专题15 概率与统计初步-【中职专用】2025年“3+X证书”高考数学二轮复习专项突破（广东专用）

专题15 概率与统计初步 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 考点预测 · 古典概型、概率加法公式 · 用样本均值，标准差估计总体 · 排列的概念，排列数的求法 · 组合的概念，组合数的求法 要点自测 （一）概率初步 几个概念 随机事件 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件. 随机事件也称简单事件，不能再分的随机事件称为基本事件. 样本空间 全体基本事件构成的集合叫做随机试验的样本空间 必然事件 在一定条件下必然发生的事件 不可能事件 不可能发生的事件 互斥事件 一次试验中不可能同时发生的两个事件，也叫互不相容事件 对立事件 一次试验中必有一个发生的两个互斥事件 古典概型 古典概型的特点 ①试验的所有可能结果的个数是有限的； ②每个结果出现的概率相同. 古典概率 对于古典概型，如果试验的基本事件的总数为n， 随机事件A包含的基本事件数为m，那么P(A)=_________(m ≤ n). n次独立重复试验 相互独立试验 一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，则称这两个事件为相互独立事件 n次独立重复试验 ①在相同条件下，重复地做n次试验； ②每次试验只有两个可能的结果A和 . n次独立重复试验概率计算 伯努利公式：Pn(k)= p k (1-p) n-k 事件的运算及其计算 (1)事件的“并” “A∪B”表示A、B至少发生一个； 计算：若A、B是互斥事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)； (2)事件的“交” “A∩B”表示A、B同时发生； 计算：P(A∩B)=P(A)·P(B)； (3)事件的“否” 表示A不发生 （二）统计初步 统计初步相关基本概念 (1)总体：研究对象的全体； (2)个体：组成总体的每个对象； (3)样本：被抽取出来的个体组成的集合； (4)样本空间：样本所含个体数目； 抽样方法 简单随机抽样 设一个总体的个体数为N.如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样. 系统抽样 当总体中的个体数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到需要的样本，这种抽样叫做系统抽样. 分层抽样 当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，通常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样. 方差与标准差 方差 S2=[(x1-)2+(x2-)2+(x3-)2+…+(xn-)2] 样本方差说明样本的波动程度，方差越大，说明样本的波动越大，越不稳定. 标准差 方差的算术平方根，叫做标准差.即 S= （三）两个计数原理 分类计数原理 如果完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1+m2+…+mn 种不同的方法； 分步计数原理 如果完成一件事，需分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1×m2×…×mn 种不同的方法. （四）排列的概念与计算 排列的概念 一般地，从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列； 如果m＜n，这样的排列叫做选排列；如果m=n，这样的排列叫做全排列. 排列数 从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为. 排列数公式 =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= （m，n是正整数，且m≤n） 特别地，=n！=n(n-1)(n-2)·…·1，并规定0！=1 （五）组合的概念与计算 组合的概念 一般地，从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素，不管怎样的顺序并成一个组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 一个组合 ； 组合数 从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素的组合数的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作； 组合数公式 = = =（m，n是正整数，且m≤n） 规定，=1 组合数的性质 ① =； +=. 考点突破 考点1 概率初步 【例1】1．袋子中有个大小质地完全相同的球，其中个红球、个黄球，从中有放回地依次随机摸出个球，那么这个球同色的概率为（    ） A． B． C． D． 【突破训练】抛掷2枚质地均匀的骰子，在掷出的两枚骰子点数之和为6点的条件下，点数均为奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 【例2】抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则两次的点数都是偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 【突破训练】某校要从高一某班5名班干部（其中2名男生，3名女生）中抽调2人，主持国旗下讲话活动，则被抽调的班干部都是女生的概率为（    ） A． B． C． D． 【例3】将4个不加区分的红球和2个不加区分的黄球随机排一行，则2个黄球不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【突破训练】为抗击新冠肺炎疫情，全国各地的医护人员纷纷请战支援武汉，某医院从请战的5名医护人员中随机选派2名支援武汉，已知这5名医护人员中有一对夫妻，则这对夫妻恰有一人被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【例4】从含有4件正品、2件次品的6件产品中，随机抽取3件，则恰好抽到1件正品的概率是（    ） A． B． C． D． 【突破训练】从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中至少有一名男同学的概率是（    ） A． B． C． D． 考点2 统计初步 【例5】一组观察值4，3，5，6 出现的次数分别为3，2，4，2，则样本平均数为（    ） A．4.55 B．4.6 C．12.5 D．1.64 【突破训练】某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有3人，得90分的有2人，得85分的有2人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数为（    ） A．85分 B．86分 C．89分 D．88分 【例6】有一组数据：2，4，5，7，6，7，x，10，这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【突破训练】已知数据的平均数为10，方差为10，则的平均数和方差分别为（    ） A．30，91 B．31，91 C．30，90 D．31，90 考点3 排列的概念，排列数公式 【例7】用四个数字组成没有重复数字的两位数，共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【突破训练】某校组队参加辩论赛，从7名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为（    ） A．180 B．120 C．90 D．360 考点4 组合的概念，组合数公式 【例8】从5名学生中选出3名参加社团活动，其中甲必须入选的选法也有（    ） A．8种 B．16种 C．6种 D．12种 【突破训练】在2024年高校自主招生考试中，高三某班的四名同学决定报考三所高校，则恰有两人报考同一高校的方法共有（    ） A．9种 B．36种 C．38种 D．45种 模拟演练 一、单选题 1．已知一组数据4，，，5，6的平均数为4，则a的值是（    ） A．3 B．2 C．4 D．6 2．某比例分配的分层随机抽样中，相关统计数据如下表．则此样本的平均数为（     ） 样本量 平均数 第1层 20 30 第2层 30 20 A．20 B．24 C．25 D．30 3．已知一组数据为，则该组数据的方差为（    ） A． B． C．6 D．7 4．若样本数据：的平均数是62.3，方差为16，则对于样本数据：，下列结论正确的是（    ） A．平均数是124.6，方差为64 B．平均数是124.6，标准差为32 C．平均数是123.6，方差为32 D．平均数是123.6，标准差为8 5．某校课外活动期间开展跳绳、踢键子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（    ） A． B． C． D． 6．从11，12，13，，30中任意选一个数，则这个数是奇数或能被3整除的概率为（    ） A． B． C． D． 7．从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送书方法的种数为（    ） A．5 B．10 C．20 D．60 8．甲､乙､丙三名同学排成一排，不同的排列方法有（    ） A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 9．现有质地相同的6个球，编号为，从中一次性随机取两个球，则两个球的号码之和大于7的概率是（   ） A． B． C． D． 10．一个骰子，六个面上的数字分别为1、2、3、4、5、6，投掷一次向上的面出现的数字是2的倍数的概率是（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 11．200件产品中有3件次品，现从中任意抽取5件，其中有两件是次品的抽法有 种． 12．6张不同颜色的卡片，按每人两张分给3位小朋友，不同分法共有 种． 13．用这六个数字，可以排成没有重复数字的三位偶数的个数为 （用数字作答） 14．从7件不同的礼物中选出3件分别送给3位不同的同学，则不同方法的种数为 ． 三、解答题 15．从5名乒乓球运动员中，选出3名并确定出场顺序，以参加某场团体比赛，共有多少不同的方法？ 16．用1、2、3、4、5可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 17．已知5件产品中有2件次品、3件合格品，从这5件产品中任取2件，求： (1)恰有1件次品的概率； (2)2件都是合格品的概率． 18．甲、乙两人在相同条件下各射击次，每次命中的环数如下： 甲 乙 (1)分别计算以上两组数据的平均数； (2)分别计算以上两组数据的方差. $$ 专题15 概率与统计初步 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 考点预测 · 古典概型、概率加法公式 · 用样本均值，标准差估计总体 · 排列的概念，排列数的求法 · 组合的概念，组合数的求法 要点自测 （一）概率初步 几个概念 随机事件 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件. 随机事件也称简单事件，不能再分的随机事件称为基本事件. 样本空间 全体基本事件构成的集合叫做随机试验的样本空间 必然事件 在一定条件下必然发生的事件 不可能事件 不可能发生的事件 互斥事件 一次试验中不可能同时发生的两个事件，也叫互不相容事件 对立事件 一次试验中必有一个发生的两个互斥事件 古典概型 古典概型的特点 ①试验的所有可能结果的个数是有限的； ②每个结果出现的概率相同. 古典概率 对于古典概型，如果试验的基本事件的总数为n， 随机事件A包含的基本事件数为m，那么P(A)=_________(m ≤ n). n次独立重复试验 相互独立试验 一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，则称这两个事件为相互独立事件 n次独立重复试验 ①在相同条件下，重复地做n次试验； ②每次试验只有两个可能的结果A和 . n次独立重复试验概率计算 伯努利公式：Pn(k)= p k (1-p) n-k 事件的运算及其计算 (1)事件的“并” “A∪B”表示A、B至少发生一个； 计算：若A、B是互斥事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)； (2)事件的“交” “A∩B”表示A、B同时发生； 计算：P(A∩B)=P(A)·P(B)； (3)事件的“否” 表示A不发生 （二）统计初步 统计初步相关基本概念 (1)总体：研究对象的全体； (2)个体：组成总体的每个对象； (3)样本：被抽取出来的个体组成的集合； (4)样本空间：样本所含个体数目； 抽样方法 简单随机抽样 设一个总体的个体数为N.如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样. 系统抽样 当总体中的个体数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到需要的样本，这种抽样叫做系统抽样. 分层抽样 当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，通常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样. 方差与标准差 方差 S2=[(x1-)2+(x2-)2+(x3-)2+…+(xn-)2] 样本方差说明样本的波动程度，方差越大，说明样本的波动越大，越不稳定. 标准差 方差的算术平方根，叫做标准差.即 S= （三）两个计数原理 分类计数原理 如果完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1+m2+…+mn 种不同的方法； 分步计数原理 如果完成一件事，需分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1×m2×…×mn 种不同的方法. （四）排列的概念与计算 排列的概念 一般地，从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列； 如果m＜n，这样的排列叫做选排列；如果m=n，这样的排列叫做全排列. 排列数 从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为. 排列数公式 =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= （m，n是正整数，且m≤n） 特别地，=n！=n(n-1)(n-2)·…·1，并规定0！=1 （五）组合的概念与计算 组合的概念 一般地，从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素，不管怎样的顺序并成一个组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 一个组合 ； 组合数 从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素的组合数的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作； 组合数公式 = = =（m，n是正整数，且m≤n） 规定，=1 组合数的性质 ① =； +=. 考点突破 考点1 概率初步 【例1】1．袋子中有个大小质地完全相同的球，其中个红球、个黄球，从中有放回地依次随机摸出个球，那么这个球同色的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设个红球为，个黄球为， 从中有放回地依次随机摸出个球，样本空间为： ，则， 事件“这2个球同色”，则，则， 由古典概率公式，可得. 故选：D. 【突破训练】抛掷2枚质地均匀的骰子，在掷出的两枚骰子点数之和为6点的条件下，点数均为奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】掷出的两枚骰子的点数之和为6点包含，共5种情况，其中点数均为奇数的有，共3种情况， 所以概率. 故选：A 【例2】抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则两次的点数都是偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子两次,统计两次的点数构成的总的样本点有个， 而事件 “两次的点数都是偶数”包含的样本点有共9个， 故由古典概型概率公式可得：. 故选：C. 【突破训练】某校要从高一某班5名班干部（其中2名男生，3名女生）中抽调2人，主持国旗下讲话活动，则被抽调的班干部都是女生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设3名女生为，2名男生为， 则抽调2人的所有基本事件构成的样本空间为， 都是女生的基本事件有， 故概率为， 故选：B 【例3】将4个不加区分的红球和2个不加区分的黄球随机排一行，则2个黄球不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将4个不加区分的红球和2个不加区分的黄球随机排一行，共有种， 其中2个黄球不相邻的有种， 所以所求事件的概率为. 故选：C 【突破训练】为抗击新冠肺炎疫情，全国各地的医护人员纷纷请战支援武汉，某医院从请战的5名医护人员中随机选派2名支援武汉，已知这5名医护人员中有一对夫妻，则这对夫妻恰有一人被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】该事件的基本事件为, 符合条件的事件分为夫妻中男方被选中和女方被选中两种情况，其中男方被选中的事件数为,女方被选中的事件数为, 根据古典概型公式可知，这对夫妻恰有一人被选中的概率为, 故选：. 【例4】从含有4件正品、2件次品的6件产品中，随机抽取3件，则恰好抽到1件正品的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】恰好抽到1件正品的概率是. 故选：A. 【突破训练】从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中至少有一名男同学的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两名同学中一名男同学都没有的概率为，则2名同学中至少有一名男同学的概率是. 故选：A. 考点2 统计初步 【例5】一组观察值4，3，5，6 出现的次数分别为3，2，4，2，则样本平均数为（    ） A．4.55 B．4.6 C．12.5 D．1.64 【答案】A 【详解】样本平均数为. 故选：A. 【突破训练】某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有3人，得90分的有2人，得85分的有2人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数为（    ） A．85分 B．86分 C．89分 D．88分 【答案】C 【详解】由题意知：. 故选：C 【例6】有一组数据：2，4，5，7，6，7，x，10，这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】依题意，，解得， 所以组数据的方差为. 故选：A 【突破训练】已知数据的平均数为10，方差为10，则的平均数和方差分别为（    ） A．30，91 B．31，91 C．30，90 D．31，90 【答案】D 【详解】因为，，，，的平均数是10，方差是10， 所以的平均数是，方差是． 故选：D． 考点3 排列的概念，排列数公式 【例7】用四个数字组成没有重复数字的两位数，共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【详解】用四个数字组成没有重复数字的两位数， 共有：个. 故选：D 【突破训练】某校组队参加辩论赛，从7名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为（    ） A．180 B．120 C．90 D．360 【答案】D 【详解】分步完成：甲不担任四辩，共有3种方法；剩下6名同学任选3人，且任意排序，共有种，所以一共有种， 故选：D. 考点4 组合的概念，组合数公式 【例8】从5名学生中选出3名参加社团活动，其中甲必须入选的选法也有（    ） A．8种 B．16种 C．6种 D．12种 【答案】C 【详解】解：从5名学生中选出3名参加社团活动，其中甲必须入选的选法有， 故选：C. 【突破训练】在2024年高校自主招生考试中，高三某班的四名同学决定报考三所高校，则恰有两人报考同一高校的方法共有（    ） A．9种 B．36种 C．38种 D．45种 【答案】B 【详解】由题意，恰有两人报考同一高校的方法共有种. 故选：B. 模拟演练 一、单选题 1．已知一组数据4，，，5，6的平均数为4，则a的值是（    ） A．3 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【详解】由题得，故. 故选：B. 2．某比例分配的分层随机抽样中，相关统计数据如下表．则此样本的平均数为（     ） 样本量 平均数 第1层 20 30 第2层 30 20 A．20 B．24 C．25 D．30 【答案】B 【详解】样本的平均数为， 故选：B 3．已知一组数据为，则该组数据的方差为（    ） A． B． C．6 D．7 【答案】A 【详解】的平均数为：， 且， 故这组数据的方差为：. 故选：A. 4．若样本数据：的平均数是62.3，方差为16，则对于样本数据：，下列结论正确的是（    ） A．平均数是124.6，方差为64 B．平均数是124.6，标准差为32 C．平均数是123.6，方差为32 D．平均数是123.6，标准差为8 【答案】D 【详解】若样本数据：的平均数是62.3，方差为16， 则对于样本数据：，平均数是，标准差为. 故选：D. 5．某校课外活动期间开展跳绳、踢键子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设跳绳、踢毽子、韵律操分别为A、B、C， 画树状图如下， 共有9种等可能的结果，甲、乙恰好选择同一项活动的有3种情况， 故他们选择同一项活动的概率是， 故选：C． 6．从11，12，13，，30中任意选一个数，则这个数是奇数或能被3整除的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】从11，12，13，，30中任意选一个数， 则这个数是奇数或能被3整除有,共14个， 所以. 故选：D. 7．从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送书方法的种数为（    ） A．5 B．10 C．20 D．60 【答案】C 【详解】此问题相当于从5个不同元素中取出2个元素的排列数， 即共有=20(种)不同的送书方法. 故选：C. 8．甲､乙､丙三名同学排成一排，不同的排列方法有（    ） A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 【答案】C 【详解】甲､乙､丙三名同学排成一排，不同的排列方法有 种 故选：C 9．现有质地相同的6个球，编号为，从中一次性随机取两个球，则两个球的号码之和大于7的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】现有质地相同的6个球，编号为，从中一次性随机取两个球，编号组合共有种， 两个球的号码之和大于7的可能有，共6种可能， 故所求为. 故选：A. 10．一个骰子，六个面上的数字分别为1、2、3、4、5、6，投掷一次向上的面出现的数字是2的倍数的概率是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】投掷一次向上的面出现的数字有种可能，出现2的倍数的有， 所以投掷一次向上的面出现的数字是2的倍数的概率是． 故选：A. 二、填空题 11．200件产品中有3件次品，现从中任意抽取5件，其中有两件是次品的抽法有 种． 【答案】 【详解】依题意，从中任意抽取5件，其中有两件是次品，则必有3件是正品，故抽取方法有，种. 故答案为： 12．6张不同颜色的卡片，按每人两张分给3位小朋友，不同分法共有 种． 【答案】90 【详解】6张不同颜色的卡片，按每人两张分给3位小朋友，不同分法共有. 故答案为：90. 13．用这六个数字，可以排成没有重复数字的三位偶数的个数为 （用数字作答） 【答案】60 【详解】最后一位数是偶数有：“2”，“4”，“6”，共3种选择， 然后从剩下的五个数中选两个数进行排列， 故所求为. 故答案为：60. 14．从7件不同的礼物中选出3件分别送给3位不同的同学，则不同方法的种数为 ． 【答案】210 【详解】由题意，根据排列的定义可知一共有种． 故答案为:210． 三、解答题 15．从5名乒乓球运动员中，选出3名并确定出场顺序，以参加某场团体比赛，共有多少不同的方法？ 【答案】60 【详解】由题可知，从5名乒乓球运动员中，选出3名并确定出场顺序，共有种. 16．用1、2、3、4、5可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 【答案】60 【详解】要组成一个没有重复数字的三位数，可以分三个步骤完成： 第一步：确定百位上的数字，从5个数字中任选一个，有5种选法； 第二步：确定十位上的数字，因为不允许有重复数字，所以从第一步余下的数字中任选一个，有4种选法； 第三步：确定个位上的数字，因为不允许有重复数字，所以从前两步余下的数字中任选一个，有3种选法． 根据乘法原理，不同取法的种数为． 因此，可以组成60个没有重复数字的三位数． 17．已知5件产品中有2件次品、3件合格品，从这5件产品中任取2件，求： (1)恰有1件次品的概率； (2)2件都是合格品的概率． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）记2件次品、3件合格品依次为：， 则样本空间为, 恰有1件次品所对应的子集为， 故所求概率为； （2）2件都是合格品所对应的子集为， 故所求概率为. 18．甲、乙两人在相同条件下各射击次，每次命中的环数如下： 甲 乙 (1)分别计算以上两组数据的平均数； (2)分别计算以上两组数据的方差. 【答案】(1)甲、乙的平均数都为(2)甲的方差为；乙的方差为 【详解】（1）甲的平均数； 乙的平均数. （2）甲的方差； 乙的方差. $$