · 椭圆及其性质 · 双曲线及其性质 · 抛物线及其性质 · 圆锥曲线综合题 要点自测 一、椭圆及其性质 第一定义 平面内一动点P与两定点F1 、F2距离之和为常数(大于|F1 F2|)的点轨迹 焦点 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 顶点 轴长 长轴长＝2a，短轴长＝2b，焦距＝ 焦点 焦半径 ， ， 焦点弦 左焦点弦，右焦点弦 离心率 二、双曲线及其性质 第一定义 平面内一动点P与两定点F1 、F2距离之差为常数(大于|F1 F2|)的点轨迹 焦点 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 顶点 轴长 实轴长＝2a，虚轴长＝2b，焦距＝ 焦点 焦半径 ，，左支填“－” 渐近线 离心率 3、 抛物线及其性质 定义 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 方程 图形 顶点 （０，０） 对称轴 ｘ轴 ｙ轴 焦点 准线方程 离心率 范围 考点突破 考点1椭圆及其性质 【例1】椭圆的焦点为为椭圆上一点，若，则（   ） A． B． C． D． 【突破训练】已知椭圆的两焦点分别为，，直线过交椭圆于M，N两点，则的周长为（   ） A． B．8 C．12 D．16 【例2】椭圆的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【突破训练】椭圆的长轴长为（   ） A． B． C． D． 考点2 双曲线及其性质 【例3】双曲线经过点，焦点分别为、，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【突破训练】双曲线的左右焦点分别是与是双曲线左支上的一点，且，则（    ） A．1 B．13 C．1或13 D．3 【例4】已知双曲线：的离心率为，则的值为（   ） A．3 B． C．12 D． 【突破训练】双曲线的焦点坐标为，则（   ） A． B． C． D． 考点3 抛物线及其性质 【例5】抛物线的准线方程是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【突破训练】抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A． B． C． D． 【例6】抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【突破训练】抛物线上有两个点，焦点，已知，则线段的中点到轴的距离是（    ） A．1 B． C．2 D． 考点4 圆锥曲线综合题 【例7】设、分别为椭圆：的左、右两个焦点. （Ⅰ）若椭圆上的点到、两点的距离之和等于6，写出椭圆的方程和焦点坐标； （Ⅱ）设点是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点M的轨迹方程. 【突破训练】已知圆的方程x2＋y2＝25，点A为该圆上的动点，AB与x轴垂直，B为垂足，点P分线段BA的比BP：PA=. （1）求点P的轨迹方程并化为标准方程形式； （2）写出轨迹的焦点坐标和准线方程. 【例8】在平面直角坐标系中，点F(0，1)，P为动点，以PF为直径的圆与x轴相切，记Р的轨迹为. (1)求Р的方程； (2)设M为直线上的动点，过M的直线与Р相切于点A，过A作直线MA的垂线交于点B，求面积的最小值． 【突破训练】已知抛物线的准线与x轴交于点． （1）求抛物线C的方程； （2）若过点M的直线l与抛物线C相切，求直线l的方程． 模拟演练 一、单选题 1．若点是椭圆上任意一点，分别是的左、右焦点，则（   ） A． B．2 C． D．4 2．椭圆的焦距为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知点P是双曲线：上一点，分别为C的左、右焦点，若，则（    ） A．5 B．13 C．5或9 D．5或6 4．已知双曲线的方程为，则该双曲线的焦距为（    ） A．2 B．4 C． D．6 5．双曲线实轴长是虚轴长的2倍，则实数m的值为（   ） A． B． C． D． 6．已知F为抛物线的焦点，点M在C上，且，则点M到y轴的距离为（   ） A．6 B．5 C．4 D． 7．抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 8．若抛物线（）的焦点到准线的距离为，则该抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知点在抛物线上，则到的准线的距离为 . 10．已知椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率是 . 11．已知直线与椭圆C：相交于A、B两点，O为坐标原点．当的面积取得最大值时， ． 12．已知双曲线：，则双曲线的离心率是 . 三、解答题 13．已知双曲线：的左右顶点分别为、． (1)求以、为焦点，离心率为的椭圆的标准方程； (2)直线过点与双曲线交于两点，若点恰为弦的中点，求出直线的方程； 14．已知双曲线与椭圆有公共焦点，且它的一条渐近线方程为. (1)求椭圆的焦点坐标； (2)求双曲线的标准方程． $$ 专题14 圆锥曲线 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 考点预测 · 椭圆及其性质 · 双曲线及其性质 · 抛物线及其性质 · 直线与圆锥曲线的位置关系 要点自测 一、椭圆及其性质 第一定义 平面内一动点P与两定点F1 、F2距离之和为常数(大于|F1 F2|)的点轨迹 焦点 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 顶点 轴长 长轴长＝2a，短轴长＝2b，焦距＝ 焦点 焦半径 ， ， 焦点弦 左焦点弦，右焦点弦 离心率 二、双曲线及其性质 第一定义 平面内一动点P与两定点F1 、F2距离之差为常数(大于|F1 F2|)的点轨迹 焦点 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 顶点 轴长 实轴长＝2a，虚轴长＝2b，焦距＝ 焦点 焦半径 ，，左支填“－” 渐近线 离心率 3、 抛物线及其性质 定义 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 方程 图形 顶点 （０，０） 对称轴 ｘ轴 ｙ轴 焦点 准线方程 离心率 范围 考点突破 考点1椭圆及其性质 【例1】椭圆的焦点为为椭圆上一点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义表达式，代值计算即得. 【详解】由椭圆方程：，可知， 因，故. 故选：D. 【突破训练】已知椭圆的两焦点分别为，，直线过交椭圆于M，N两点，则的周长为（   ） A． B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】利用椭圆定义求解即可. 【详解】由题知，， 由椭圆定义可知，的周长. 故选：B    【例2】椭圆的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆方程求出，借助离心率公式计算即可. 【详解】因为，所以，解得， 故离心率为. 故选：C. 【突破训练】椭圆的长轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将椭圆方程化为标准方程，得出，从而可求出结果. 【详解】椭圆化为标准方程， ∴，∴椭圆的长轴长为. 故选：C. 考点2 双曲线及其性质 【例3】双曲线经过点，焦点分别为、，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的关系结合已知即可求解. 【详解】由题意知，，所以， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 【突破训练】双曲线的左右焦点分别是与是双曲线左支上的一点，且，则（    ） A．1 B．13 C．1或13 D．3 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义即可求解. 【详解】是双曲线左支上的一点， 所以，解得：， 由双曲线定义可知，，所以13. 故选：B. 【例4】已知双曲线：的离心率为，则的值为（   ） A．3 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的知识求得正确答案. 【详解】双曲线：，即，所以， 所以 . 故选：D 【突破训练】双曲线的焦点坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线方程及焦点坐标直接可得解. 【详解】由已知双曲线的焦点为，则 双曲线方程为， 则， 解得， 故选：A. 考点3 抛物线及其性质 【例5】抛物线的准线方程是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的标准方程直接可得解. 【详解】由已知抛物线，即， 则准线方程为， 解得， 故选：D. 【突破训练】抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将抛物线方程化成标准方程求出，得解. 【详解】由抛物线的标准方程为，有，得， 所以抛物线的焦点到准线的距离为. 故选：B. 【例6】抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线方程确定p的值，进而确定准线方程. 【详解】由，得， 故所求准线方程为, 故选：C. 【突破训练】抛物线上有两个点，焦点，已知，则线段的中点到轴的距离是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即可求出线段中点的横坐标，即得到答案. 【详解】由已知可得抛物线的准线方程为， 设点的坐标分别为和， 由抛物线的定义得，即， 线段中点的横坐标为， 故线段的中点到轴的距离是. 故选：. 考点4 圆锥曲线综合题 【例7】设、分别为椭圆：的左、右两个焦点. （Ⅰ）若椭圆上的点到、两点的距离之和等于6，写出椭圆的方程和焦点坐标； （Ⅱ）设点是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点M的轨迹方程. 【答案】（Ⅰ）焦点（Ⅱ） 【详解】试题分析：（Ⅰ）把已知点的坐标代入椭圆方程，再由椭圆的定义知2a=4，从而求出椭圆的方程，由椭圆的方程求出焦点坐标；（Ⅱ）设F1K的中点Q（x，y），则由中点坐标公式得点K（2x+1，2y），把K的坐标代入椭圆方程，化简即得线段KF1的中点Q的轨迹方程 试题解析：（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到、 两点的距离之和是6， 得2a=6，即a=3. 又点在椭圆上，因此 得于是 所以椭圆C的方程为， 焦点 （2）设椭圆C上的动点为，线段 的中点Q（x，y）满足， ； 即， 因此即 为所求的轨迹方程 【突破训练】已知圆的方程x2＋y2＝25，点A为该圆上的动点，AB与x轴垂直，B为垂足，点P分线段BA的比BP：PA=. （1）求点P的轨迹方程并化为标准方程形式； （2）写出轨迹的焦点坐标和准线方程. 【答案】（1）(y≠0)；（2）焦点为、，准线方程是x＝±. （2）由（1）所得的椭圆方程，直接写出焦点坐标及准线方程即可. 【详解】（1）设，即，又，则， ∵A在圆x2＋y2＝25上， ∴，标准方程为. （2）由（1）知：轨迹为焦点在x轴上的椭圆去掉左右顶点，而， ∴焦点为，且准线方程为. 【例8】在平面直角坐标系中，点F(0，1)，P为动点，以PF为直径的圆与x轴相切，记Р的轨迹为. (1)求Р的方程； (2)设M为直线上的动点，过M的直线与Р相切于点A，过A作直线MA的垂线交于点B，求面积的最小值． 【答案】(1)(2)16 【详解】（1）设，则线段FP的中点坐标为，因为以PF为直径的圆与x轴相切， ∴，化简得，所以的方程为； （2）设A，由，，则点A处的切线斜率为， 所以直线MA方程为，整理为， 令，则，所以M，易知直线AB斜率为， 所以直线AB：，整理为， 与联立可得， 有，解得， 即B的横坐标为， 所以， ， 所以△MAB面积为 ，又，当且仅当时，等号成立， 所以的面积最小值为    【突破训练】已知抛物线的准线与x轴交于点． （1）求抛物线C的方程； （2）若过点M的直线l与抛物线C相切，求直线l的方程． 【答案】（1）；（2）或 【解析】（1）利用准线方程求解 （2）设出直线方程，与抛物线方程联立，利用求解. 【详解】（1）的准线过 故，则 抛物线方程为 （2）设切线方程为 与抛物线方程联立有 故 故直线l的方程为：或 模拟演练 一、单选题 1．若点是椭圆上任意一点，分别是的左、右焦点，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】由方程可知：， 由椭圆的定义可知． 故选：D． 2．椭圆的焦距为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题意得，则其焦距为2. 故选：B. 3．已知点P是双曲线：上一点，分别为C的左、右焦点，若，则（    ） A．5 B．13 C．5或9 D．5或6 【答案】C 【详解】由题意可知，，，若，则或9． 故选：C 4．已知双曲线的方程为，则该双曲线的焦距为（    ） A．2 B．4 C． D．6 【答案】D 【详解】双曲线的方程为：， 可得，，所以， 所以双曲线的焦距长为：. 故选：D. 5．双曲线实轴长是虚轴长的2倍，则实数m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】双曲线方程可化为：，其中， 因为实轴长是虚轴长的2倍，故，故， 故选：D. 6．已知F为抛物线的焦点，点M在C上，且，则点M到y轴的距离为（   ） A．6 B．5 C．4 D． 【答案】C 【详解】由题意及抛物线定义，点M到C的准线的距离为6， 所以点M到y轴的距离为. 故选：C． 7．抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】抛物线的准线方程是， 而，所以， 所以抛物线的准线方程是. 故选：. 8．若抛物线（）的焦点到准线的距离为，则该抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，故抛物线的标准方程为：， 所以抛物线的焦点坐标为. 故选：. 二、填空题 9．已知点在抛物线上，则到的准线的距离为 . 【答案】 【详解】因为点在抛物线上， 代入抛物线中得，解得，所以 故抛物线的准线方程为， 所以到的准线的距离为. 故答案为： 10．已知椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率是 . 【答案】/0.5 【详解】由椭圆的标准方程可知，，所以， 因为，，所以，，所以离心率， 故答案为：. 11．已知直线与椭圆C：相交于A、B两点，O为坐标原点．当的面积取得最大值时， ． 【答案】 【详解】由，得，需满足， 设，，则，， ． 又O到直线AB的距离， 则的面积， 当且仅当，即时，的面积取得最大值． 此时，． 故答案为： 12．已知双曲线：，则双曲线的离心率是 . 【答案】/ 【详解】双曲线：的实半轴长，虚半轴长， 则半焦距，所以双曲线的离心率. 故答案为： 三、解答题 13．已知双曲线：的左右顶点分别为、． (1)求以、为焦点，离心率为的椭圆的标准方程； (2)直线过点与双曲线交于两点，若点恰为弦的中点，求出直线的方程； 【答案】(1).(2). 【详解】（1）由题意可得，，，则， 又，， 所以椭圆的标准方程为. （2）设，点恰为弦的中点，则，， 又因为两点在双曲线上， 可得，两式相减得， 化简整理得，即， 所以直线的方程为，即， 经检验，满足题意. 14．已知双曲线与椭圆有公共焦点，且它的一条渐近线方程为. (1)求椭圆的焦点坐标； (2)求双曲线的标准方程． 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）由题设，，又， 所以椭圆的焦点坐标为. （2）由题设，令双曲线为， 由（1）知：，可得， 所以双曲线的标准方程为. 15．平面内动点到点的距离与到直线距离相等. (1)求动点的轨迹方程； (2)设过点的直线交动点的轨迹于两点，求值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为点到点的距离与到直线距离相等， 所以动点的轨迹是以为焦点的抛物线，其方程为. （2）设直线的方程为， 联立，得， ，. $$