专题13 直线与圆的方程-【中职专用】2025年“3+X证书”高考数学二轮复习专项突破（广东专用）

专题13 直线与圆的方程 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 考点预测 · 直线的一般式，斜截式，点斜式方程 · 两条直线平行，垂直的条件 · 直线与圆的位置关系 · 圆的方程 要点自测 （一）直线方程 直线的倾斜角和斜率 倾斜角的定义：直线l在x轴 上方 的部分与x轴正方向所成的角α，称为直线l的倾斜角. 直线倾斜角的范围：0°≤α＜180°. 图示： 斜率的概念：当直线l倾斜角α≠时，将倾斜角α正切值做直线l的斜率记作：k =tanα . 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则k=. 直线的方程 名称 已知条件 方程 说明 点斜式 直线上l上一点P(x0,y0) 直线的斜率k y-y0=k(x-x0) 不能表示垂直于x轴的直线 斜截式 直线的斜率k 直线在y轴上的截距b y=kx+b 不能表示垂直于x轴的直线 截距式 在x轴上的截距a， 在y轴上的截距b. 不能表示过原点和平行于坐标轴的直线 一般式 \ Ax+By+C=0 A，B不能同时为0 直线的位置关系 位置 关系 斜截式方程： l1：y=k1x+b1 l2：y=k2x+b2 一般式方程： l1：A1x+B1y+C1=0 l2：A2x+B2y+C2=0 平行 k1=k2 且 b1≠b2 A1B2=A2B1且B1C2≠B2C1 垂直 k1·k2 =-1 A1A2+B1B2=0 相交 k1≠k2 A1B2≠A2B1 重合 k1=k2 且 b1=b2 A1B2=A2B1且B1C2=B2C1 相关公式 两点间的距离公式 |AB|= 两点间的中点公式 x0 = ，y0 = 点到直线的距离公式 d = 两平行线间的距离公式 d = (二)圆的方程 圆的定义 平面内 到一定点的距离等于定长 的点的轨迹叫做圆，定点是圆心，定长是半径. 圆的方程 （1）标准方程 圆心为(a,b)，半径为r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2； （2）一般方程 圆的一般方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，其中D2+E2-4F>0. 通过配方可化为： ①当且仅当D2+E2-4F > 0时，表示一个圆， 圆心为(- ,- )，半径为； ②当且仅当D2+E2-4F = 0时，表示一个点，(- ,- ) ③当D2+E2-4F < 0时， 不表示任何图形 . （三）直线与圆的位置关系 位置关系 判断方法 经常考查的问题 解决方法 图示 几何法 代数法 相交 d<r △>0 (1)求弦长 利用垂径定理及勾股定理： ｜AB｜= 2 . (2)求弦中点坐标 联立直线与圆的方程，得到关于x或y的一元二次方程，利用韦达定理求出x中=，或 y中=. 注意：求出x中或y中后，代入直线方程，即可求出中点的完整坐标. 相切 d=r △=0 (1)过圆上一点求切线方程 切线与直线PC垂直，可得出切线斜率. 圆的切线方程为： (2)过圆外一点求切线方程 过圆外一点的切线有 2 条： 设圆外一点为P(x0,y0) ①设直线斜率存在，直线方程为y-y0=k(x-x0) ②利用圆心(a,b)到直线y-y0=k(x-x0)的距离d=r，求出k. 注意：当k值算出只有一个时，说明另一条直线斜率不存在，直接写出即可. 相离 d>r △<0 求圆上点到直线的最大或最小距离 ①最大距离：|AD|= d+r ； ②最小距离：|BD|= d-r ； 考点突破 考点1 倾斜角与斜率 【例1】已知经过点的直线的斜率为2，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【突破训练】若直线过两点和，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 考点2 两条直线的位置关系 【例2】直线，，若，则的值为（   ） A．或 B． C． D． 【突破训练】若直线与直线平行，则（   ） A．2 B． C． D． 【例3】若直线与直线垂直，则（   ） A．8 B．8 C． D． 【突破训练】已知直线与垂直，则的值为（ ） A． B． C． D． 考点3 直线方程 【例4】已知直线的方程为，则过点且与垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【突破训练】若直线过点且与斜率为4的直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【例5】若直线的斜率为，在轴上的截距为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【突破训练】经过点，倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 考点4 点到直线的距离 【例6】点(1,1)到直线的距离是（    ） A．1 B．2 C． D． 【突破训练】已知点到直线的距离为1，则的值为（    ） A．5或15 B．5或15 C．5或15 D．5或15 考点5 两点间的中点公式 【例7】已知点，若的中点坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【突破训练】在平面直角坐标系中，已知，，那么线段中点的坐标为（    ） A． B． C． D． 考点6 圆的方程 【例8】圆的面积为（   ） A． B． C． D． 【突破训练】已知两直线和的交点为M，则以点M为圆心，半径长为1的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【例9】已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【突破训练】经过点(2，0)，且圆心是两直线x－2y＋1＝0与x＋y－2＝0的交点的圆的方程为（    ） A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－1)2＋(y－1)2＝1 C．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2 考点7 直线与圆的位置关系 【例10】直线被圆：截得的弦长是（   ） A． B． C． D． 【突破训练】直线被圆所截得的弦长为，则（    ） A． B． C． D．2 【例11】已知圆与直线相切，则（   ） A．2 B． C． D． 【突破训练】若直线与圆只有一个公共点，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 模拟演练 一、单选题 1．过两点的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 3．过点且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．经过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．直线：在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 6．已知直线在铀上的截距是，在铀上的截距是3，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 7．已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 8．点关于直线对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．已知点则以线段AB为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 10．已知，，，则的外接圆方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知点，则线段的垂直平分线的直线方程为 . 12．若直线与直线平行，且它在轴上的截距为4，则直线的方程为 ． 13．直线的倾斜角是直线：的倾斜角的，则直线的斜率为 . 14．经过圆的圆心且与直线垂直的直线方程是 . 三、解答题 15．已知圆心为的圆经过和，且圆心在直线上. (1)求圆C的方程： (2)若直线与圆的交点为两点，求. 16．已知圆，直线过点. (1)求圆的圆心坐标及半径长； (2)若直线与圆相切，求直线的方程； (3)当直线的斜率存在且与圆相切于点时，求. $$专题13 直线与圆的方程 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 考点预测 · 直线的一般式，斜截式，点斜式方程 · 两条直线平行，垂直的条件 · 直线与圆的位置关系 · 圆的方程 要点自测 （一）直线方程 直线的倾斜角和斜率 倾斜角的定义：直线l在x轴 上方 的部分与x轴正方向所成的角α，称为直线l的倾斜角. 直线倾斜角的范围：0°≤α＜180°. 图示： 斜率的概念：当直线l倾斜角α≠时，将倾斜角α正切值做直线l的斜率记作：k =tanα . 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则k=. 直线的方程 名称 已知条件 方程 说明 点斜式 直线上l上一点P(x0,y0) 直线的斜率k y-y0=k(x-x0) 不能表示垂直于x轴的直线 斜截式 直线的斜率k 直线在y轴上的截距b y=kx+b 不能表示垂直于x轴的直线 截距式 在x轴上的截距a， 在y轴上的截距b. 不能表示过原点和平行于坐标轴的直线 一般式 \ Ax+By+C=0 A，B不能同时为0 直线的位置关系 位置 关系 斜截式方程： l1：y=k1x+b1 l2：y=k2x+b2 一般式方程： l1：A1x+B1y+C1=0 l2：A2x+B2y+C2=0 平行 k1=k2 且 b1≠b2 A1B2=A2B1且B1C2≠B2C1 垂直 k1·k2 =-1 A1A2+B1B2=0 相交 k1≠k2 A1B2≠A2B1 重合 k1=k2 且 b1=b2 A1B2=A2B1且B1C2=B2C1 相关公式 两点间的距离公式 |AB|= 两点间的中点公式 x0 = ，y0 = 点到直线的距离公式 d = 两平行线间的距离公式 d = (二)圆的方程 圆的定义 平面内 到一定点的距离等于定长 的点的轨迹叫做圆，定点是圆心，定长是半径. 圆的方程 （1）标准方程 圆心为(a,b)，半径为r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2； （2）一般方程 圆的一般方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，其中D2+E2-4F>0. 通过配方可化为： ①当且仅当D2+E2-4F > 0时，表示一个圆， 圆心为(- ,- )，半径为； ②当且仅当D2+E2-4F = 0时，表示一个点，(- ,- ) ③当D2+E2-4F < 0时， 不表示任何图形 . （三）直线与圆的位置关系 位置关系 判断方法 经常考查的问题 解决方法 图示 几何法 代数法 相交 d<r △>0 (1)求弦长 利用垂径定理及勾股定理： ｜AB｜= 2 . (2)求弦中点坐标 联立直线与圆的方程，得到关于x或y的一元二次方程，利用韦达定理求出x中=，或 y中=. 注意：求出x中或y中后，代入直线方程，即可求出中点的完整坐标. 相切 d=r △=0 (1)过圆上一点求切线方程 切线与直线PC垂直，可得出切线斜率. 圆的切线方程为： (2)过圆外一点求切线方程 过圆外一点的切线有 2 条： 设圆外一点为P(x0,y0) ①设直线斜率存在，直线方程为y-y0=k(x-x0) ②利用圆心(a,b)到直线y-y0=k(x-x0)的距离d=r，求出k. 注意：当k值算出只有一个时，说明另一条直线斜率不存在，直接写出即可. 相离 d>r △<0 求圆上点到直线的最大或最小距离 ①最大距离：|AD|= d+r ； ②最小距离：|BD|= d-r ； 考点突破 考点1 倾斜角与斜率 【例1】已知经过点的直线的斜率为2，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为经过点的直线的斜率为2， 所以，且，解得. 故选：D. 【突破训练】若直线过两点和，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，设直线的斜率为，倾斜角为， 故，由于，故. 故选：C. 考点2 两条直线的位置关系 【例2】直线，，若，则的值为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，则，解得或， 当时，，，与重合，不成立； 当时，，，，成立； 综上所述， 故选：B. 【突破训练】若直线与直线平行，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】直线与直线平行，所以. 故选：A 【例3】若直线与直线垂直，则（   ） A．8 B．8 C． D． 【答案】A 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得， 故选：A 【突破训练】已知直线与垂直，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线与垂直， 所以，解得. 故选：B 考点3 直线方程 【例4】已知直线的方程为，则过点且与垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线的方程为，则， 根据两直线垂直知所求直线的斜率为， 又直线过点，所以与直线垂直的线方程为，即. 故选：B. 【突破训练】若直线过点且与斜率为4的直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为直线与斜率为4的直线垂直， 所以直线的斜率为， 又直线过点， 所以直线的方程为，即． 故选：A 【例5】若直线的斜率为，在轴上的截距为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为，即． 故选：A． 【突破训练】经过点，倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，直线的斜率为， 由直线的点斜式方程，可得， 即. 故选：A 考点4 点到直线的距离 【例6】点(1,1)到直线的距离是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】点(1,1)到直线的距离 . 故选：A. 【突破训练】已知点到直线的距离为1，则的值为（    ） A．5或15 B．5或15 C．5或15 D．5或15 【答案】D 【分析】根据条件,利用点到直线的距离公式建立关于的方程,再求出的值. 【详解】因为点到直线的距离为1， 所以,解得或5. 考点5 两点间的中点公式 【例7】已知点，若的中点坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得，解得， 即，． 将点坐标代入两点式方程可得， 即． 故选：D. 【突破训练】在平面直角坐标系中，已知，，那么线段中点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用中点坐标公式运算求解. 【详解】因为，，所以中点的坐标为，即． 故选：A． 考点6 圆的方程 【例8】圆的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的标准方程为，该圆的半径为， 因此，该圆的面积为. 故选：B. 【突破训练】已知两直线和的交点为M，则以点M为圆心，半径长为1的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，则，又半径长为1， 则圆M的方程为：. 故选：B 【例9】已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故A不符合题意； 对于B，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故B不符合题意； 对于C，，，的坐标都满足圆的方程， 的坐标不满足圆的方程， 即圆过四个点中的三个点，故C符合题意； 对于D，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故D不符合题意. 故选：C. 【突破训练】经过点(2，0)，且圆心是两直线x－2y＋1＝0与x＋y－2＝0的交点的圆的方程为（    ） A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－1)2＋(y－1)2＝1 C．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2 【答案】D 【详解】 由得即所求圆的圆心坐标为(1，1).又该圆过点(2，0)，所以其半径为＝，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2. 考点7 直线与圆的位置关系 【例10】直线被圆：截得的弦长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，圆心到直线的距离为， 所以，所截弦长为. 故选：D 【突破训练】直线被圆所截得的弦长为，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】圆的圆心为，半径为， 由垂径定理，得点到直线距离为， 根据点到直线距离公式，知圆心到直线的距离， 化简可得，解得. 故选：A. 【例11】已知圆与直线相切，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心为，半径为， 依题意，. 故选：D 【突破训练】若直线与圆只有一个公共点，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】由题意可得直线与圆相切， 又因为直线过定点，点A在圆上， 所以直线与直线垂直， 因为直线的斜率不存在，所以． 故选：A 模拟演练 一、单选题 1．过两点的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知直线经过和两点. 根据直线斜率的计算公式（其中和为直线上两点的坐标）， 所以, 因为直线的斜率（为倾斜角），已知，即. 又因为倾斜角，在这个区间内，满足的. 故选：B. 2．直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【详解】直线和直线的斜率分别为，， 因为，所以. 故选：A 3．过点且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线的斜率为3， 因为所求直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 又直线过点，代入点斜式方程得． 故选：B 4．经过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线的倾斜角为，所以斜率， 又因为直线过点，所以直线的点斜式方程为，即. 故选：B. 5．直线：在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，由直线：可得：， 所以直线在轴上的截距为， 故选：A. 6．已知直线在铀上的截距是，在铀上的截距是3，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线在铀上的截距是，在铀上的截距是3， 则直线的截距式方程为，化成一般式方程为. 故选：C. 7．已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，联立方程可得： 又直线的斜率为，所以所求的直线斜率为， 故直线方程为，即. 故选：D. 8．点关于直线对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设点关于直线对称的点的坐标为， 则，解得， 故选：A 9．已知点则以线段AB为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为AB为直径， 所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为， 故选：C 10．已知，，，则的外接圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设的外接圆方程为， 因为，，， 所以，解得， 所以的外接圆方程为. 故选：D. 二、填空题 11．已知点，则线段的垂直平分线的直线方程为 . 【答案】 【详解】易知的中点坐标为，且， 所以线段的垂直平分线的斜率为，可得所求直线方程为. 即. 故答案为：. 12．若直线与直线平行，且它在轴上的截距为4，则直线的方程为 ． 【答案】 【详解】由题意可设直线的方程为， 因为它在轴上的截距为4，故， 所以直线的方程为， 故答案为： 13．直线的倾斜角是直线：的倾斜角的，则直线的斜率为 . 【答案】/ 【详解】直线：的斜率为，其倾斜角为， 依题意，直线的倾斜角为，其斜率为. 故答案为： 14．经过圆的圆心且与直线垂直的直线方程是 . 【答案】 【详解】因为圆，即，所以圆心为， 又直线的斜率为， 所以所求直线的斜率为， 所求直线的方程为，即. 故答案为：. 三、解答题 15．已知圆心为的圆经过和，且圆心在直线上. (1)求圆C的方程： (2)若直线与圆的交点为两点，求. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为，所以， 所以弦的垂直平分线的斜率为，又弦的中点坐标为， 所以弦的垂直平分线的方程为，即， 与直线联立解得：，所以圆心坐标为所以圆的半径，则圆的方程为：； （2）由（1）知，圆心到直线的距离为 圆的半径. 16．已知圆，直线过点. (1)求圆的圆心坐标及半径长； (2)若直线与圆相切，求直线的方程； (3)当直线的斜率存在且与圆相切于点时，求. 【答案】(1)圆的圆心坐标为，半径长为；(2)或；(3). 【详解】（1）圆方程可化为:，圆心坐标为，半径长为. （2）①当直线的斜率不存在时，方程为，圆心到直线距离为，满足题意． ②当直线的斜率存在时，设直线的方程是，即. 由圆心到直线的距离等于半径得，，解得， 此时直线的方程为. 综上，直线的方程为或. （3） ∵圆的圆心坐标为，， ∴. 如图，由相切得，，， ∴. $$